SISTEMI DINAMICI: 2009-2010

1. Sistemi lineari:
   • Proprietà fondamentali: Esistenza e unicità, matrice fondamentale, riduzione ad un sistema di primo ordine
   • Sistemi lineari a coefficienti costanti: esponenziale di una matrice, diagonalizzabilità, forma canonica di Jordan (senza dimostrazione)
   • Sistemi lineari discreti: potenze di una matrice, esempi
   • Sistemi lineari con coeffienti periodici: Teorema di Floquet, equazione di Helmholtz-Schrödinger
2. Sistemi nonlineari:
   • Proprietà fondamentali: Esistenza e unicità, riduzione ad un sistema di primo ordine
   • Contrazioni, punti fissi, attrattori e ripulsori
   • Equazioni di Clairaut e di Lagrange
3. Punti di equilibrio per i sistemi lineari:
   • Orbita, punto di equilibrio, ciclo, curva semplice non chiusa
   • Integrale del moto
   • Classificazioni dei punti di equilibrio
   • Oscillatore armonico con attrito
4. Stabilità:
   • Stabilità secondo Liapunov, stabilità asintotica
   • Stabilità per i sistemi lineari
   • Stabilità e linearizzazione, teorema di Perron
   • Oscillazioni smorzate e risonanza, Sistema di Lotka-Volterra, Equazione logistica, Oscillatore di Lorentz
5. Biforcazioni e cicli-limite:
   • Teorema di Poincaré-Bendixon (senza dimostrazione)
   • Biforcazione di Hopf
   • Equazione di Van der Pol
6. Sistemi dinamici discreti e Frattali:
   • Teorema delle contrazioni, $p$-cicli, Teorema di Šarkovs'kii
   • Metodo di Newton-Raphson, Mappa logistica, Shift di Bernouilli
   • Insieme di Cantor, Curva di Koch, Triangolo di Sierpinski
   • Caratteristiche dei frattali, Insiemi di Julia, Insieme di Mandelbrot
   • Dimensione topologica, Dimensione di Hausdorff

Bibliografia:

• Appunti del docente
• P.G. Drazin, Nonlinear Systems, Cambridge University Press, 1992.
• Wikipedia sotto "dynamical system", "fractal" e "Hausdorff dimension".
• Wikipedia sotto "sistema dinamico", "frattale" e "dimensione di Hausdorff".