\documentclass[12pt]{article}
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\pagestyle{plain}

\author{}
\title{}

\begin{document}
\date{}
\maketitle
\thispagestyle{plain}

%\begin{itemize}
%\end{itemize}

\begin{itemize}
\item[1.] Il sistema dinamico discreto
$$\vec{x}_{n+1}=A\vec{x}_n$$
\`e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di $A$ hanno
modulo $<1$. Esso \`e stabile se e solo se tutti gli autovalori di $A$ hanno
modulo $\le1$ e la forma normale di Jordan corrispondente agli autovalori di
modulo $1$ \`e banale.
\begin{itemize}
\item[a.] Autovalori: $0$ e $2c$. Stabilit\`a asintotica: $|c|<\tfrac{1}{2}$.
Stabilit\`a: $|c|\le\tfrac{1}{2}$. Si ha $A^{m+1}=(2c)^mA$. Inoltre,
$$A^p\begin{pmatrix}1\\ \pm i\end{pmatrix}=[(1\pm i)c]^p
\begin{pmatrix}1\\ \pm i\end{pmatrix}.$$
Quindi esistono $p$-cicli se e solo se $(1\pm i)c$ \`e una radice dell'unit\`a
primitiva di ordine $p$.
\item[b.] Autovalori: $\tfrac{1}{2}\pm\tfrac{1}{2}i\sqrt{3}$. Stabilit\`a.
Esistono $6$-cicli generati dagli autovettori.
\item[c.] Autovalori: $\tfrac{5}{13}\tfrac{12}{13}i$. Stabilit\`a. No $p$-cicli.
\item[d.] Autovalori: $3c$ (doppio, forma di Jordan non banale). Stabilit\`a
asintotica: $|c|<\tfrac{1}{3}$. Stabilit\`a: $|c|<\tfrac{1}{3}$. Esiste un
$p$-ciclo se e solo se $3c$ \`e una radice dell'unit\`a primitiva di ordine $p$.
\item[e.] Autovalori $2c$ (doppio, forma di Jordan non banale per $c\neq0$).
Stabilit\`a asintotica: $|c|<\tfrac{1}{2}$. Stabilit\`a: $|c|<\tfrac{1}{2}$.
Esiste un $p$-ciclo se e solo se $2c$ \`e una radice dell'unit\`a primitiva di
ordine $p$.
\end{itemize}
\item[12.] Il sistema dinamico discreto pu\`o essere scritto nella forma
$$x_{n+1}+iy_{n+1}=(p+iq)(x_n+iy_n)+(r+is)(x_n-iy_n),$$
oppure
$$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}p+r&-q+s\\ q+s&p-r\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_n\\ y_n\end{pmatrix},$$
oppure
$$X_{n+1}=AX_n.$$
\tcb{Se $A$ ha soltante autovalori di modulo minore di $1$}, esiste un opportuno
$m\in\N$ per cui $\|A^m\|<1$. Siccome in tal caso $\|X_{n+m}\|<\|X_n\|$, la
successione $\{X_n\}_{n=0}^\infty$ pu\`o essere suddivisa in $m$
sottosuccessioni, tutte di limite $(0,0)$. Quindi $\|X_n\|\to0$. \tcb{Se $A$ ha
un autovalore $\zl$ di modulo $>1$} e $Y$ \`e un corrispondente autovalore,
allora per $X_0=Y$ otteniamo $X_n=\zl^nY$ e quindi $\{X_n\}_{n=0}^\infty$ tende
all'infinito in norma. \tcb{Se $A$ ha un autovalore $\zl$ di modulo $1$} e $Y$
\`e un corrispondente autovettore, allore per $X_0=Y$ si ha $X_n=\zl^nY$ e
quindi $\|X_n\|=\|Y\|>0$. \tcb{CONCLUSIONE}: $X=(0,0)$ \`e un punto fisso
asintoticamente stabile se e solo se $A$ ha soltanto autovalori di modulo $<1$.
In tal caso tutto lo spazio euclideo $\R^2$ \`e il bacino di attrazione del
punto fisso. \tcb{EXTRA}: Ci sono punti fissi diversi da $(0,0)$ se e solo se
$1$ \`e un autovalore di $A$; i punti fissi sono i corrispondenti autovettori
pi\`u $(0,0)$. Ci sono $p$-cicli se e solo se esiste una radice dell'unit\`a
primitiva di ordine $p$ che \`e autovalore di $A$. In tal caso i corrispondenti
autovettori generano il $p$-ciclo.
\item[16.] Il sistema dinamico discreto pu\`o essere scritto nella forma
$$z_{n+1}=[z_n]^*|z_n|^2,$$
essendo $z^*$ il complesso coniugato di $z$ e $F(z)=z^*|z|^2$. Si vede subito
che $|F(z)|<|z|$ per $0<|z|<1$, $F(z)=|z|$ per $z=0$ e per $|z|=1$,
e $|F(z)|>|z|$ per $|z|>1$. Quindi i punti fissi e i punti coinvolti nei
$p$-cicli sono $z=0$ oppure punti del cerchio unitario. Ovviamente $z=0$ \`e un
punto fisso. Gli altri punti fissi sono $z=\pm1$. Per trovare i $p$-cicli si
prenda $z_0=e^{i\theta_0}$. In tal caso $z_{2k}=z_0$ e $z_{2k+1}=[z_0]^*$.
Quindi $\{i,-i\}$ \`e un $2$-ciclo. Non esistono $p$-cicli per $p\ge3$.
\tcb{Per $0<|z_0|<1$} la successione $\{|z_n|\}_{n=0}^\infty$ \`e strettamente
decrescente e quindi converge a zero (poich\`e $|z_{n+1}|=|z_n|^3$). Dunque
$z_n\to0$. \tcb{Per $|z_0|>1$} la successione $\{|z_n|\}_{n=0}^\infty$ tende
a $+\infty$ (poich\`e $|z_{n+1}|=|z_n|^3$). \tcb{CONCLUSIONE}:
$\{z\in\C:|z|<1\}$ \`e un bacino di attrazione per il punto fisso $z=0$. I punti
di equilibrio $z=\pm1$ di $F$ sono instabili. I punti di equilibrio $z=\pm i$
di $F^2$ sono instabili.
\item[17.] Il sistema dinamica discreto pu\`o essere scritto nella forma
$$z_{n+1}=z_n(|z_n|^2-1),$$
essendo $z_n=x_n+iy_n$. Definendo $F(z)=z(|z|^2-1)$, i punti fissi di $F$ sono
$z=0$ e i punti della circonferenza $|z|=\sqrt{2}$. Ponendo 
$z_n=|z_n|e^{i\theta_n}$ per $0\neq z_n\in\C$, si vede che $\theta_n$ non
dipende da $n$ e $|z_{n+1}|=|z_n|\,||z_n|^2-1|$. \tcb{Per $|z_0|<\sqrt{2}$} la
successione $\{|z_n|\}_{n=0}^\infty$ \`e strettamente decrescente e quindi 
converge. Ma in tal caso $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ converge a un punto fisso di
$F$, cio\`e a zero. \tcb{Per $|z_n|>\sqrt{2}$} la successione
$\{|z_n|\}_{n=0}^\infty$ \`e strettamente crescente e quindi converge a
un numero maggiore di $\sqrt{2}$ oppure a $+\infty$. Nel primo caso la
successione $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ converge a un punto fisso di modulo
$>\sqrt{2}$, un'impossibilit\`a. Quindi $\{|z_n|\}_{n=0}^\infty$ tende
all'infinito. \tcb{CONCLUSIONE}: $\{z\in\C:|z|<\sqrt{2}\}$ \`e un bacino di
attrazione per il punto fisso zero, mentre i punti di equilibrio sulla
circonferenza $|z|=\sqrt{2}$ sono tutti instabili. Siccome $|F(z)|<|z|$ per
$0<|z|<\sqrt{2}$ e $|F(z)|>|z|$ per $|z|>\sqrt{2}$, non esistono $p$-cicli per
$p\ge2$. \tcb{EXTRA}: Il sistema linearizzato intorno al punto di equilibrio
$(x,y)=(0,0)$ \`e $(x_{n+1},y_{n+1})=-(x_n,y_n)$, dove $A=-I_2$ ha soltanto
autovalori negativi. Secondo il teorema di Perron l'origine \`e asintoticamente
stabile.
\item[19.] Sia $K$ l'insieme di tutti gli $x\in[0,1]$ per cui lo sviluppo
decimale contiene soltanto le cifre $\{0,2,4,6,8\}$. Si considerino le
trasformazioni
$$\psi_j(x)=\begin{cases} 
(x/10)\simeq0,0d_1d_2d_3\ldots,&j=1,\\
0,2+(x/10)\simeq0,2d_1d_2d_3\ldots,&j=2,\\
0,4+(x/10)\simeq0,4d_1d_2d_3\ldots,&j=3,\\
0,6+(x/10)\simeq0,6d_1d_2d_3\ldots,&j=4,\\
0,8+(x/10)\simeq0,8d_1d_2d_3\ldots,&j=5,\end{cases}$$
essendo $x\simeq0,d_1d_2d_3\ldots$ con $\{d_k:k\in\N\}\subset\{0,2,4,6,8\}$.
In tal caso le trasformazioni $\psi_j$ sono tutte similarit\`a con fattore
$r_j=(1/10)$, mentre
$$K=\sum_{j=1}^5\,\psi_j[K].$$
Quindi la dimensione di Hausdorff $d$ segue dall'equazione
$$5\left(\frac{1}{10}\right)^d=1,$$
il che implica che $10^d=5$ oppure $d=[\log(5)/\log(10)]$.
\end{itemize}

\end{document}
