Dettagli del Programma del Corso Metodi Matematici per l’Ingegneria Elettronica

A.A. 2002-2003

I. L’operatore di Laplace e la separazione delle variabili^{1}

a. Transformazioni ortogonali. Esempi: coordinate polari, cilindri-

che, sferiche. b. separazione delle equazioni di Laplace, Helmholtz e Schrödinger

in coordinate polari, sferiche, cilindriche e cartesiane. II. Equazioni integrali^{2} a. L’equazione di Volterra b. Le equazioni con nucleo degenere c. I quattro teoremi di Fredholm d. Le equazioni con nucleo hermitiano: Il principio di Rayleigh-Ritz, le

espressioni per i numeri singolari, la norma di Hilbert-Schmidt, l’ortonormalità e completezza delle autofunzioni.

III. Problemi di sturm-Liouville^{3} a. Problema di sturm-Liouville −(pu′)′ + qu = λu + f in (a, b) più

1Appunti pp. 17-24 senza la dimostrazione della Prop. 1.1.

2Appunti Cap. II: pp. 46-47 (Volterra), pp. 48-53 (nucleo degenere, Teoremi di Fredholm), p. 57 (quarto teorema di Fredholm), pp. 62-68 (nucleo hermitiano e Hilbert-Schmidt) senza le dimostrazioni dei teoremi II.23 e II.24. Sulla p. 68 soltanto la (II.102).

3Appunti Cap. III: pp. 79-85 (Sturm-Liouville sull’intervallo), pp.85-86 (autovalori).

condizioni separate.

b. Proprietà degli autovalori del problema di Sturm-Liouville

IV. Funzioni speciali^{4}

a. Funzioni di Bessel: Serie di potenza, equazione differenziale, J_{±}(x)

= \sqrt{\frac{2}{πx}} \begin{matrix}sin \\ cos \end{matrix}(x), Wronskiano, funzioni di Neumann, ortogonalità,

zeri, comportamento se x → 0^{+}, comportamento se x → +∞, grafico, funzioni di Hankel e di Bessel immaginarie

b. Funzioni sferiche: definizione, ortogonalità, casi n = 2 e n = 3, completezza

c. Polinomi di Legendre: equazione differenziale, formula di Rodrigues, formula di ricorrenza, ortogonalità più normalizzazione

d. Polinomi associati di Legendre: equazione differenziale, formula di ricorrenza, ortogonalità più normalizzazione

e. Polinomi di Hermite: equazione differenziale, formula di Rodrigues, formula di ricorrenza, ortogonalità più normalizzazione

f. Polinomi di Laguerre: equazione differenziale, formula di Rodrigues, formula di ricorrenza, ortogonalità, collegamento con Hermite

g. Polinomi di Chebyshev di prima e seconda specie: definizioni, formula di ricorrenza, ortogonalità più normalizzazione

h. La funzione Gamma

V. Problemi al Contorno^{5}

a. La formula di Poisson (L’equazione di Laplace sul disco) b. L’equazione delle onde se è disponibile la soluzione della corri-

4Appunti Cap. III: pp. 88–95 e 99-100 (Bessel) senza la dimostrazione della Proposizione III.7, pp. 100-102 e 108 funzioni sferiche), pp. 102-106 (Legendre) senza la formula generatrice, pp. 107-108 (Legendre associato), pp. 110-111 (Hermite) senza la formula generatrice, pp. 112-117 (Laguerre) senza il calcolo delle costanti e senza la formula generatrice, pp. 117-118 (Chebyshev), Appendice B (Funzione Gamma).

5Appunti Cap. IV: pp. 119-120 (Poisson) senza la Proposizione IV.1, pp. 139-141 (onde), pp. 131–139 (Schrödinger).

spondente equazione di Helmholtz c. Equazione di Schödinger: Separazione in coordinate sferiche, buco

di potenziale, oscillatore armonico, idrogeno

VI. Analisi Funzionale^{6}

a. Spazi di Banach e di Hilbert: definizione, completezza della nor-

ma, esempi (ℓ^{p}, L^{p}, C) b. Ortonormalità e completezza: Parseval, approssimazione, polino-

mi ortogonali, sistema trigonometrico in varie forme c. Operatori lineari limitati: norma, esempi (matrici su ℝ^{n} e ℂ^{n},

matrici infinite su ℓ^{1}, operatori integrali su L^{1} e C) d. invertibilità, invertibilità degli operatori vicino all’operatore iden-

tità e. Spettro: autovalori, spettro continuo, spettro residuo, esempi f. Operatori autoaggiunti: definizione, spettro g. Operatori compatti: struttura dello spettro (senza definizione for-

male) e esempi (operatori integrali) h. Distribution theory: Test functions, functionals on test functions,

convergence, Dirac delta function

VII. Problemi al Contorno^{7} a. Equazione di Helmholtz sull’intervallo b. Equazione di Helmholtz sul rettangolo c. Equazione di Helmholtz sulla retta d. Equazione di Helmholtz sulla semiretta e. Corrispondenti estensioni all’equazione delle onde

6Stakgold Vol. I: pp. 105-112 (spazi di Banach e di Hilbert), pp. 123-127 (ortonormalità), pp. 139-140 e 143-144 (operatori limitati e esempi), Appunti Cap.II pp. 33 (invertibilità) e pp. 34-35 (spettro) e pp. 36-38 (operatori autoaggiunti), pp. 184-186 (operatori compatti), pp. 29-32 (distributions).

7O’Neill Cap. XVI: pp. 800-811 e 814-816 (onde, intervallo), pp. 822-826 (onde, retta e semiretta), pp. 837 (trasformata di Fourier coseno e seno), pp. 851-854 (onde, rettangolo), pp. 857-860 (onde, disco).