%April 17, 2014

\chapter{Equazioni Integrabili}\label{ch:KdV}

In questo capitolo discuteremo le cosiddette equazioni nonlineari di evoluzione
di tipo integrabile quali l'equazione di Korteweg-de Vries (KdV), l'equazione
nonlineare di Schr\"o\-din\-ger (NLS), l'equazione di sine-Gordon (SG), e altre.
Tali equazioni alle derivate parziali [PDE] hanno tutte soluzioni di tipo
``travelling waves'' e sono risolubili mediante la cosiddetta ``inverse
scattering transform'' (IST), una trasformazione {\bf nonlineare} che converte
la PDE (di cui ci vuole studiare il problema a valori iniziali) in un'equazione
lineare di pi\`u semplice risoluzione. La IST pu\`o essere considerata come
l'analogo nonlineare della trasformata di Fourier [quest'ultima si applica a
equazioni differenziali ordinarie lineari]. Inoltre, alle equazioni integrabili
\`e possibile associare un sistema hamiltoniano con infinite costanti di moto.
\tcr{Alcuni dettagli sulla IST e sull'equazione NLS si trovano nel secondo
capitolo di \cite{APT} e nei primi due capitoli di \cite{SIMAI}.}

\section{Storia di alcune equazioni integrabili}\label{sec:KdV.1}

Nel 1834 l'ingegnere scozzese John Scott Russell [1808--1882] osserv\`o un'onda
(che viaggiava lungo la Union Canal tra Edinburgo e Glasgow), caratterizzata dal
fatto di non cambiare la sua forma e dall'avere un ampiezza proporzionale alla
sua velocit\`a. Egli, inoltre, ide\`o un esperimento con il quale riprodusse
tali fenomeni ondosi.

La teoria che spiega i risultati sperimentali di Scott Russell \`e stata
successivamente sviluppata da Joseph Valentin Boussinesq [1842--1929] negli anni
1871--1872.  Boussinesq ha derivato l'equazione che descrive la propagazione
di onde in canali la cui profondit\`a \`e piccola rispetto alla lunghezza
d'onda, trovando, come soluzione di tali equazioni, le cosiddette ``ondes
solitaires'' che spiegano le osservazioni di Scott Rusell. Tali soluzioni hanno
la forma $u(x,t)=f(x-ct)$ e sono comunemente dette ``traveling waves''.

Nel 1894--1895 Diederik Korteweg [1848-1941] e Gustav de Vries [1866--1934],
utilizzando un sistema di coordinate solidale con l'onda, hanno ottenuto
l'equazione di Korteweg-de Vries (KdV)
\begin{equation}\label{KdV.1}
u_t+u_{xxx}-6uu_x=0.
\end{equation}
La sostituzione $$u(x,t)=f(x-ct)$$
converte la KdV nell'equazione differenziale ordinaria
$$-cf^\prime(x)+f^{\prime\prime\prime}(x)-6f(x)f^\prime(x)=0,$$
oppure:
$$\frac{d}{dx}\left(-cf(x)+f^{\prime\prime}(x)-3f(x)^2\right)=0.$$
Integrando quest'ultima equazione si ottiene
\begin{equation}\label{KdV.2}
-cf(x)+f^{\prime\prime}(x)-3f(x)^2=A,
\end{equation}
dove $A$ \`e un'opportuna costante. Moltiplicando \eqref{KdV.2} per
$2f^\prime(x)$ si ha
$$\frac{d}{dx}\left(-cf(x)^2+f^\prime(x)^2-2f(x)^3-2Af(x)\right)=0,$$
e, integrando nuovamente, si ottiene per un'opportuna costante $B$
$$-cf(x)^2+f^\prime(x)^2-2f(x)^3=2Af(x)+B.$$
Quest'ultima equazione conduce infine all'equazione a variabili separabili
$$f^\prime(x)=\pm\sqrt{2Af(x)+B+cf(x)^2+2f(x)^3}.$$
Per $A=B=0$ e $c>0$ si trova
\begin{equation}\label{KdV.3}
u(x,t)=\frac{-\tfrac{1}{2}c}{\cosh^2[\tfrac{1}{2}\sqrt{c}\,(x-ct-a)]}
\tcr{=-\tfrac{1}{2}c\left\{1-\tanh^2[\tfrac{1}{2}\sqrt{c}\,(x-ct-a)]\right\}}.
\end{equation}
Osserviamo che l'ampiezza ($\tfrac{1}{2}c$) \`e proporzionale alla velocit\`a
($c$).

Nel periodo 1900-1954 l'equazione di Korteweg-de Vries \`e caduta nel
dimenticatoio. Nel 1954 Enrico Fermi [1901-1954], John Pasta [1918-1984],
Stanislaw Ulam [1909-1984] e Mary Tsingou [nata nel 1928] hanno condotto molte
simulazioni numeriche sulla dinamica di un sistema di $N$ oscillatori
accoppiati. Tale sistema fu analizzato per giustificare un modello teorico
(proposto da Peter Debye [1884--1966]) che permetteva di interpretare le
osservazioni sperimentali sulla conducibilit\`a termica dei solidi. Il modello
matematico studiato da Fermi, Pasta, Ulam e Tsingou \`e descritto dalle seguenti
equazioni alle differenze:
\begin{equation}\label{KdV.4}
m\ddot{x}_j=k(x_{j+1}-2x_j+x_{j-1})[1+\za(x_{j+1}-x_{j-1})],\quad
j=0,1,\ldots,N-1,
\end{equation}
dove $\za$ e $k$ sono opportune costanti positive.  Essi trovarono soluzioni di
tipo ``traveling waves'' \eqref{KdV.3} in aperto contrasto con il risultato
da loro atteso: l'equipartizione dell'energia (che costituisce il paradosso
di Fermi-Pasta-Ulam). Per questo motivo archiviarono le loro ricerche in un
report della Los Alamos National Laboratory, pubblicato subito dopo la morte di
Enrico Fermi. Nel 1965 Norman Zabusky [nato nel 1929] e Martin Kruskal
[1925-2006] hanno confermato i risultati numerici e introdotto il termine
``solitone'' per l'onda viaggiante. Loro hanno anche osservato che le soluzioni
del modello \eqref{KdV.4} tendono a quelle dell'equazione di Korteweg-de Vries
se la distanza tra due oscillatori consecutivi tende a zero.

Nel 1967 Clifford Gardner [nato nel 1924], John Greene [1928-2007], Martin
Kruskal [1925-2006] e Robert Miura [nato nel 1938] (indicheremo quest'insieme di
autori con GGKM) hanno scoperto la cosiddetta inverse scattering transform (IST)
per risolvere il problema di Cauchy dell'equazione di Korteweg-de Vries.
Partendo dalla soluzione iniziale $u(x,0)$ appartenente ad $L^1(\R;(1+|x|)dx)$
dell'{\it equazione di Schr\"o\-din\-ger}
\begin{equation}\label{KdV.5}
-\psi_{xx}+u(x,0)\psi=k^2\psi,\qquad x\in\R,
\end{equation}
GGKM hanno introdotto la cosidetta soluzione di Jost $f_r(k,x)$. Tale funzione
\`e soluzione di \eqref{KdV.5} e ha il seguente comportamento asintotico:
$$f_r(k,x)=\begin{cases}\dfrac{1}{T(k)}e^{-ikx}+\dfrac{R(k)}{T(k)}e^{ikx}+o(1),
&x\to+\infty,\\ e^{-ikx}[1+o(1)],&x\to-\infty.\end{cases}$$
$T(k)$ si chiama coefficiente di trasmissione, mentre $R(k)$ si dice
coefficiente di riflessione. La soluzione di Jost rappresenta un'onda piana
$e^{-ikx}$ che viaggia da destra a sinistra e viene in parte riflessa e in parte
trasmessa nelle proporzioni $R(k)$ e $T(k)$, essendo $|R(k)|^2+|T(k)|^2=1$. La
funzione $R(k)$ \`e continua in $k\in\R$ e tende a zero se $k\to\pm\infty$,
mentre il coefficiente di trasmissione \`e meromorfo in $k$ nel semipiano
superiore, ha poli semplici in $i\zk_1,\ldots,i\zk_N$ (con
$\{\zk_1,\ldots,\zk_N\}\subset\R^+$) e tende a $1$ se $k\to\infty$. Ad ogni
polo $i\zk_s$ si associa un'opportuna costante positiva $N_s$, la cosiddetta
costante di normalizzazione. Il problema di determinare i dati di scattering
corrispondenti al potenziale $u(x,0)$ \`e detto {\it problema di scattering
diretto}.

I dati di scattering della corrispondente equazione di Schr\"o\-din\-ger
$$-\psi_{xx}+u(x,t)\psi=k^2\psi$$
evolvono nel seguente modo elementare:
$$\{R(k),\{\zk_j,N_j\}_{j=1}^N\}\mapsto\{R(k;t),\{\zk_j,N_j(t)\}_{j=1}^N\}
=\{R(k)e^{8ik^3t},\{\zk_j,N_je^{8\zk_j^3t}\}_{j=1}^N\}.$$
Supponendo di conoscere i dati di scattering all'istante $t$, ci si pone il
problema di costruire la funzione $u(x,t)$ corrispondente a tali dati. Tale
problema si chiama {\it scattering inverso}. La risoluzione del problema di
scattering inverso si basa sui seguenti tre passi:
\begin{itemize}
\item[a.] Partendo dai dati di scattering si costruisce il {\it nucleo di
Marchenko}
$$\zO(x;t)=\sum_{j=1}^N\,N_j(t)e^{-\zk_jx}+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
dk\,e^{ikx}R(k;t).$$
\item[b.] Si scrive l'equazione integrale di Marchenko con nucleo
$\Omega(x+y;t)$:
$$K(x,y;t)+\zO(x+y;t)+\int_x^\infty dz\,K(x,z;t)\zO(z+y;t)=0.$$
\item[c.] Supposto di aver risolto l'equazione di Marchenko, il potenziale si
trova applicando la seguente regola:
$$u(x,t)=-2\frac{\partial}{\partial x}K(x,x;t).$$
\end{itemize}
In forma schematica la IST pu\`o essere descritta dal seguente diagramma:
$$\begin{CD}
u(x,0)@>{\text{scattering\ diretto}}>>\{R(k),\{\kappa_j,N_j\}_{j=1}^N\}\\
@V{\text{KdV}}VV {} @VV{\text{evoluzione\ nel\ tempo}}V\\
u(x,t)@<{\text{scattering\ inverso}}<<\{R(k)e^{8ik^3t},
\{\kappa_j,N_je^{8\kappa_j^3t}\}_{j=1}^N\}
\end{CD}$$
GGKM si avvantaggiarono dal fatto che tre anni prima Faddeev aveva risolto il
problema dello scattering inverso per l'equazione di Schr\"o\-din\-ger
descrivendo un algoritmo per trovare il potenziale $u(x,t)$ una volta noti
i dati di scattering.

Nel 1972 Vladimir Evgenevich Zakharov [nato nel 1939] e A.B. Shabat scoprirono
che la IST poteva essere usata anche per risolvere l'equazione nonlineare di
Schr\"o\-din\-ger (NLS)
\begin{equation}\label{KdV.6}
iu_t+u_{xx}\pm2|u|^2u=0.
\end{equation}
Associando alla NLS il cosiddetto sistema di Zakharov-Shabat (ZS)
$$\psi_x=\begin{pmatrix}-i\zl&u\\ \mp u^*&i\zl\end{pmatrix}\psi,$$
Zakharov e Shabat hanno costruito un analogo diagramma risolutivo per
l'equazione NLS, cio\`e:
$$\begin{CD}
u(x,0)@>{\text{scattering\ diretto}}>>\{R(\zl),\{ia_j,\zG_j\}_{j=1}^N\}\\
@V{\text{NLS}}VV {} @VV{\text{evoluzione\ nel\ tempo}}V\\
u(x,t)@<{\text{scattering\ inverso}}<<\{R(\zl)e^{4i\zl^2t},
\{ia_j,\zG_je^{-4ia_j^2t}\}_{j=1}^N\}
\end{CD}$$

La scoperta di due equazioni nonlineari di evoluzione di tipo integrabile (la
KdV e la NLS) ha condotto a un'intensa attivit\`a di ricerca (con relative
pubblicazioni) su equazioni nonlineari di evoluzione risolubili mediante una
simile trasformazione. Tra esse ricordiamo le seguenti: equazione di
Korteweg-de Vries modificata (mKdV), di sine-Gordon (SG), di
Kadomtsev-Petviashvili (KP), di Camassa-Holm (CH), di Degasperis-Procesi (DP).
Sono anche state studiate equazioni nonlineari di evoluzione nel discreto, in
cui la variabile spaziale \`e un intero: reticolato di Toda, equazione
nonlineare di Schr\"o\-din\-ger di tipo integrabile e discreto [IDNLS], e altre.
Tali equazioni hanno applicazioni in fisica, ingegneria, biologia, ecc.,
e possono essere risolte tramite la IST.

\section{Generazione di equazioni integrabili}\label{sec:KdV.2}

Consideriamo il sistema {\bf lineare} di equazioni di evoluzione
\begin{subequations}\label{KdV.7}
\begin{align}
\Psi_x&=X(x,t,\zl)\Psi,\label{KdV.7a}\\
\Psi_t&=T(x,t,\zl)\Psi,\label{KdV.7b}
\end{align}
\end{subequations}
dove
\begin{itemize}
\item[a.] $\Psi(x,t,\zl)$ \`e una funzione a valori vettoriali che dipende dalla
posizione $x$, dal tempo $t$ e da una variabile spettrale $\zl$;
\item[b.] $X(x,t,\zl)$ e $T(x,t,\zl)$ sono due matrici quadrate.
\end{itemize}
Utilizzando il teorema di Schwarz ($(\Psi_x)_t=(\Psi_t)_x$), dove
\begin{align*}
(\Psi_x)_t&=X\Psi_t+X_x\Psi=XT\Psi+X_x\Psi=(XT+X_t)\Psi,\\
(\Psi_t)_x&=T\Psi_x+T_x\Psi=TX\Psi+T_x\Psi=(TX+T_x)\Psi,
\end{align*}
si ottiene la seguente condizione di compatibilit\`a:
\begin{equation}\label{KdV.8}
X_t-T_x+XT-TX=0.
\end{equation}
La \eqref{KdV.8} \`e un'equazione nonlineare di evoluzione di tipo integrabile
se essa non dipende dalla variabile spettrale $\zl$ ma soltanto dalla posizione
$x$ e dal tempo $t$.

\begin{example}[KdV]\label{th:KdV.1}
Consideriamo
\begin{equation}\label{KdV.9}
X=\begin{pmatrix}0&u-\zl\\ 1&0\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}u_x
&-4\zl^2+2\zl u+2u^2-u_{xx}\\ 4\zl+2u&-u_x\end{pmatrix}.
\end{equation}
Poich\`e
\begin{align*}
X_t&=\begin{pmatrix}0&u_t\\ 0&0\end{pmatrix},\qquad
T_x=\begin{pmatrix}u_{xx}&2\zl u_x+4uu_x-u_{xxx}\\ 2u_x&-u_{xx}\end{pmatrix},\\
XT&=\begin{pmatrix}4\zl u-4\zl^2+2u^2-2\zl u&-uu_x+\zl u_x\\
u_x&-4\zl^2+2\zl u+2u^2-u_{xx}\end{pmatrix},\\
TX&=\begin{pmatrix}-4\zl^2+2\zl u+2u^2-u_{xx}&uu_x-\zl u_x\\ -u_x
&4\zl u-4\zl^2+2u^2-2\zl u\end{pmatrix},
\end{align*}
si trova
$$X_t-T_x+XT-TX=\begin{pmatrix}0&u_t+u_{xxx}-6uu_x\\ 0&0\end{pmatrix}.$$
Quindi la condizione di compatibilit\`a \eqref{KdV.8} \`e equivalente
all'equazione di Kor\-te\-weg-de Vries \eqref{KdV.1}.

Sostituendo
$$\Psi=\begin{pmatrix}\phi\\ \psi\end{pmatrix}$$
nell'equazione \eqref{KdV.7a} si ottiene
$$\begin{pmatrix}\phi_x\\ \psi_x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u\psi-\zl\psi\\
\phi\end{pmatrix}$$
oppure $\phi=\psi_x$ e $-\phi_x+u\psi=\zl\psi$. Quest'ultime equazioni sono
equivalenti all'equazione di Schr\"o\-din\-ger
$$-\psi_{xx}+u\psi=\zl\psi,$$
dove $\psi$ \`e la funzione d'onda e $u$ \`e il potenziale. Quindi,
\eqref{KdV.7a} rappresenta il problema spettrale per l'operatore differenziale
di Schr\"o\-din\-ger $-\partial_x^2+u$. \hfill$\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}[NLS]\label{th:KdV.2}
Consideriamo
\begin{equation}\label{KdV.10}
X=-i\zl\zs_3+\bQ,\qquad T=-2i\zl^2\zs_3-i\zs_3\bQ^2+2\zl\bQ+i\zs_3\bQ_x,
\end{equation}
dove
$$\zs_3=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix},\qquad\bQ=\begin{pmatrix}0&q\\
r&0\end{pmatrix}.$$
Si osservi che $\zs_3\bQ=-\bQ\zs_3$ e $[\zs_3]^{\tcr{2}}=I_2$. Quindi
\begin{align*}
X_t-T_x+XT-TX&=\bQ_t+\tcb{i\zs_3[\bQ^2]_x}-\tcc{2\zl\bQ_x}-i\zs_3\bQ_{xx}\\
&\tcg{-2\zl^3I_2}-\tcr{\zl\bQ^2}-\tcm{2i\zl^2\zs_3\bQ}+\tcc{\zl\bQ_x}\\
&+\tcm{2i\zl^2\zs_3\bQ}+i\zs_3\bQ^3+\tcr{2\zl\bQ^2}-\tcb{i\zs_3\bQ\bQ_x}\\
&+\tcg{2\zl^3I_2}+\tcr{\zl\bQ^2}-\tcm{2i\zl^2\zs_3\bQ}+\tcc{\zl\bQ_x}\\
&+\tcm{2i\zl^2\zs_3\bQ}+i\zs_3\bQ^3-\tcr{2\zl\bQ^2}-\tcb{i\zs_3\bQ_x\bQ}\\
&=-i\zs_3\left\{i\zs_3\bQ_t+\bQ_{xx}-2\bQ^3\right\}\\
&=-i\zs_3\begin{pmatrix}0&iq_t+q_{xx}-2qrq\\ -ir_t+r_{xx}-2rqr&0\end{pmatrix}.
\end{align*}
In altre parole, la condizione di compatibilit\`a \eqref{KdV.8} \`e equivalente
al seguente sistema di equazioni alle derivate parziali:
\begin{align*}
iq_t+q_{xx}-2qrq&=0,\\ -ir_t+r_{xx}-2rqr&=0.
\end{align*}
Per $r=\pm q^*$ il suddetto sistema si riduce all'equazione nonlineare di
Schr\"o\-din\-ger (NLS)
$$iq_t+q_{xx}\mp 2|q|^2q=0,$$
dove il meno corrisponde al caso {\it defocusing} e il pi\`u al caso
{\it focusing}.

L'equazione \eqref{KdV.7a} pu\`o essere scritta nella forma
$$i\zs_3\Psi_x-i\zs_3\bQ\Psi=\zl\Psi.$$
Di conseguenza, \eqref{KdV.7a} rappresenta il problema spettrale per l'operatore
differenziale di Zakharov-Shabat $i\zs_3\partial_x-i\zs_3\bQ$.
\hfill$\tcm{\Box}$
\end{example}

\section{Superfici solitoniche}\label{sec:KdV.3}

In questo paragrafo introdurremo le superfici solitoniche e le trasformazioni di
B\"acklund con particolare emfasi sull'equazione NLS focusing. Seguiremo in gran
parte l'articolo di Sym \cite{sym}.

Nel contesto geometrico si introducono le due variabili $(x^1,x^2)=(x,t)\in\R^2$
e si trattano alla pari la posizione $x$ e il tempo $t$. Le equazioni
\eqref{KdV.16} si possono scrivere nella forma
tensoriale
\begin{equation}\label{KdV.11}
\Psi_{,\mu}=g_\mu\Psi,\qquad \mu=1,2,
\end{equation}
dove $g_1=X$ e $g_2=T$ sono matrici $d\times d$. La condizione di
compatibilit\`a \eqref{KdV.17}, spesso chiamata "{\it condizione di curvatura
zero}", ha la forma
$$g_{1,2}-g_{2,1}+[g_1,g_2]=0,$$
dove supponiamo che le matrici $g_1$ e $g_2$ per $\zl\in\R$ appartengano
all'algebra di Lie $\mathfrak{g}$ corrispondente al gruppo di Lie $G$. Sia $N$
la dimensione del gruppo di Lie $G$ [cio\`e, la dimensione dell'algebra di Lie
$\mathfrak{g}$ come spazio vettoriale reale]. Supponiamo inoltre che
$\Psi(x^1,x^2;\zl)\in G$ per ogni $(x^1,x^2,\zl)\in\R^3$.

Nel caso NLS focusing [dove $r=-q^*$] stiamo parlando del gruppo $SU(2)$ delle
matrici unitarie di ordine $2$ con determinante $+1$ e dell'algebra di Lie
$\mathfrak{su}(2)$ delle matrici complesse di ordine $2$ che sono antihermitiane
e hanno traccia uguale a zero. In tal caso
$$g_1=\begin{pmatrix}-i\zl&q\\-q^*&i\zl\end{pmatrix},\qquad
g_2=\begin{pmatrix}2i\zl^2+i|q|^2&2\zl q+iq_x\\-2\zl q^*+iq_x^*&2i\zl^2
-i|q|^2\end{pmatrix},$$
appartengono a $\mathfrak{su}(2)$ per ogni $\zl\in\R$. Siccome per $\zl\in\R$
$$\begin{cases}(\Psi^{-1})_{,\mu}=-\Psi^{-1}\Psi_{,\mu}\Psi^{-1}
=-\Psi^{-1}g_\mu,\\ (\Psi^\dagger)_{,\mu}=\Psi^\dagger g_\mu^\dagger
=-\Psi^\dagger g_\mu,\end{cases}$$
risulta
$$(\Psi^\dagger\Psi)_{,\mu}=(\Psi^\dagger)_{,\mu}\psi+\Psi^\dagger\Psi_{,\mu}
=-\Psi^\dagger g_\mu\Psi+\Psi^\dagger g_\mu\Psi=0_{2\times2}.$$
Inoltre, per ogni matrice costante nonsingolare $C$ di ordine $2$,
$\tilde{\Psi}=\Psi C$ verifica le equazioni
$\tilde{\Psi}_{,\mu}=g_\mu\tilde{\Psi}$ se $\Psi$ verifica la \eqref{KdV.11}.
Di conseguenza, si pu\`o scegliere la matrice d'onda $\Psi$ nel gruppo $SU(2)$
per ogni $\zl\in\R$. Infatti, scegliendo $\Psi$ tale che per ogni $\zl\in\R$
vale
$$\Psi(x,\zl)=e^{-i\zl x\zs_3}[I_2+o(1)],\qquad x\to+\infty,$$
si ottiene una tale matrice d'onda appartenente a $SU(2)$. Si ricorda che
$SU(2)$ \`e un gruppo di Lie di dimensione $N=3$.\footnote{Le matrici $i\zs_1$,
$i\zs_2$ e $i\zs_3$, dove
$\zs_1=\left(\begin{smallmatrix}0&1\\ 1& 0\end{smallmatrix}\right)$,
$\zs_2=\left(\begin{smallmatrix}0&-i\\i& 0\end{smallmatrix}\right)$,
$\zs_3=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix}\right)$ sono le
cosiddette matrici di Pauli, costituiscono una base dello spazio vettoriale
reale $\mathfrak{su}(2)$.}

Nel caso KdV [dove $u$ \`e reale] stiamo parlando del gruppo $SL_2(\R)$ delle
matrici reali di ordine $2$ con determinante $+1$ e dell'algebra di Lie
$\mathfrak{sl}_2(\R)$ delle matrici reali di ordine $2$ con traccia zero. In
tal caso
$$g_1=\begin{pmatrix}0&u-\zl\\ 1&0\end{pmatrix},\qquad
g_2=\begin{pmatrix}u_x&-4\zl^2+2\zl u+2u^2-u_{xx}\\ 4\zl+2u&-u_x\end{pmatrix},$$
appartengono a $\mathfrak{sl}_2(\R)$ per ogni $\zl\in\R$. Si pu\`o scegliere
$\Psi(x,\zl)$ in $SL_2(\R)$. Si ricorda che $SL_2(\R)$ \`e un gruppo di Lie di
dimensione $N=3$.\footnote{Le matrici
$\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1& 0\end{smallmatrix}\right)$,
$\left(\begin{smallmatrix}0& 1\\1& 0\end{smallmatrix}\right)$,
$\left(\begin{smallmatrix}1& 0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)$
costituiscono una base dello spazio vettoriale reale $\mathfrak{sl}_2(\R)$.}

 Fissata $\zl_0\in\R$, la funzione
$$R(x^1,x^2;\zl)=\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}\Psi(x^1,x^2,\zl)$$
appartiene al gruppo $G$ e si dice {\it trasformazione di Pohlmeyer}. Si ha:
\begin{align*}
R_{,\mu}&=(\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1})_{,\mu}\Psi(x^1,x^2,\zl)
+\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}\Psi(x^1,x^2,\zl)_{,\mu}\\
&=-\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}\Psi(x^1,x^2,\zl_0)_{,\mu}\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}
\Psi(x^1,x^2,\zl)+\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}\Psi(x^1,x^2,\zl)_{,\mu}\\
&=-\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}g(x^1,x^2,\zl_0)_{,\mu}\Psi(x^1,x^2,\zl)
+\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}g(x^1,x^2,\zl)_{,\mu}\Psi(x^1,x^2,\zl)\\
&=\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}\left[g(x^1,x^2,\zl)_{,\mu}-g(x^1,x^2,\zl_0)_{,\mu}
\right]\Psi(x^1,x^2,\zl_0)R(x^1,x^2;\zl)\\
&=\Psi(x^1,x^2,\zl_0)^{-1}\left[(\zl-\zl_0)g(x^1,x^2,\zl_0)_{,\mu\zl}+\ldots
\right]\Psi(x^1,x^2,\zl_0)R(x^1,x^2;\zl).
\end{align*}
Utilizzando il Teorema di Schwarz ($R_{,12}=R_{,21}$) si ha:
$$(\Psi^{-1}g_{1,\zl}\Psi)_{,2}=(\Psi^{-1}g_{2,\zl}\Psi)_{,1},$$
rendendo chiusa la forma differenziale
$$(\Psi^{-1}g_{1,\zl}\Psi)dx^1+(\Psi^{-1}g_{2,\zl}\Psi)dx^2.$$
Poich\`e $(x^1,x^2)\in\R^2$, esiste una funzione $\tau=\tau(x^1,x^2,\zl)$
a valori in $\mathfrak{g}$ tale che
$$\tau_{,\mu}=\Psi^{-1}g_{\mu,\zl}\Psi.$$
Integrando quest'ultima equazione si ottiene\footnote{Si ha: $\tau_{,\mu}
=-\Psi^{-1}\Psi_{,\mu}\Psi^{-1}\Psi_{,\zl}+\Psi^{-1}\Psi_{,\zl\mu}=-\Psi^{-1}
g_\mu\Psi_{,\zl}+\Psi^{-1}(g_\mu\Psi)_{,\zl}=\Psi^{-1}g_{\mu,\zl}\Psi$.}
$$\tau=\Psi^{-1}\Psi_{,\zl}+\text{cost}.,$$
dove il termine costante appartiene a $\mathfrak{g}$. Per convenienza poniamo
$\text{cost}.=0\in\mathfrak{g}$.

L'equazione
\begin{equation}\label{KdV.12}
\tau=\tau(x^1,x^2,\zl)=\Psi(x^1,x^2,\zl)^{-1}\Psi(x^1,x^2,\zl)_{,\zl}\in
\mathfrak{g}
\end{equation}
si pu\`o interpretare come la rappresentazione in coordinate $(x^1,x^2)\in\R^2$
di una superficie immersa nello spazio vettoriale $\mathfrak{g}$ di dimensione
$N$. Le superfici dipendono dal parametro spettrale $\zl\in\R$ e si dicono
{\it superfici solitoniche}.

Torniamo all'esempio NLS focusing, dove $N=3$ \`e la dimensione dell'algebra di
Lie $\mathfrak{su}(2)$. La corrispondenza biunivoca
\begin{equation}\label{KdV.13}
-\tfrac{i}{2}[c^1\zs_1+c^2\zs^2+c^3\zs^3]\Longleftrightarrow
\bc=\begin{pmatrix}c^1\\ c^2\\ c^3\end{pmatrix}
\end{equation}
tra $\mathfrak{su}(2)$ e lo spazio euclideo $\R^3$ conduce ad un'immersione
delle superfici solitoniche in $\R^3$. Inoltre, il commutatore di due matrici
appartenenti a $\mathfrak{su}(2)$ corrisponde al prodotto vettore delle loro
immagini [tranne per un fattore $-2$]:
$$\left[-\tfrac{i}{2}(c^1\zs_1+c^2\zs^2+c^3\zs^3),
-\tfrac{i}{2}(c^1\zs_1+c^2\zs^2+c^3\zs^3)\right]
\Longleftrightarrow(\bc\times\bd).$$
Di conseguenza, la \eqref{KdV.13} costituisce un isomorfismo di Lie tra le
algebre di Lie $\mathfrak{su}(2)$ e $(\R^3,\times)$.

Consideriamo ora due soluzioni $\Psi$ e $\tilde{\Psi}$ della \eqref{KdV.11}
appartenenti al gruppo di Lie $G$. Allora la matrice
$$D=\tilde{\Psi}\Psi^{-1}$$
appartenente a $G$ si chiama {\it matrice di Darboux}. Si dimostra facilmente
che
\begin{align*}
D_{,\mu}&=\tilde{\Psi}_{,\mu}\Psi^{-1}+\tilde{\Psi}(\Psi^{-1})_{,\mu}
=\tilde{\Psi}_{,\mu}\Psi^{-1}-\tilde{\Psi}\Psi^{-1}\Psi_{,\mu}\Psi^{-1}\\
&=g_\mu\tilde{\Psi}\Psi^{-1}-\tilde{\Psi}\Psi^{-1}g_\mu
=g_\mu D-Dg_\mu.
\end{align*}
Le soluzioni di una tale equazione differenziale definiscono una cosiddetta
{\it trasformazione di B\"acklund} dalla famiglia di superfici solitoniche
\eqref{KdV.12} alla nuova famiglia di superfici solitoniche
\begin{equation}\label{KdV.14}
\tilde{\tau}=\tilde{\tau}(x^1,x^2,\zl)
=\tilde{\Psi}(x^1,x^2,\zl)^{-1}\tilde{\Psi}(x^1,x^2,\zl)_{,\zl}\in\mathfrak{g}.
\end{equation}

Concludiamo con un esercizio semplice. Consideriamo la soluzione $q\equiv0$
dell'equazione NLS focusing. In tal caso
$$g_1=-i\zl\zs_3,\qquad g_2=2i\zl^2\zs_3,$$
ambedue appartenenti a $\mathfrak{g}$ per $\zl\in\R$. In tal caso otteniamo
dalla \eqref{KdV.11}
$$\Psi(x^1,x^2,\zl)=e^{[-i\zl x^1+2i\zl^2 x^2]\zs_3},$$
una matrice diagonale appartenente a $SU(2)$ per ogni $\zl\in\R$. Quindi
$$\tau(x^1,x^2,\zl)=\Psi(x^1,x^2,\zl)^{-1}\Psi(x^1,x^2,\zl)_{,\zl}
=[-ix^1+4i\zl x^2]\zs_3\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0\\0\\
2x^1-8\zl x^2\end{pmatrix},$$
la quale rappresenta una famiglia di superfici degeneri.

\section{Inverse scattering transform per la KdV}\label{sec:KdV.4}

In questo paragrafo discuteremo la teoria di scattering dell'equazione di
Schr\"o\-din\-ger sulla retta, sviluppata da Ludwig Faddeev \cite{Fa64}. Un
resoconto della teoria di scattering viene presentata in \cite[Cap.~XVII]{CS}.
Tale teoria ci consente, mediante la IST, di risolvere il problema di Cauchy
dell'equazione di Kor\-te\-weg-de Vries.
\medskip

{\bf 1. Soluzioni di Jost}. Consideriamo l'equazione di Schr\"o\-din\-ger sulla
retta
\begin{equation}\label{KdV.15}
-\psi^{\prime\prime}(k,x)+Q(x)\psi(k,x)=k^2\psi(k,x),
\end{equation}
dove $x\in\R$ \`e la posizione, $Q(x)$ \`e un potenziale reale e $k$ \`e un
parametro spettrale (essendo $k$ il numero d'onda e $k^2$ l'energia). Ci
limitiamo a scegliere $k\in\overline{\C^+}\cup\R$ (cio\`e, $\text{Im}\,k\ge0$).
Il potenziale $Q(x)$ verifica la cosiddetta {\it condizione di Faddeev}:
\begin{equation}\label{KdV.16}
\int_{-\infty}^\infty dx\,(1+|x|)|Q(x)|<+\infty.
\end{equation}
Introduciamo le cosiddette {\it soluzioni di Jost} $f_l(k,x)$ e $f_r(k,x)$
che verificano le condizioni asintotiche
\begin{subequations}\label{KdV.17}
\begin{alignat}{3}
f_l(k,x)&=e^{ikx}[1+o(1)],&\qquad&x\to+\infty,\label{KdV.17a}\\
f_r(k,x)&=e^{-ikx}[1+o(1)],&\qquad&x\to-\infty.\label{KdV.17b}
\end{alignat}
\end{subequations}

Utilizzando il metodo della variazione delle costanti si ottengono le equazioni
integrali di Volterra
\begin{subequations}\label{KdV.18}
\begin{align}
\tcb{e^{-ikx}f_l(k,x)}&=1+\int_x^\infty dy\,\frac{e^{2ik(y-x)}-1}{2ik}Q(y)
\tcb{e^{-iky}f_l(k,y)},\label{KdV.18a}\\
\tcb{e^{ikx}f_r(k,x)}&=1+\int_{-\infty}^x dy\,\frac{e^{2ik(x-y)}-1}{2ik}Q(y)
\tcb{e^{iky}f_r(k,y)}.\label{KdV.18b}
\end{align}
\end{subequations}
Iterando le due equazioni integrali si pu\`o dimostrare il seguente:
\begin{itemize}
\item[a.] Le soluzioni di Jost sono le uniche soluzioni dell'equazione di
Schr\"o\-din\-ger \eqref{KdV.15} che verificano le condizioni \eqref{KdV.16}.
\item[b.] Per ogni $x\in\R$ la {\it funzione di Faddeev} $e^{-ikx}f_l(k,x)$ \`e
continua in $k\in\overline{\C^+}$, \`e analitica in $k\in\C^+$ e tende ad $1$ se
$k\to\infty$ in $\overline{\C^+}$ uniformemente in $x\ge x_0$.
\item[c.] Per ogni $x\in\R$ la {\it funzione di Faddeev} $e^{ikx}f_r(k,x)$ \`e
continua in $k\in\overline{\C^+}$, \`e analitica in $k\in\C^+$ e tende ad $1$ se
$k\to\infty$ in $\overline{\C^+}$ uniformemente in $x\le x_0$.
\item[d.] Poich\`e il potenziale $Q(x)$ \`e reale
e $[e^{\mp i[k^*]x}]^*=e^{\pm ikx}$, si ha:
\begin{equation}\label{KdV.19}
f_l(-k^*,x)^*=f_l(k,x),\qquad f_r(-k^*,x)^*=f_r(k,x).
\end{equation}
\end{itemize}

{\bf 2. Coefficienti di scattering}. Studiamo ora l'andamento di $f_l(k,x)$ se
$x\to-\infty$ e quello di $f_r(k,x)$ se $x\to+\infty$. Per $0\neq k\in\R$ si ha:
\begin{subequations}\label{KdV.20}
\begin{alignat}{3}
f_l(k,x)&=\overline{a}(k)e^{ikx}+\overline{b}(k)e^{-ikx}+o(1),&\qquad
&x\to-\infty,\label{KdV.20a}\\
f_r(k,x)&=a(k)e^{-ikx}+b(k)e^{ikx}+o(1),&\qquad&x\to+\infty,\label{KdV.20b}
\end{alignat}
\end{subequations}
dove
\begin{align*}
\overline{a}(k)&=1-\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^\infty dy\,Q(y)\tcb{e^{-iky}
f_l(k,y)},\\
\overline{b}(k)&=\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^\infty dy\,e^{2iky}Q(y)
\tcb{e^{-iky}f_l(k,y)},\\
a(k)&=1-\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^\infty dy\,Q(y)\tcb{e^{iky}f_r(k,y)},\\
b(k)&=\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^\infty dy\,e^{-2iky}Q(y)\tcb{e^{iky}f_r(k,y)}.
\end{align*}
Quindi $a(k)$ and $\overline{a}(k)$ sono continue in
$0\neq k\in\overline{\C^+}$, sono analitiche in $k\in\C^+$ e tendono ad $1$ se
$k\to\infty$ in $\overline{\C^+}$; inoltre, esistono finiti i limiti di
$k[1-a(k)]$ e $k[1-\overline{a}(k)]$ se $k\to0$ in $\overline{\C^+}$. D'altra
parte, $b(k)$ e $\overline{b}(k)$ sono continue in $0\neq k\in\R$ e tendono a
zero se $k\to\pm\infty$; inoltre, esistono finiti i limiti di $kb(k)$
e $k\overline{b}(k)$ se $k\to0$ in $\R$. Inoltre, utilizzando \eqref{KdV.19}
si ha:
\begin{subequations}\label{KdV.21}
\begin{alignat}{3}
a(-k^*)^*&=a(k),&\qquad\overline{a}(-k^*)^*&=\overline{a}(k),\label{KdV.21a}\\
b(-k)^*&=b(k),&\qquad\overline{b}(-k)&=\overline{b}(k),\label{KdV.21b}
\end{alignat}
\end{subequations}
dove \eqref{KdV.21a} vale per $0\neq k\in\overline{\C^+}$ e \eqref{KdV.21b} vale
per $0\neq k\in\R$.

\`E facile dimostrare che il Wronskiano
$$W[\psi,\phi]=\det\begin{pmatrix}\psi(k,x)&\phi(k,x)\\
\psi^\prime(k,x)&\phi^\prime(k,x)\end{pmatrix}$$
di due soluzioni $\psi(k,x)$ e $\phi(k,x)$ dell'equazione di Schr\"o\-din\-ger
\eqref{KdV.15} non dipende da $x\in\R$.\footnote{Infatti, $\tfrac{d}{dx}
W[\psi,\phi]=(\psi\phi^\prime-\psi^\prime\phi)^\prime=\psi\phi^{\prime\prime}
-\psi^{\prime\prime}\phi=\psi(Q-k^2)\phi-(Q-k^2)\psi\phi=0$.}
Utilizzando le espressioni asintotiche
per i Wronskiani per $x\to\pm\infty$ si ha:
\begin{subequations}\label{KdV.22}
\begin{align}
W[f_l(k,x),f_r(k,x)]&=-2ika(k)=-2ik\overline{a}(k),\label{KdV.22a}\\
W[f_r(k,x),f_r(-k,x)]&=2ik[a(k)a(-k)-b(k)b(-k)]=2ik,\label{KdV.22b}\\
W[f_l(k,x),f_l(-k,x)]&=-2ik=-2ik[\overline{a}(k)\overline{a}(-k)
-\overline{b}(k)\overline{b}(-k)],\label{KdV.22c}\\
W[f_l(k,x),f_r(-k,x)]&=-2ikb(-k)=2ik\overline{b}(k).\label{KdV.22d}
\end{align}
\end{subequations}
Dalla\eqref{KdV.22a} segue che le soluzioni di Jost $f_l(0,x)$ e $f_r(0,x)$ per
$k=0$ sono linearmente indipendenti se e solo se $\lim_{k\to0}\,[ka(k)]\neq0$
({\it caso generico}), mentre se $\lim_{k\to0}\,[ka(k)]=0$ ({\it caso
eccezionale}), le funzioni $f_l(0,x)$ e $f_r(0,x)$ sono proporzionali. Dalle
equazioni \eqref{KdV.22b}-\eqref{KdV.22d} segue che
$$\begin{cases}\overline{a}(k)=a(k),&0\neq k\in\overline{\C^+},\\
|a(k)|^2-|b(k)|^2=1,&0\neq k\in\R,\\
|\overline{a}(k)|^2-|\overline{b}(k)|^2=1,&0\neq k\in\R.\\
\overline{b}(k)=-b(k)^*,&0\neq k\in\R.\end{cases}$$
Di conseguenza, $a(k)\neq0$ per $0\neq k\in\R$.

Definiamo il {\it coefficiente di trasmissione} $T(k)$ e i due {\it coefficienti
di riflessione} $R(k)$ e $L(k)$ nel seguente modo:
$$T(k)=\frac{1}{a(k)}=\frac{1}{\overline{a}(k)},\quad
R(k)=\frac{b(k)}{a(k)},\quad
L(k)=\frac{\overline{b}(k)}{\overline{a}(k)}.$$
Allora $T(k)$ \`e una funzione meromorfa in $k\in\C^+$. Inoltre,
$$\begin{cases}T(-k^*)^*=T(k),&0\neq k\in\overline{\C^+},\ k\ \text{non\ \`e\
polo},\\ R(-k)^*=R(k),&0\neq k\in\R,\\ L(-k)^*=L(k),&0\neq k\in\R.\end{cases}$$
Infine, la {\it matrice di scattering}
$$S(k)=\begin{pmatrix}T(k)&R(k)\\ L(k)&T(k)\end{pmatrix}$$
\`e unitaria per $k\in\R$.\footnote{Gli elementi $T(k)$, $R(k)$ e $L(k)$ della
matrice di scattering $S(k)$ sono continui in $k\in\R$, anche se $k\to0$. Non
dimostriamo questo fatto. Lo studio delle propriet\`a asintotiche delle
soluzioni di Jost e dei coefficienti di scattering per $k\to0$ \`e abbastanza
impegnativo, in particolare nel caso eccezionale.}
\medskip

{\bf 3. Problema di Riemann-Hilbert}. Dalla relazione Wronskiana \eqref{KdV.22a}
segue che le soluzioni di Jost $f_l(k,x)$ e $f_r(k,x)$ sono linearmente
indipendenti per $k\in\R$ nel caso generico e per $0\neq k\in\R$ nel caso
eccezionale. Per tali valori di $k$ esiste una trasformazione di base
$$\begin{pmatrix}f_l(-k,x)\\ f_r(-k,x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\za_{11}(k)
&\za_{12}(k)\\ \za_{21}(k)&\za_{22}(k)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}f_r(k,x)\\ f_l(k,x)\end{pmatrix},$$
dove i coefficienti $\za_{11}(k)$, $\za_{12}(k)$, $\za_{21}(k)$ e $\za_{22}(k)$
devono essere determinati. Utilizzando le propriet\`a asintotiche delle
soluzioni di Jost per $x\to+\infty$, si ha:
\begin{align*}
1&=\za_{11}(k)a(k),\\ 0&=\za_{11}(k)b(k)+\za_{12}(k),\\
a(-k)&=\za_{21}(k)a(k),\\ a(-k)&=\za_{21}(k)b(k)+\za_{22}(k).
\end{align*}
Quindi $\za_{11}(k)=[1/a(k)]=T(k)$, $\za_{12}(k)=-[b(k)/a(k)]=-R(k)$,
$\za_{21}(k)=[b(-k)/a(k)]=-[\overline{b}(k)/\overline{a}(k)]=-L(k)$,
$\za_{22}(k)=[a(k)a(-k)-b(-k)b(k)]/a(k)=[|a(k)|^2-|b(k)|^2]/a(k)=[1/a(k)]=T(k)$.
Di conseguenza, si ha:
$$\begin{pmatrix}f_l(-k,x)\\ f_r(-k,x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}T(k)&-R(k)\\
-L(k)&T(k)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_r(k,x)\\ f_l(k,x)\end{pmatrix}.$$
Prendendo in considerazione i comportamenti asintotici delle soluzioni di Jost
per $k\to\infty$, si ha il cosiddetto {\it problema di Riemann-Hilbert}:
\begin{equation}\label{KdV.23}
\underbrace{\begin{pmatrix}e^{ikx}f_l(-k,x)\\ e^{-ikx}f_r(-k,x)
\end{pmatrix}}_{\text{analitica\ in}\ k\in\C^-}
=\underbrace{\begin{pmatrix}T(k)&-e^{2ikx}R(k)\\ -e^{-2ikx}L(k)&T(k)
\end{pmatrix}}_{=\zs_3S(k;x)\zs_3}\underbrace{\begin{pmatrix}e^{ikx}f_r(k,x)\\
e^{-ikx}f_l(k,x)\end{pmatrix}}_{\text{analitica\ in}\ k\in\C^+},
\end{equation}
dove $S(k;x)=\text{diag}(e^{ikx},e^{-ikx})S(k)\text{diag}(e^{-ikx},e^{ikx})$.
\medskip

{\bf 4. Equazione integrale di Marchenko}. Prima di dedurre tale equazione
si studiamo gli autovalori discreti dell'equazione di Schr\"o\-din\-ger
\eqref{KdV.15}.

\begin{proposition}\label{th:KdV.3}
Gli zeri di $a(k)$ sono immaginari, semplici e finiti in numero. Quindi, questi
zeri possono essere enumerati $i\zk_s$ {\rm($s=1,2,\ldots,N$)}, dove
$\zk_1>\ldots>\zk_N>0$.
\end{proposition}

\begin{proof} Omettiamo la dimostrazione del fatto che gli zeri sono semplici
e, nel caso eccezionale, sono finiti in numero.

Sia $a(k)=0$ per $k=\zg+i\zk\in\C^+$, dove $\zk>0$. Dalla relazione Wronskiana
\eqref{KdV.22a} segue che $f_l(k,x)$ e $f_r(k,x)$ sono proporzionali:
$f_l(k,x)=C\,f_r(k,x)$ per un'opportuna costante $C\neq0$. Pi\`e esplicitamente,
possiamo scrivere
$$\begin{cases}f_l(k,x)\sim e^{i\zg x}e^{-\zk x},&x\to+\infty,\\
f_l(k,x)\sim C\,e^{-i\zg x}e^{\zk x},&x\to-\infty,\end{cases}$$
e quindi $f_l(k,x)$ ha decadimento esponenziale per $x\to\pm\infty$. Ma
in tal caso l'equazione di Schr\"o\-din\-ger \eqref{KdV.15} ha un autovalore
$k^2$ che deve per forza essere negativo. Di conseguenza, gli zeri
di $a(k)$ sono immaginari: $k=i\zk$ per un'opportuna $\zk>0$.

Per motivi di analiticit\`a, gli zeri di $a(k)$ si possono soltanto accumulare
in zero e soltanto se ci sono infiniti zeri. Quest'ultimo non avviene nel caso
generico, per cui $\lim_{k\to0}\,[ka(k)]\neq0$.
\end{proof}

Il coefficiente di trasmissione ammette la seguente rappresentazione:
$$T(k)=T_0(k)+\sum_{s=1}^N\,\frac{\tau_s}{k-i\zk_s},$$
dove $T_0(k)$ \`e continua in $k\in\overline{\C^+}$, \`e analitica in $k\in\C^+$
e tende ad $1$ per $k\to\infty$ in $\overline{\C^+}$.

Il problema di Riemann-Hilbert \eqref{KdV.23} implica:
\begin{align*}
\tcb{e^{ikx}f_l(-k,x)}&=T(k)\tcr{e^{ikx}f_r(k,x)}
-e^{2ikx}R(k)[e^{-ikx}f_l(k,x)]\\
&=\tcr{T_0(k)e^{ikx}f_r(k,x)}+\tcr{\sum_{s=1}^N\,\tau_s\frac{e^{ikx}f_r(k,x)
-e^{-\zk_sx}f_r(i\zk_s,x)}{k-i\zk_s}}\\
&+i\,\tcb{\sum_{s=1}^N\,\frac{N_se^{-2\zk_sx}[e^{\zk_sx}
f_l(i\zk_s,x)]}{k-i\zk_s}}-e^{2ikx}R(k)[e^{-ikx}f_l(k,x)],
\end{align*}
dove, per opportune {\it costanti di normalizzazione} $N_s$ ($s=1,2,\ldots,N$),
si \`e posto\footnote{Si pu\`o dimostrare che le costanti di normalizzazione
sono tutte positive. La dimostrazione si basa su: (a)~la semplicit\`a dei poli
di $T(k)$, (b)~la relazione di simmetria $T(-k^*)^*=T(k)$, e (c)~il fatto che,
per $s=1,\ldots,N$, $f_l(i\zk_s,x)$ ha $s-1$ zeri reali, tutti semplici.}
$$\tau_sf_r(i\zk_s,x)=iN_sf_l(i\zk_s,x).$$

Rappresentiamo ora la soluzione di Jost $f_l(k,x)$ e il coefficiente di
riflessione $R(k)$ tramite i seguenti integrali di Fourier:\footnote{Abbiamo
anche $f_r(k,x)=e^{-ikx}+\int_0^\infty dy\,e^{-iky}M(x,y)$ e
$L(k)=\int_{-\infty}^\infty d\za\,e^{ik\za}\hat{L}(\za)$.}
\begin{subequations}\label{KdV.24}
\begin{align}
f_l(k,x)&=e^{ikx}+\int_x^\infty dy\,e^{iky}K(x,y),\label{KdV.24a}\\
R(k)&=\int_{-\infty}^\infty d\za\,e^{-ik\za}\hat{R}(\za).\label{KdV.24b}
\end{align}
\end{subequations}
Sostituendo \eqref{KdV.24} nel problema di Riemann-Hilbert e osservando che la
seconda riga della parte a destra ammette la rappresentazione di Fourier
$1+\int_{-\infty}^0 dw\,e^{-ikw}f(x,w)$ per un'opportuna funzione $f(x,w)$, si
ha:
\begin{align*}
1&+\int_0^\infty dw\,e^{-ikw}K(x,x+w)=\tcr{1+\int_{-\infty}^0 dw\,e^{-ikw}
f(x,w)}\\
&-\int_0^\infty dw\,e^{-ikw}\sum_{s=1}^N\,N_s\left[e^{-\zk_s(w+2x)}
+\int_0^\infty dz\,e^{-\zk_s(w+z+2x)}K(x,x+z)\right]\\
&-\int_{-\infty}^\infty dw\,e^{-ikw}\left[\hat{R}(w+2x)
+\int_0^\infty dz\,\hat{R}(w+z+2x)K(x,x+z)\right].
\end{align*}
Limitandoci ai termini $\int_0^\infty dw\,[\ldots]$ e strippando la trasformata
di Fourier, per $w\ge0$ si ottiene l'equazione integrale
\begin{align*}
K(x,x+w)&=-e^{-\zk_s(w+2x)}+\int_0^\infty dz\,e^{-\zk_s(w+z+2x)}K(x,x+z)\\
&-\hat{R}(w+2x)-\int_0^\infty dz\,\hat{R}(w+z+2x)K(x,x+z).
\end{align*}
Introducendo il {\it nucleo di Marchenko}
\begin{equation}\label{KdV.25}
\zO(w)=\hat{R}(w)+\sum_{s=1}^N\,N_se^{-\zk_sw},
\end{equation}
si perviene all'{\it equazione integrale di Marchenko}
\begin{equation}\label{KdV.26}
K(x,y)+\zO(x+y)+\int_x^\infty dz\,K(x,z)\zO(z+y)=0,\qquad y>x.
\end{equation}

Rimane da dedurre un'espressione per il potenziale $Q(x)$ una volta che sia nota
la soluzione $K(x,y)$ di \eqref{KdV.26}. Sostituendo \eqref{KdV.24a} in
\eqref{KdV.18a} si ha:
\begin{align*}
1&+\int_0^\infty dw\,e^{ikw}K(x,x+w)\\ &=1+\int_x^\infty dy\int_x^y dv\,
e^{2ik(v-x)}Q(y)\left[1+\int_0^\infty dz\,e^{ikz}K(y,y+z)\right]\\
&=1+\tfrac{1}{2}\int_0^\infty dw\,e^{ikw}\int_{x+\tfrac{1}{2}w}^\infty dy\,
Q(y)\\ &+\tfrac{1}{2}\int_0^\infty dw\,e^{ikw}\int_0^w dz
\int_{x+\tfrac{1}{2}(w-z)}^\infty dy\,Q(y)K(y,y+z).
\end{align*}
Strippando la trasformata di Fourier, per $w\ge0$ si ottiene:
$$K(x,x+w)=\tfrac{1}{2}\int_{x+\tfrac{1}{2}w}^\infty dy\,Q(y)+\tfrac{1}{2}
\int_0^w dz\int_{x+\tfrac{1}{2}(w-z)}^\infty dy\,Q(y)K(y,y+z),$$
e quindi per $w\to0^+$ si ha
$$K(x,x)=\tfrac{1}{2}\int_x^\infty dy\,Q(y).$$
Poich\`e $Q\in L^1(\R)$, la funzione $K(x,x)$ \`e assolutamente continua (nel
senso che \`e continua e derivabile quasi ovunque, con la derivata appartenente
a $L^1(a,b)$ per ogni intervallo limitato $(a,b)$). Di consequenza,
\begin{equation}\label{KdV.27}
Q(x)=-2\frac{d}{dx}\,K(x,x).
\end{equation}

{\bf 5. Evoluzione nel tempo}. Senza entrare nei dettagli, elenchiamo
l'evoluzione temporale delle diverse quantit\`a se il potenziale $Q(x,t)$
evolve nel tempo come se fosse una soluzione dell'equazione di Kor\-te\-weg-de
Vries.
\begin{itemize}
\item[a.] Gli autovalori discreti e quindi i poli $i\zk_s$ ($s=1,2,\ldots,N$)
non dipendono da $t$. Non dipende da $t$ neppure il coefficiente di trasmissione
$T(k)$.
\item[b.] $R(k;t)=e^{8ik^3t}R(k;0)$ e $L(k;t)=e^{-8ik^3t}L(k;0)$.
\item[c.] $N_s(t)=e^{8\zk_s^3t}N_s(0)$ per $s=1,2,\ldots,N$.
\item[d.] Il nucleo di Marchenko soddisfa la seguente equazione"
$$\zO_t+8\,\zO_{xxx}=0.$$
\end{itemize}
In forma schematica la IST pu\`o essere descritta dal seguente diagramma:
$$\begin{CD}
u(x,0)@>{\text{scattering\ diretto}}>>\{R(k),\{\kappa_j,N_j\}_{j=1}^N\}\\
@V{\text{KdV}}VV {} @VV{\text{evoluzione\ nel\ tempo}}V\\
u(x,t)@<{\text{scattering\ inverso}}<<\{R(k)e^{8ik^3t},
\{\kappa_j,N_je^{8\kappa_j^3t}\}_{j=1}^N\}
\end{CD}$$

\begin{example}[Soluzione monosolitone]\label{th:KdV.4}
Consideriamo il nucleo di Marchenko
$$\zO(x;t)=N_1e^{-\zk_1x}e^{8\zk_1^3t},$$
dove $\zk_1$ e $N_1$ sono costanti positive. Dalla\eqref{KdV.26} segue
$$K(x,y;t)=-N_1e^{-\zk_1y}e^{8\zk_1^3t}
\underbrace{\left[e^{-\zk_1x}+\int_x^\infty
dz\,e^{-\zk_1z}K(x,z;t)\right]}_{=L(x;t)}.$$
Dunque,
\begin{align*}
L(x;t)&=e^{-\zk_1x}-N_1e^{8\zk_1^3t}L(x;t)\int_x^\infty dz\,e^{-2\zk_1z}
=e^{-\zk_1x}-\frac{N_1}{2\zk_1}e^{-2\zk_1x}e^{8\zk_1^3t}L(x;t),
\end{align*}
e quindi
$$L(x;t)=\frac{e^{-\zk_1x}}{1+\frac{N_1}{2\zk_1}e^{-2\zk_1x}e^{8\zk_1^3t}}.$$
Di conseguenza,
$$K(x,y;t)=-\frac{N_1e^{-\zk_1(x+y)}e^{8\zk_1^3t}}
{1+\frac{N_1}{2\zk_1}e^{-2\zk_1x}e^{8\zk_1^3t}},$$
e, usando la \eqref{KdV.24a},
\begin{align*}
f_l(k,x;t)&=e^{ikx}\left[1-\frac{iN_1e^{-2\zk_1x}e^{8\zk_1^3t}}{(k+i\zk_1)
\left[1+\frac{N_1}{2\zk_1}e^{-2\zk_1x}e^{8\zk_1^3t}\right]}\right]\\
&=e^{ikx}\left[\frac{k-i\zk_1}{k+i\zk_1}\!+\!\frac{2i\zk_1}{k+i\zk_1}\,
\frac{1}{1+\frac{2\zk_1}{N_1}e^{2\zk_1x}e^{-8\zk_1^3t}}\right]
\!=\!e^{ikx}\left[\frac{k-i\zk_1}{k+i\zk_1}+o(1)\right],
\end{align*}
se $x\to-\infty$. Quindi $T(k;t)=\frac{k+i\zk_1}{k-i\zk_1}$ e $R(k;t)=L(k;t)=0$.
Inoltre, tramite la \eqref{KdV.27},
$$Q(x;t)=-2\frac{\partial}{\partial x}\,K(x,x;t)=\frac{-4\zk_1N_1e^{-2\zk_1x}
e^{8\zk_1^3t}}{\left[1+\frac{N_1}{2\zk_1}e^{-2\zk_1x}e^{8\zk_1^3t}\right]^2}
=\frac{-2\zk_1^2}{\cosh^2[\zk_1(x-x_0-4\zk_1^2t)]},$$
essendo $x_0=[\ln(N_1/2\zk_1)/2\zk_1]$. Si vede che $Q(x,t)$ rappresenta un
solitone con ampiezza $2\zk_1^2$ e velocit\`a $4\zk_1^2$. \hfill$\tcm{\Box}$
\end{example}

\section{Inverse scattering transform per la NLS}\label{sec:KdV.5}

In questo paragrafo discuteremo la teoria di scattering del sistema di
Zakharov-Shabat (ZS) e la risoluzione dell'equazione nonlineare di
Schr\"o\-din\-ger mediante l'inverse scattering transform.
\medskip

{\bf 1. Soluzioni di Jost}. Consideriamo il sistema di Zakharov-Shabat
\begin{equation}\label{KdV.28}
i\zs_3\frac{\partial X}{\partial x}(x,\zl)-iQ(x)X(x,\zl)=\zl X(x,\zl),
\end{equation}
dove
$$\zs_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad Q(x)=\begin{pmatrix}
0&q(x)\\ r(x)&0\end{pmatrix},$$
i potenziali $q(x)$ e $r(x)$ appartengono a $L^1(\R)$ e $\zl$ \`e un parametro
spettrale. Nel caso {\it defocusing} si ha $r(x)=-q(x)^*$; nel caso
{\it focusing} si ha $r(x)=q(x)^*$.

Per $\zl\in\R$ definiamo ora le cosiddette {\it funzioni di Jost dalla destra}
$\overline{\psi}(x,\zl)$ e $\psi(x,\zl)$, le cosiddette {\it funzioni di Jost
dalla sinistra} $\phi(x,\zl)$ e $\overline{\phi}(x,\zl)$ e le {\it matrici di
Jost} $\Psi(x,\zl)$ e $\Phi(x,\zl)$ come le soluzioni della \eqref{KdV.25} che
verificano le seguenti condizioni asintotiche:
\begin{subequations}\label{KdV.29}
\begin{align}
\Psi(x,\zl)&=\begin{pmatrix}\overline{\psi}(x,\zl)&\psi(x,\zl)\end{pmatrix}
=\begin{cases}e^{-i\zl x\zs_3}[I_2+o(1)],&x\to+\infty,\\ e^{-i\zl x\zs_3}
[a_l(\zl)+o(1)],&x\to-\infty,\end{cases}\label{KdV.29a}\\
\Phi(x,\zl)&=\begin{pmatrix}\phi(x,\zl)&\overline{\phi}(x,\zl)\end{pmatrix}
=\begin{cases}e^{-i\zl x\zs_3}[a_r(\zl)+o(1)],&x\to+\infty,\\
e^{-i\zl x\zs_3}[I_2+o(1)],&x\to-\infty.\end{cases}\label{KdV.29b}
\end{align}
\end{subequations}
Siccome il sistema di equazioni \eqref{KdV.28} \`e di primo ordine, valgono le
relazioni di proporzionalit\`a
\begin{equation}\label{KdV.30}
\Phi(\zl,x)=\Psi(x,\zl)a_l(\zl),\qquad\Psi(x,\zl)=\Phi(x,\zl)a_r(\zl),
\end{equation}
per opportune {\it matrici di transizione} $a_l(\zl)$ e $a_r(\zl)$. Ovviamente
$$a_l(\zl)a_r(\zl)=a_r(\zl)a_l(\zl)=I_2,\qquad\zl\in\R.$$

Scrivendo \eqref{KdV.28} nella forma
$$\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-i\zl(x-y)\zs_3}X(y,\zl)\right)
=\zs_3e^{-i\zl(x-y)\zs_3}Q(y)X(y,\zl)$$
e integrando rispetto ad $y$, si ha:
\begin{subequations}\label{KdV.31}
\begin{align}
\Psi(x,\zl)&=e^{-i\zl x\zs_3}-\zs_3\int_x^\infty dy\,e^{i\zl(y-x)\zs_3}Q(y)
\Psi(y,\zl),\label{KdV.31a}\\
\Phi(x,\zl)&=e^{-i\zl x\zs_3}+\zs_3\int_{-\infty}^x dy\,e^{-i\zl(x-y)\zs_3}
Q(y)\Phi(y,\zl).\label{KdV.31b}
\end{align}
\end{subequations}
Iterando le due equazioni integrali \eqref{KdV.31} si pu\`o dimostrarne
l'esistenza della soluzione unica e la stima
\begin{align*}
\|\Psi(x,\zl)\|&\le\exp\left(\int_x^\infty dy\,\|Q(y)\|\right),\\
\|\Phi(x,\zl)\|&\le\exp\left(\int_{-\infty}^x dy\,\|Q(y)\|\right).
\end{align*}

Convertendo le due equazioni integrale \eqref{KdV.31} in due famiglie di due
equazioni integrali per ciascuna funzione di Jost, si ottengono le loro
propriet\`a di continuit\`a e analiticit\`a. Infatti, per ogni $x\in\R$ le
funzioni colonna $e^{-i\zl x}\psi(x,\zl)$ e $e^{i\zl x}\phi(x,\zl)$ sono
continue in $\zl\in\overline{\C^+}$, sono analitiche in $\zl\in\C^+$ e tendono
a $\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)$
e $\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)$ rispettivamente se
$\zl\to\infty$ dal semipiano superiore chiuso. Analogamente, per ogni $x\in\R$
le funzioni colonna $e^{i\zl x}\overline{\psi}(x,\zl)$
e $e^{-i\zl x}\overline{\phi}(x,\zl)$ sono continue in $\zl\in\overline{\C^-}$,
sono analitiche in $\zl\in\C^-$ e tendono
a $\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)$
e $\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)$ rispettivamente se
$\zl\to\infty$ dal semipiano inferiore chiuso.

Scrivendo il sistema di Zakharov-Shabat \eqref{KdV.28} nella forma
$$\frac{\partial X}{\partial x}(x,\zl)=[-i\zl\zs_3+\zs_3Q(x)]X(x,\zl),$$
si osservi che per $\zl\in\R$ la matrice $-i\zl\zs_3+\zs_3Q(x)$ \`e 
antihermitiana nel caso focusing e $\zs_3$-antihermitiana (cio\`e,
$\zs_3[-i\zl\zs_3+\zs_3Q(x)]$ \`e antihermitiana) nel caso defocusing. Inoltre,
$\text{Tr}\,[-i\zl\zs_3+\zs_3Q(x)]=0$. Di conseguenza, per $(x,\zl)\in\R^2$ le
matrici di Jost sono unitarie e hanno il determinante uguale ad $1$ nel caso
focusing [cio\`e, $\Psi(x,\zl)\in SU(2)$ e $\Phi(x,\zl)\in SU(2)$]. Nel caso
defocusing esse sono $\zs_3$-unitarie e hanno il determinante uguale ad $1$
[cio\`e, $\Psi(x,\zl)\in SU(1,1)$
e $\Phi(x,\zl)\in SU(1,1)$].\footnote{$SU(1,1)$ \`e il gruppo di Lie di tutte le
matrici complesse $U$ tali che $U^\dagger\zs_3U=\zs_3$ e $\det U=1$, essendo
$U^\dagger$ la trasposta coniugata di $U$. La corrispondente algebra di Lie
$\mathfrak{su}(1,1)$ consiste in tutte le matrici complesse $A$ per cui $\zs_3A$
\`e antihermitiana.}

Valgono le seguenti {\it rappresentazioni triangolari}
\begin{subequations}\label{KdV.32}
\begin{align}
\Psi(x,\zl)&=e^{-i\zl x\zs_3}+\int_x^\infty dy\,\bK(x,y)e^{-i\zl y\zs_3},
\label{KdV.32a}\\
\Phi(x,\zl)&=e^{-i\zl x\zs_3}+\int_{-\infty}^x dy\,\bM(x,y)e^{-i\zl y\zs_3},
\label{KdV.32b}
\end{align}
\end{subequations}
dove per ogni $x\in\R$ si ha:
$$\int_x^\infty dy\,\|\bK(x,y)\|+\int_{-\infty}^x dy\,\|\bM(x,y)\|<+\infty.$$
Convertendo le equazioni di Volterra \eqref{KdV.31} in equazioni di Volterra per
le funzioni nucleo $\bK(x,y)$ e $\bM(x,y)$, si possono dimostrare le seguenti
identit\`a:
\begin{subequations}\label{KdV.33}
\begin{align}
q(x)&=-2K_{12}(x,x),\qquad r(x)=2K_{21}(x,x),\label{KdV.33a}\\
\int_x^\infty dz\,r(z)q(z)&=-2K_{22}(x,x)=-2K_{11}(x,x).\label{KdV.33b}
\end{align}
\end{subequations}
Nella stessa maniera si dimostra che
\begin{subequations}\label{KdV.34}
\begin{align}
q(x)&=2M_{12}(x,x),\qquad r(x)=-2K_{21}(x,x),\label{KdV.34a}\\
\int_x^\infty dz\,r(z)q(z)&=-2M_{22}(x,x)=-2M_{11}(x,x).\label{KdV.34b}
\end{align}
\end{subequations}
\medskip

{\bf 2. Equazioni di Marchenko}. Riordinando le equazioni \eqref{KdV.30}, si ottiene
\begin{equation}\label{KdV.35}
\begin{pmatrix}\overline{\psi}(x,\zl)&\overline{\phi}(x,\zl)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\phi(x,\zl)&\psi(x,\zl)\end{pmatrix}\zs_3S(\zl)\zs_3,
\end{equation}
dove $S(\zl)$ si dice {\it matrice di scattering}, la parte a sinistra \`e
continua in $\zl\in\C^-\cup\R$ e analitica in $\zl\in\C^-$ e il fattore sinistro
della parte a destra \`e continuo in $\zl\in\C^+\cup\R$ e analitico in
$\zl\in\C^+$. La matrice di scattering ha la forma
$$S(\zl)=\begin{pmatrix}T(\zl)&L(\zl)\\ R(\zl)&T(\zl)\end{pmatrix},$$
dove $T(\zl)$, detta {\it coefficiente di trasmissione}, \`e meromorfa in
$\zl\in\C^+$ e $R(\zl)$ e $L(\zl)$, dette {\it coefficienti di riflessione}, 
sono continue in $\zl\in\R$ e tendono a zero se
$\zl\to\pm\infty$.\footnote{Ci\`o richiede l'ipotesi che gli elementi diagonali
delle matrici di transizione $a_l(\zl)$ e $a_r(\zl)$ non si annullino. Nel caso
defocusing l'ipotesi \`e sempre vera. Non \`e necessariamente vera nel caso
focusing.} Scrivendo
$$R(\zl)=\int_{-\infty}^\infty dy\,e^{-i\zl y}\rho(y),\qquad
L(\zl)=\int_{-\infty}^\infty dy\,e^{i\zl y}\ell(y),$$
dove $\rho,\ell\in L^1(\R)$, si possono dedurre le {\it equazioni di Marchenko}
\begin{subequations}\label{KdV.36}
\begin{align}
\bK(x,y)+\bzo_l(x+y)+\int_x^\infty dz\,\bK(x,z)\bzo_l(z+y)&=0_{2\times2},
\label{KdV.36a}\\
\bM(x,y)+\bzo_r(x+y)+\int_{-\infty}^x dz\,\bM(x,z)\bzo_r(z+y)&=0_{2\times2},
\label{KdV.36b}
\end{align}
\end{subequations}
dove $\bzo_l(x+y)$ e $\bzo_r(x+y)$ anticommutano con $\zs_3$ (cio\`e, sono 
matrici con elementi diagonali uguali a zero). Nel caso defocusing si ha
$$\bzo_l(x+y)^\dagger=\bzo_l(y+x),\qquad\bzo_r(x+y)^\dagger=\bzo_r(y+x).$$
Nel caso focusing si ha invece
$$\bzo_l(x+y)^\dagger=-\bzo_l(y+x),\qquad\bzo_r(x+y)^\dagger=-\bzo_r(y+x).$$

Nel caso defocusing si ha:
$$\bzo_l(x+y)=\begin{pmatrix}0&\rho(x+y)^*\\ \rho(x+y)&0\end{pmatrix},$$
dove $R(\zl)=\int_{-\infty}^\infty dy\,e^{-i\zl y}\rho(y)$ verifica $|R(\zl)|<1$
per ogni $\zl\in\R$. Nel caso focusing si ha invece:\footnote{In generale, la
sommatoria \`e
$\sum_j\sum_{s=0}^{n_j-1}\,\tfrac{(x+y)^s}{s!}e^{i\zl_j(x+y)}$. Nel presente
contesto abbiamo semplificato la discussione delle equazioni di Marchenko.}
$$\bzo_l(x+y)=\begin{pmatrix}0&\rho(x+y)+\sum_j\,c_je^{i\zl_j(x+y)}\\
-\rho(x+y)^*-\sum_j\,c_j^*e^{-i\zl_j^*(x+y)}&0\end{pmatrix},$$
dove la sommatoria consiste in un numero finito di termini e le costanti di
normalizzazione $c_j\neq0$ e gli esponenti $\zl_j$ hanno parte immaginaria
positiva.

Gli esponenti $\zl_j$ sono gli autovalori discreti del problema di
Zakharov-Shabat \eqref{KdV.28} nel semipiano superiore. Infatti, le funzioni
di Jost $\psi(x,\zl_j)$ e $\phi(x,\zl_j)$ sono proporzionali e costituiscono
la corrispondente autofunzione. Le costanti di normalizzazione $c_j$ sono
legate alle corrispondenti costanti di proporzionalit\`a tra $\psi(x,\zl_j)$
e $\phi(x,\zl_j)$.
\bigskip

{\bf 3. Inverse scattering transform}. La IST per l'equazione nonlineare di
Schr\"o\-din\-ger
\begin{subequations}\label{KdV.37}
\begin{align}
iq_t+q_{xx}+2q^2r&=0,\label{KdV.37a}\\ -ir_t+r_{xx}+2qr^2&=0,\label{KdV.37b}
\end{align}
\end{subequations}
consiste nei seguenti passaggi:
\begin{itemize}
\item[1.] {\bf Scattering diretto}. A partire dei potenziali iniziali $q(x,0)$
e $r(x,0)$ si calcoli la matrice di Jost $\Psi(x,\zl)$ e da essa, mediante la
trasformata di Fourier, la funzione nucleo $\bK(x,y)$. Poi si calcolino il
coefficiente di riflessione $R(\zl)$, gli autovalori discreti $\zl_j\in\C^+$ e
le corrispondenti costanti di normalizzazione $c_j$.
\item[2.] {\bf Evoluzione temporale}. Si evolvino nel tempo il coefficienti di
riflessione e le costanti di normalizzazione:
$$R(\zl;t)=e^{4i\zl^2t}R(\zl;t=0),\qquad c_j(t)=e^{4i\zl_j^2t}c_j(t=0).$$
\item[3.] {\bf Scattering inverso}. Si costruisca il nucleo di Marchenko:
$$\bzo_l(x+y;t)=\begin{pmatrix}0&\rho(x+y;t)\\ \rho(x+y;t)^*&0\end{pmatrix}$$
nel caso defocusing e
$$\bzo_l(x+y;t)=\begin{pmatrix}0&\rho(x+y;t)+\sum_j\,c_j(t)e^{i\zl_j(x+y)}\\
-\rho(x+y;t)^*-\sum_j\,c_j(t)^*e^{-i\zl_j^*(x+y)}&0\end{pmatrix}$$
nel caso focusing, dove
$$R(\zl;t)=\int_{-\infty}^\infty dy\,e^{-i\zl y}\rho(y;t).$$
Poi si risolva l'equazione di Marchenko
$$\bK(x,y;t)+\bzo_l(x+y;t)+\int_x^\infty dz\,\bK(x,z;t)\bzo_l(z+y;t)
=0_{2\times2}.$$
Infine si calcolino
$$q(x;t)=-2\bK_{12}(x,x),\qquad r(x;t)=2\bK_{21}(x,x).$$
\end{itemize}
\medskip

{\bf 4. La soluzione solitonica}. In tal caso i coefficienti di riflessione si
annullano: $R(\zl)\equiv L(\zl)=0$. Inoltre, esiste un singolo autovalore
discreto $\zl_1=ia=i(p+iq)\in\C^+$ [con $p,q\in\R$ e $p>0$] con corrispondente
costante di normalizzazione $0\neq c\in\C$. Inoltre, ci troviamo nel caso
focusing.

L'equazione di Marchenko ha la forma
\begin{equation}\label{KdV.38}
\bK(x,y;t)+\bzo_l(x+y;t)+\int_x^\infty dz\,\bK(x,z;t)\bzo_l(z+y;t)=0_{2\times2},
\end{equation}
dove
\begin{align*}
\bzo_l(x+y;t)&=\begin{pmatrix}0&ce^{-a(x+y)}e^{-4ia^2t}\\
-c^*e^{-a^*(x+y)}e^{4i[a^*]^2t}&0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0&ce^{-ax}e^{-4ia^2t}\\ -c^*e^{-a^*x}e^{4i[a^*]^2t}&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-a^*y}&0\\0&e^{-ay}\end{pmatrix}.
\end{align*}

Risolviamo ora la \eqref{KdV.38}. Si ha:
\begin{align*}
\bK(x,y;t)&=-\left\{\begin{pmatrix}0&ce^{-ax}e^{-4ia^2t}\\
-c^*e^{-a^*x}e^{4i[a^*]^2t}&0\end{pmatrix}\right.\\
&+\left.\int_x^\infty dz\,\bK(x,z;t)\begin{pmatrix}0&ce^{-az}e^{-4ia^2t}\\
-c^*e^{-a^*z}e^{4i[a^*]^2t}&0\end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}e^{-a^*y}&0\\
0&e^{-ay}\end{pmatrix}\\ &=-L(x,t)\begin{pmatrix}e^{-a^*y}&0\\
0&e^{-ay}\end{pmatrix},
\end{align*}
dove
$$L(x,t)\begin{pmatrix}1&\tfrac{c}{2p}e^{-2px}e^{-4ia^2t}\\
-\tfrac{c^*}{2p}e^{-2px}e^{4i[a^*]^2t}&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&ce^{-ax}e^{-4ia^2t}\\ -c^*e^{-a^*x}e^{4i[a^*]^2t}&0\end{pmatrix}.$$
Utilizzando che
$$\det L(x,t)=1+\frac{|c|^2}{4p^2}e^{-4px}e^{16pqt}=1+\frac{|c|^2}{4p^2}
e^{-4p(x-4qt)}>0,$$
si ottiene
$$L(x,t)=\frac{1}{\det L(x,t)}\begin{pmatrix}\tfrac{|c|^2}{2p}e^{-2px}e^{-a^*x}
e^{16pqt}&ce^{-ax}e^{-4ia^2t}\\ -c^*e^{-a^*x}e^{4i[a^*]^2t}
&\tfrac{|c|^2}{2p}e^{-2px}e^{-ax}e^{16pqt}\end{pmatrix}.$$
La funzione nucleo $\bK(x,y;t)$ ha la forma
$$\bK(x,y;t)=\frac{-1}{\det L(x,t)}\begin{pmatrix}\tfrac{|c|^2}{2p}e^{-2px}
e^{-a^*(x+y)}e^{16pqt}&ce^{-a(x+y)}e^{-4ia^2t}\\ -c^*e^{-a^*(x+y)}e^{4i[a^*]^2t}
&\tfrac{|c|^2}{2p}e^{-2px}e^{-a(x+y)}e^{16pqt}\end{pmatrix}.$$
Utilizzando la \eqref{KdV.33a} si arriva alla soluzione NLS
\begin{equation}\label{KdV.39}
q(x,t)=\frac{2ce^{-2ax}e^{-4ia^2t}}{1+\frac{|c|^2}{4p^2}e^{-4p(x-4qt)}}
=\frac{2ce^{-2p(x-4qt)}e^{-2iqx}e^{-4i(p^2-q^2)t}}
{1+\frac{|c|^2}{4p^2}e^{-4p(x-4qt)}}.
\end{equation}
Molteplicando numeratore e denominatore da $\tfrac{2p}{|c|}e^{2p(x-4qt)}$ e
ponendo $x_0=\tfrac{1}{2p}\ln(|c|/2p)$, si ottiene infine la soluzione
solitonica
\begin{equation}\label{KdV.40}
\fbox{$q(x,t)=\dfrac{c}{|c|}\,\dfrac{2p\,e^{-2iqx}e^{-4i(p^2-q^2)t}}
{\cosh[2p(x-x_0-4qt)]},$}
\end{equation}
dove il fattore $c/|c|$ pu\`o essere tralasciato.
