\documentclass[12pt]{article}
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\author{}
\title{Dettagli del Programma\\ del Corso Metodi Matematici\\ per l'Ingegneria 
Elettronica\\ A.A. 2002-2003}

\begin{document}
\date{}
\maketitle

\begin{itemize}
\item[I.] L'operatore di Laplace e la separazione delle 
variabili\footnote{Appunti pp. 17-24 senza la dimostrazione della Prop. 1.1.}
\begin{itemize}
\item[a.] Transformazioni ortogonali. Esempi: coordinate polari, cilindriche,
sferiche.
\item[b.] separazione delle equazioni di Laplace, Helmholtz e Schr\"odinger
in coordinate polari, sferiche, cilindriche e cartesiane.
\end{itemize}
\item[II.] Equazioni integrali\footnote{Appunti Cap. II: pp. 46-47 (Volterra),
pp. 48-53 (nucleo degenere, Teoremi di Fredholm), p. 57 (quarto teorema di
Fredholm), pp. 62-68 (nucleo hermitiano e Hilbert-Schmidt) senza le
dimostrazioni dei teoremi II.23 e II.24. Sulla p.~68 soltanto la (II.102).}
\item[a.] L'equazione di Volterra
\item[b.] Le equazioni con nucleo degenere
\item[c.] I quattro teoremi di Fredholm
\item[d.] Le equazioni con nucleo hermitiano: Il principio di Rayleigh-Ritz,
le espressioni per i numeri singolari, la norma di Hilbert-Schmidt,
l'ortonormalit\`a e completezza delle autofunzioni.
\item[III.] Problemi di sturm-Liouville\footnote{Appunti Cap. III: pp. 79-85
(Sturm-Liouville sull'intervallo), pp.85-86 (autovalori).}
\begin{itemize}
\item[a.] Problema di sturm-Liouville $-(pu^\prime)^\prime+qu=\lambda u+f$
in $(a,b)$ pi\`u condizioni separate.
\item[b.] Propriet\`a degli autovalori del problema di Sturm-Liouville
\end{itemize}
\item[IV.] Funzioni speciali\footnote{Appunti Cap. III: pp. 88--95 e 99-100
(Bessel) senza la dimostrazione della Proposizione III.7, pp. 100-102 e 108
funzioni sferiche), pp. 102-106 (Legendre) senza la formula generatrice,
pp. 107-108 (Legendre associato), pp. 110-111 (Hermite) senza la formula
generatrice, pp. 112-117 (Laguerre) senza il calcolo delle costanti e senza
la formula generatrice, pp. 117-118 (Chebyshev), Appendice B (Funzione Gamma).}
\begin{itemize}
\item[a.] Funzioni di Bessel: Serie di potenza, equazione differenziale,
$J_\pm(x)\allowbreak=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\begin{matrix}\sin\\ 
\cos\end{matrix}(x)$,
Wronskiano, funzioni di Neumann, ortogonalit\`a, zeri, comportamento se
$x\to0^+$, comportamento se $x\to+\infty$, grafico, funzioni di Hankel e
di Bessel immaginarie
\item[b.] Funzioni sferiche: definizione, ortogonalit\`a, casi $n=2$ e $n=3$,
completezza
\item[c.] Polinomi di Legendre: equazione differenziale, formula di Rodrigues,
formula di ricorrenza, ortogonalit\`a pi\`u normalizzazione
\item[d.] Polinomi associati di Legendre: equazione differenziale,
formula di ricorrenza, ortogonalit\`a pi\`u normalizzazione
\item[e.] Polinomi di Hermite: equazione differenziale, formula di Rodrigues,
formula di ricorrenza, ortogonalit\`a pi\`u normalizzazione
\item[f.] Polinomi di Laguerre: equazione differenziale, formula di Rodrigues,
formula di ricorrenza, ortogonalit\`a, collegamento con Hermite
\item[g.] Polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie: definizioni,
formula di ricorrenza, ortogonalit\`a pi\`u normalizzazione
\item[h.] La funzione Gamma
\end{itemize}
\item[V.] Problemi al Contorno\footnote{Appunti Cap. IV: pp. 119-120 (Poisson)
senza la Proposizione IV.1, pp. 139-141 (onde), pp. 131--139 (Schr\"odinger).}
\begin{itemize}
\item[a.] La formula di Poisson (L'equazione di Laplace sul disco)
\item[b.] L'equazione delle onde se \`e disponibile la soluzione della
corrispondente equazione di Helmholtz
\item[c.] Equazione di Sch\"odinger: Separazione in coordinate sferiche,
buco di potenziale, oscillatore armonico, idrogeno
\end{itemize}
\item[VI.] Analisi Funzionale\footnote{Stakgold Vol.~I: pp. 105-112 (spazi di
Banach e di Hilbert), pp. 123-127 (ortonormalit\`a), pp. 139-140 e 143-144
(operatori limitati e esempi), Appunti Cap.II pp. 33 (invertibilit\`a) e
pp. 34-35 (spettro) e pp. 36-38 (operatori autoaggiunti), pp. 184-186 
(operatori compatti), pp. 29-32 (distributions).}
\begin{itemize}
\item[a.] Spazi di Banach e di Hilbert: definizione, completezza della norma,
esempi ($\ell^p$, $L^p$, $C$)
\item[b.] Ortonormalit\`a e completezza: Parseval, approssimazione, polinomi
ortogonali, sistema trigonometrico in varie forme
\item[c.] Operatori lineari limitati: norma, esempi (matrici su $\mathbb{R}^n$
e $\mathbb{C}^n$, matrici infinite su $\ell^1$, operatori integrali su $L^1$ 
e $C$)
\item[d.] invertibilit\`a, invertibilit\`a degli operatori vicino all'operatore
identit\`a
\item[e.] Spettro: autovalori, spettro continuo, spettro residuo, esempi
\item[f.] Operatori autoaggiunti: definizione, spettro
\item[g.] Operatori compatti: struttura dello spettro (senza definizione
formale) e esempi (operatori integrali)
\item[h.] Distribution theory: Test functions, functionals on test functions,
convergence, Dirac delta function
\end{itemize}
\item[VII.] Problemi al Contorno\footnote{O'Neill Cap. XVI: pp. 800-811
e 814-816 (onde, intervallo), pp. 822-826 (onde, retta e semiretta), pp. 837
(trasformata di Fourier coseno e seno), pp. 851-854 (onde, rettangolo), 
pp. 857-860 (onde, disco).}
\begin{itemize}
\item[a.] Equazione di Helmholtz sull'intervallo
\item[b.] Equazione di Helmholtz sul rettangolo
\item[c.] Equazione di Helmholtz sulla retta
\item[d.] Equazione di Helmholtz sulla semiretta
\item[e.] Corrispondenti estensioni all'equazione delle onde
\end{itemize}
\end{itemize}

\end{document}
