%April 17, 2014

\chapter{Gruppi di Lie}

In questo capitolo discuteremo i gruppi di Lie e le corrispondenti algebre di 
Lie. Ci limiteremo ai gruppi di matrici \cite{Bk}, evitando il linguaggio delle
variet\`a riemanniane.

\section{Algebre di Lie}\label{sec:lie.1}

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Allora $V$ si dice {\it algebra di Lie} se
in $V$ viene anche definita un'operazione bilineare
$[\cdot,\cdot]:V\times V\to V$, il cosiddetto {\it bracket di Lie}, con le
seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item[(a)] ({\it antisimmetria}) $[x,y]=-[y,x]$ per tutti gli $x,y\in V$;
\item[(b)] ({\it identit\`a di Jacobi})
$$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]]=0,\qquad x,y,z\in V.$$
\end{itemize}
Per esempio, tutti gli spazi vettoriali di matrici reali o complesse $d\times d$
sono algebre di Lie rispetto al bracket {\it commutatore}
$$[A,B]=AB-BA.$$
Un altro esempio viene fornito dallo spazio vettoriale $\R^3$ con prodotto
vettore
$$[x,y]=x\times y=(x_2y_3-x_3y_2,x_3y_1-x_1y_3,x_1y_2-x_2y_1).$$

Un sottospazio lineare di $W$ dell'algebra di Lie $V$ \`e detto
{\it sottoalgebra di Lie} di $V$ se $[x,y]\in W$ per tutti gli $x,y\in V$, e
{\it ideale di Lie} se $[x,z]\in W$ per ogni $x\in W$ eb $z\in V$. Un esempio
importante di un ideale di Lie di $V$ \`e il centro
$$A(V)=\{x\in V:[x,z]=0\ \text{per\ ogni}\ z\in V.\}.$$

Si dice {\it omomorfismo di Lie} una trasformazione $V:V\to W$ tra algebre di
Lie che \`e una trasformazione lineare tra gli spazi vettoriale reali $V$ e $W$
e verifica
$$[\Phi(x),\Phi(y)]=[x,y],\qquad x,y\in V.$$
Un omomorfismo di Lie biunivoca si chiama un {\it isomorfismo di Lie}.

\section{Algebra di Lie di un gruppo di matrici}\label{sec:lie.2}

Sia $G$ un gruppo di matrici $d\times d$ rispetto al solito prodotto di matrici
e supponiamo che $G$ sia chiusa nell'annello $M_d(\C)$ di tutte le matrici
complesse $d\times d$. Allora \`e detto {\it spazio tangente alla matrice
identit\`a} oppure {\it algebra di Lie} di $G$ lo spazio vettoriale
$\mathfrak{g}=TG$ composto delle derivate $\zg^\prime(0)$ di tutte le curve
derivabili $\zg:(-\ze,\ze)\to G$ tali che $\zg(0)$ \`e la matrice identit\`a.
Quindi per ogni curva derivabile $\zg:(-\ze,\ze)\to G$ con $\zg(0)$ uguale alla
matrice identit\`a si ha:
$$\zg(t)=I_{d}+t\zg^\prime(0)+o(t),\qquad t\to0.$$
Le derivate $\zg^\prime(0)$ costituiscono gli elementi dell'algebra di Lie di
$G$. \`E detta {\it dimensione} del gruppo $G$ la dimensione {\bf reale} dello
spazio vettoriale $\mathfrak{g}$. Infatti, se $\zg_1,\zg_2:(-\ze,\ze)\to G$ sono
due curve di classe $C^1$ tali che $\zg_1(0)=\zg_2(0)=I_d$,
$\zg_1^\prime(0)=A\in\mathfrak{g}$ e $\zg_2^\prime(0)=B\in\mathfrak{g}$, allora
per $\zg:(-\ze,\ze)\to G$ definita da $\zg(t)=\zg_1(t)\zg_2(t)$ si ha:
$$\zg^\prime(0)=\zg_1^\prime(0)\zg_2(0)+\zg_1(0)\zg_2^\prime(0)
=A+B\in\mathfrak{g}.$$
Inoltre, per $0\neq c\in\R$ e $\zd(t)=\zf(ct)$ per
$t\in(-\tfrac{\ze}{|c|},\tfrac{\ze}{|c|})$ si ha:
$$\zd^\prime(0)=c\zg^\prime(0).$$
In altre parole, $\mathfrak{g}$ \`e uno spazio vettoriale reale.

Consideriamo ora le curve $\zg_1:(-\ze_1,\ze_1)$ e $\zg_2:(-\ze_2,\ze_2)$ tali
che $\zg_1(0)=\zg_2(0)=I_d$, $\zg_1^\prime(0)=A$ e $\zg_2^\prime(0)=B$.
Definiamo la funzione $F:(-\ze_1,\ze_1)\times(-\ze_2,\ze_2)\to G$ definita da
$$F(s,t)=\zg_1(s)\zg_2(t)\zg_1(s)^{-1}\in G.$$
Per ogni $s\in(-\ze_1,\ze_1)$ la curva $F(s,\cdot):(-\ze_2,\ze_2)\to G$
verifica
$$\frac{\partial F}{\partial t}(s,0)=\zg_1(s)\zg_2^\prime(0)\zg_{1}(s)^{-1}
\in\mathfrak{g},\qquad s\in(-\ze_1,\ze_1).$$
Siccome $\mathfrak{g}$ \`e un sottospazio chiuso di $M_d(\C)$, si ha
$$\lim_{s\to0}\,\frac{\zg_1(s)\zg_2^\prime(0)\zg_{1}(s)^{-1}
-\zg_2^\prime(0)}{s}\in\mathfrak{g},$$
\tcb{se esiste tale limite}. Si ha:
\begin{align*}
\lim_{s\to0}\,&\frac{\zg_1(s)\zg_2^\prime(0)\zg_{1}(s)^{-1}
-\zg_2^\prime(0)}{s}=\left.\frac{\partial}{\partial s}
\zg_1(s)\zg_2^\prime(0)\zg_{1}(s)^{-1}\right|_{s=0}\\
&=\zg_1^\prime(0)\zg_2^\prime(0)\zg_1(0)^{-1}
-\zg_1(0)\zg_2^\prime(0)\zg_1(0)^{-1}\zg_1^\prime(0)\zg_1(0)^{-1}\\
&=\zg_1^\prime(0)\zg_2^\prime(0)-\zg_2^\prime(0)\zg_1^\prime(0)\\
&=[\zg_1^\prime(0),\zg_2^\prime(0)]=[A,B]\in\mathfrak{g},
\end{align*}
il che mostra che $\mathfrak{g}$ \`e un'algebra di Lie.

Si pu\`o inoltre dimostrare che
$$\tcb{\mathfrak{g}=\{A\in M_d(\C):e^{tA}\in G\ \text{per\ ogni}\ t\in\R\}}.$$
Indicando la parte a destra da $\tilde{\mathfrak{g}}$, si pu\`o considerare la
curva $\zg(t)=e^{tA}\in G$ e dimostrare che $A=\zg^\prime(0)\in\mathfrak{g}$. La
dimostrazione dell'inclusione contraria
$\mathfrak{g}\subset\tilde{\mathfrak{g}}$ non \`e del tutto banale.

Dimostriamo ora il seguente lemma.

\begin{lemma}\label{th:lie.1}
Per ogni matrice $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$ di ordine $n$ si ha
$$\det e^A=\exp(\text{Tr}\,A),$$
dove $\text{Tr}\,A=\sum_{j=1}^n\,a_{jj}$ \`e la somma degli autovalori di $A$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Se $\zl_1,\ldots,\zl_n$ sono gli autovalori di $A$, allora $\exp(\zl_i)$
($i=1,\ldots,n$) sono gli autovalori di $e^A$. Il lemma segue dal fatto che il
determinante di una matrice \`e il prodotto dei suoi autovalori.
\end{proof}

\begin{example}\label{th:lie.2}
Calcoliamo ora le algebre di Lie di alcuni gruppi di matrici.
\begin{itemize}
\item[$(a)$] Sia $G=\tcb{GL_d(\R)}$ il gruppo di tutte le matrici reali non
singolari. Allora $\tcm{\mathfrak{gl}_d(\R)}$ \`e l'algebra di Lie di tutte le
matrici reali di ordine $d$. Quindi $\dim GL_d(\R)=d^2$.
\item[$(b)$] Se $G=\tcb{GL_d(\C)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici complesse
non singolari di ordine $d$, allora $\tcm{\mathfrak{gl}_d(\C)}$ \`e l'algebra di
Lie di tutte le matrici complesse di ordine $d$. Quindi $\dim GL_d(\C)=2d^2$.
\item[$(c)$] Se $G=\tcb{SL_d(\R)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici reali con
determinante uguale ad $1$, allora $\tcm{\mathfrak{sl}_d(\R)}$ \`e l'algebra di
Lie di tutte le matrici reali di ordine $d$ e traccia zero. Quindi
$\dim SL_d(\R)=d^2-1$.
\item[$(d)$] Se $G=\tcb{SL_d(\C)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici complesse
con determinante uguale ad $1$, allora $\tcm{\mathfrak{sl}_d(\C)}$ \`e l'algebra
di Lie di tutte le matrici complesse di ordine $d$ e traccia zero. Quindi
$\dim SL_d(\C)=2(d^2-1)$.
\item[$(e)$] Sia $G=\tcb{SO(d)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici
ortogonali con determinante uguale ad $1$. Allora $\tcm{\mathfrak{so}(d)}$ \`e
l'algebra di Lie di tutte le matrici reali antisimmetriche ($A^T=-A$) di
ordine $d$. Siccome una matrice reale e antisimmetrica $A=(a_{ij})_{i,j=1}^d$
soddisfa $a_{11}=\ldots=a_{dd}=0$, abbiamo
$\dim SO(d)=1+2+\ldots+(d-1)=\frac{1}{2}d(d-1)$.
\item[$(f)$] Sia $G=\tcb{SU(d)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici
unitarie con determinante uguale ad $1$. Allora $\tcm{\mathfrak{su}(d)}$
\`e l'algebra di Lie di tutte le matrici complesse $A$ tali che $A^*=-A$ e
$\text{Tr}\,A=0$. Siccome gli elementi diagonali di una tale matrici sono
numeri immaginari con somma zero, abbiamo
$\dim SU(d)=2[1+2+\ldots+(d-1)]+(d-1)=d^2-1$.
\item[$(g)$] Sia $G=\tcb{O(d)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici
ortogonali di ordine $d$. Allora $\tcm{\mathfrak{o}(d)}$ \`e l'algebra di
Lie di tutte le matrici reali antisimmetriche ($A^T=-A$) di ordine $d$. Abbiamo
$\dim O(d)=\frac{1}{2}d(d-1)$.
\item[$(h)$] Sia $G=\tcb{U(d)}$ \`e il gruppo di tutte le matrici
unitarie. Allora $\tcm{\mathfrak{u}(d)}$ \`e l'algebra di Lie di tutte le
matrici complesse $A$ tali che $A^*=-A$. Siccome gli elementi diagonali di una
tale matrici sono numeri immaginari, abbiamo
$\dim U(d)=2[1+2+\ldots+(d-1)]+d=d(d-1)+d=d^2$.
\item[$(i)$] Sia $G=\tcb{SU(1,1)}=\{A\in M_2(\C):A^*\zs_3 A=\zs_3,\ \det(A)=1\}$
\`e il gruppo delle matrici $\zs_3$-unitarie con determinante $1$, essendo
$\zs_3=\text{diag}(1,-1)$. Allora la sua algebra di Lie ha la forma
$$\tcm{\mathfrak{su}(1,1)}=\{A\in M_2(\C):A^*=-\zs_3A\zs_3,\ \text{Tr}\,A=0\}.$$
Quindi $\dim SU(1,1)=3$.
\item[$(j)$] Sia
$G=\tcb{\text{Lor}}=\{A\in M_4(\R):A^TGA=G,\ \det A=1,\ a_{00}\ge1\}$ \`e il
gruppo di Lorentz. Allora la sua algebra di Lie ha la forma
\begin{align*}
\tcm{\mathfrak{lor}}&=\{A\in M_4(\R):GAG=-A^T\}=\{A\in M_4(\R):(GA)^T=-GA\}\\
&=\left\{\begin{pmatrix}0&\phantom{-}a_{01}&\phantom{-}a_{02}&a_{03}\\
a_{01}&0&\phantom{-}a_{12}&a_{13}\\ a_{02}&-a_{12}&0&a_{23}\\
a_{03}&-a_{13}&-a_{23}&0\end{pmatrix}:
a_{01},a_{03},a_{03},a_{12},a_{13},a_{23}\in\R\right\},
\end{align*}
e quindi $\dim\text{Lor}=6$.
\end{itemize}
\end{example}

Ad ogni gruppo di Lie $G$ si possono associare $N=\dim G$ generatori: Una base
qualsiasi $\{S_i:i=1,2,\ldots,\dim G\}$ dell'algebra di Lie $\mathfrak{g}$
(considerato come spazio vettoriale reale) si dice sistema di {\it generatori}
di $G$. Siccome i commutatori $[S_i,S_j]$ appartengono all'algebra di Lie
$\mathfrak{g}$, si ha la {\it relazione di chiusura} (inglese: closure relation)
$$[S_i,S_j]=\sum_{k=1}^N\,c_{ij}^kS_k$$
per opportune {\it costanti di struttura} (inglese: structure constants) reali
del gruppo $G$. Dall'antisimmetria del commutatore segue l'antisimmetria
\begin{equation}\label{eq:gr.1}
c_{ij}^k=-c_{ji}^k.
\end{equation}
Applicando l'identit\`a di Jacobi
$$[[S_i,S_j],S_k]+[[S_j,S_k],S_i]+[[S_k,S_i],S_j]=0$$
segue
\begin{align*}
0&=\ds\sum_{m=1}^N\left(c_{ij}^m[S_m,S_k]+c_{jk}^m[S_m,S_i]
+c_{ki}^m[S_m,S_j]\right)\\ &=\ds\sum_{m,n=1}^N\left(c_{ij}^mc_{mk}^mS_n
+c_{jk}^mc_{mi}^nS_n+c_{ki}^mc_{mj}^nS_n\right)\\
&=\ds\sum_{n=1}^N\ds\sum_{m=1}^N\left(c_{ij}^mc_{mk}^m
+c_{jk}^mc_{mi}^n+c_{ki}^mc_{mj}^n\right)S_n.
\end{align*}
Dall'indipendenza lineare dei vettori $S_n$ segue la relazione
\begin{equation}\label{eq:gr.2}
\sum_{m=1}^N\left(c_{ij}^mc_{mk}^m
+c_{jk}^mc_{mi}^n+c_{ki}^mc_{mj}^n\right)=0.
\end{equation}

\section{Alcuni esempi dettagliati}\label{sec:lie.3}

$\boldsymbol{SO(2)}$. Consideriamo ora il gruppo $SO(2)$ delle matrici
ortogonali di ordine $2$ con determinante uguale ad $1$. Allora la sua algebra
di Lie $\mathfrak{so}(2)$ \`e composta da tutte le matrici reali
antisimmetriche, cio\`e
$$\mathfrak{so}(2)=\left\{c\begin{pmatrix}\phantom{-}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}
=ic\zs_2:c\in\R\right\},\qquad\zs_2=\begin{pmatrix}0&-i\\ i&\phantom{-}0
\end{pmatrix},$$
mentre $SO(2)$ \`e un gruppo di Lie che dipende da un singolo parametro $t$:
$$SO(2)=\{R(t):t\in\R\},\qquad
R(t)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}\begin{pmatrix}\phantom{-}\cos t&\sin t\\
-\sin t&\cos t\end{pmatrix}=e^{it\zs_2}.$$
La matrice $i\zs_2$ si dice {\it generatore} di $SO(2)$.

$\boldsymbol{SO(3)}$. L'algebra di Lie $\mathfrak{so}(3)$ del gruppo $SO(3)$
delle matrici ortogonali di ordine $3$ con determinante uguale ad $1$ consiste
nelle matrici reali e antisimmetriche. Quindi
$$\mathfrak{so}(3)=\{i[c_1S_x+c_2S_y+c_3S_z]:c_1,c_2,c_3\in\R\},$$
dove le matrici $iS_x$, $iS_y$ e $iS_z$ definite dalle identit\`a
\begin{equation}\label{eq:gr.3}
S_x=\begin{pmatrix}0&0&\phantom{-}0\\ 0&0&-i\\ 0&i&\phantom{-}0\end{pmatrix},\
S_y=\begin{pmatrix}\phantom{-}0&0&i\\ \phantom{-}0&0&0\\ -i&0&0\end{pmatrix},\
S_z=\begin{pmatrix}0&-i&0\\ i&\phantom{-}0&0\\ 0&\phantom{-}0&0\end{pmatrix},
\end{equation}
costituiscono una base dell'algebra di Lie $\mathfrak{so}(3)$ e si dicono
{\it generatori} di $SO(3)$. Inoltre,
\begin{align*}
SO(3)
&=\{R_x(\psi_1)R_y(\theta_1)R_z(\zf_1):\psi_1,\theta_1,\zf_1\in[0,2\pi]\}\\
&=\{R_x(\psi_2)R_z(\zf_2)R_y(\theta_2):\psi_2,\theta_2,\zf_2\in[0,2\pi]\}\\
&=\{R_y(\theta_3)R_x(\psi_3)R_z(\zf_3):\psi_3,\theta_3,\zf_3\in[0,2\pi]\}\\
&=\{R_y(\theta_4)R_z(\zf_4)R_x(\psi_4):\psi_4,\theta_4,\zf_4\in[0,2\pi]\}\\
&=\{R_z(\zf_5)R_x(\psi_5)R_y(\theta_5):\psi_5,\theta_5,\zf_5\in[0,2\pi]\}\\
&=\{R_z(\zf_6)R_y(\theta_6)R_x(\psi_6):\psi_6,\theta_6,\zf_6\in[0,2\pi]\}.
\end{align*}
In queste espressioni $R_x(\psi)$, $R_y(\theta)$ e $R_z(\zf)$ sono le rotazioni
elementari intorno alle assi $x,y,z$:
\begin{align*}
R_x(\psi)&=e^{i\psi S_x}=\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&\phantom{-}\cos\psi&\sin\psi\\
0&-\sin\psi&\cos\psi\end{pmatrix},\\
R_y(\theta)&=e^{i\theta S_y}=\begin{pmatrix}\cos\theta&0&-\sin\theta\\ 0&1&0\\
\sin\theta&0&\phantom{-}\cos\theta\end{pmatrix},\\
R_z(\zf)&=e^{i\zf S_z}=\begin{pmatrix}\phantom{-}\cos\zf&\sin\zf&0\\
-\sin\zf&\cos\zf&0\\ 0&0&1\end{pmatrix},
\end{align*}
mentre $(\psi_k,\theta_k,\zf_k)$ ($k=1,2,3,4,5,6$) sono gli angolo di Eulero
della rotazione. Gli angoli di Eulero dipendono dall'ordine in cui le rotazioni
elementari vengono applicate per ottenere la rotazione.

Il {\it tensore di Levi-Civita} $\ze_{ijk}$ viene ora introdotto come le
costanti di struttura di $SO(3)$ (rispetto al sistema di generatori
$\{S_x,S_y,S_z\}$):
\begin{equation}\label{eq:gr.4}
[S_i,S_j]=i\sum_{k=x,y,z}\,\ze_{ijk}S_k,
\end{equation}
dove $\ze_{ijk}=0$ se non tutti i pedici $i,j,k$ sono diversi e\footnote{Si
osservi che $[S_x,S_y]=-[S_y,S_x]=iS_z$,
$[S_y,S_z]=-[S_z,S_y]=iS_x$ e $[S_z,S_x]=-[S_x,S_z]=iS_y$.}
$$\ze_{xyz}=-\ze_{yxz}=1,\quad\ze_{yzx}=-\ze_{yxz}=1,
\quad\ze_{zxy}=-\ze_{zyx}=1.$$

$\boldsymbol{SU(2)}$. Il gruppo $SU(2)$ delle matrici unitarie di ordine $2$ con
determinante uguale ad $1$ ha la forma
\begin{align}
SU(2)&=\left\{\begin{pmatrix}\phantom{-}e^{i\xi}\cos\eta&e^{i\zz}\sin\eta\\
-e^{-i\zz}\sin\eta&e^{-i\xi}\cos\eta\end{pmatrix}:\xi,\eta,\zz\in\R\right\}
\nonumber\\
&=\left\{\begin{pmatrix}a&-b^*\\ b&\phantom{-}a^*\end{pmatrix}:
a,b\in\C,\ |a|^2+|b|^2=1\right\},\label{eq:gr.5}
\end{align}
dove $\xi,\eta,\zz$ sono i cosiddetti parametri di Cayley-Klein. Introducendo
le matrici di Pauli
$$\zs_1=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix},\ \zs_2=\begin{pmatrix}0&-i\\
i&\phantom{-}0\end{pmatrix},\ \zs_3=\begin{pmatrix}1&\phantom{-}0\\ 0&-1
\end{pmatrix},$$
ogni elemento di $SU(2)$ si pu\`o scrivere come il prodotto delle tre matrici
$U_j(a_j)=\exp(ia_j\zs_j)$ ($j=1,2,3$), dove $a_1,a_2,a_3\in\R$
dipendono dall'ordine dei tre fattori. Le tre matrici $i\zs_j$
($j=1,2,3$) costituiscono una base dell'algebra di Lie $\mathfrak{su}(2)$,
\begin{align*}
\mathfrak{su}(2)&=\{i[a_1\zs_1+a_2\zs_2+a_3\zs_3]:a_1,a_2,a_3\in\R\}\\
&=\left\{i\begin{pmatrix}a_3&a_1-ia_2\\ a_1+ia_2&-a_3\end{pmatrix}:
a_1,a_2,a_3\in\R\right\},
\end{align*}
e si dicono {\it generatori} di $SU(2)$. Una rotazione generale in $SU(2)$ ha la
forma
\begin{align}
U(\za,\zb,\zg)&=U_z(\tfrac{\zg}{2})U_y(\tfrac{\zb}{2})U_z(\tfrac{\za}{2})
\nonumber\\
&=\begin{pmatrix}e^{i\zg/2}&0\\ 0&e^{-i\zg/2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\phantom{-}\cos\frac{\zb}{2}&\sin\frac{\zb}{2}\\
-\sin\frac{\zb}{2}&\cos\frac{\zb}{2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{i\za/2}&0\\ 0&e^{-i\za/2}\end{pmatrix}\nonumber\\
&=\begin{pmatrix}\phantom{-}e^{i(\zg+\za)/2}\cos\frac{\zb}{2}
&e^{i(\zg-\za)/2}\sin\frac{\zb}{2}\\ -e^{-i(\zg-\za)/2}\sin\frac{\zb}{2}
&e^{-i(\zg+\za)/2}\cos\frac{\zb}{2}\end{pmatrix},\label{eq:gr.6}
\end{align}
che coincide con l'espressione nella \eqref{eq:gr.5} per i parametri di
Cayley-Klein $\xi=(\zg+\za)/2$, $\eta=\zb/2$ e $\zz=(\zg-\za)/2$.

Il {\it tensore di Levi-Civita} $\ze_{ijk}$ viene ora introdotto come meno
il doppio delle costanti di struttura di $SU(2)$ (rispetto al sistema di
generatori $\{i\zs_1,i\zs_2,i\zs_3\}$):
\begin{equation}\label{eq:gr.7}
[\zs_i,\zs_j]=2i\sum_{k=1}^3\,\ze_{ijk}\zs_k,
\end{equation}
dove $\ze_{ijk}=0$ se non tutti i pedici $i,j,k$ sono diversi e\footnote{Si
osservi che $[\zs_1,\zs_2]=-[\zs_2,\zs_1]=2i\zs_3$,
$[\zs_2,\zs_3]=-[\zs_3,\zs_2]=2i\zs_1$ e $[\zs_3,\zs_1]=-[\zs_1,\zs_3]
=2i\zs_2$.}
$$\ze_{123}=-\ze_{213}=1,\quad\ze_{231}=-\ze_{213}=1,
\quad\ze_{312}=-\ze_{321}=1.$$

$\boldsymbol{SU(1,1)}$. Il gruppo $SU(1,1)$ delle matrici $\zs_3$-unitarie di
ordine $2$ con determinante uguale ad $1$ ha la forma
\begin{align}
SU(1,1)&=\left\{\begin{pmatrix}\phantom{-}e^{i\xi}\cosh\eta&e^{i\zz}\sinh\eta\\
e^{-i\zz}\sinh\eta&e^{-i\xi}\cosh\eta\end{pmatrix}:\xi,\eta,\zz\in\R\right\}
\nonumber\\
&=\left\{\begin{pmatrix}a&b^*\\ b&a^*\end{pmatrix}:
a,b\in\C,\ |a|^2=1+|b|^2\right\},\label{eq:gr.8}
\end{align}
dove $\xi,\eta,\zz$ sono analoghi ai cosiddetti parametri di Cayley-Klein. Le
tre matrici $\zs_1$, $\zs_2$ e $i\zs_3$ costituiscono una base dell'algebra di
Lie $\mathfrak{su}(1,1)$,
\begin{align*}
\mathfrak{su}(1,1)&=\{a_1\zs_1+a_2\zs_2+ia_3\zs_3:a_1,a_2,a_3\in\R\}\\
&=\left\{\begin{pmatrix}ia_3&a_1-ia_2\\ a_1+ia_2&-ia_3\end{pmatrix}:
a_1,a_2,a_3\in\R\right\},
\end{align*}
e si dicono {\it generatori} di $SU(1,1)$. Una rotazione generale in $SU(1,1)$
ha la forma
\begin{align}
U(\za,\zb,\zg)&=\begin{pmatrix}e^{i\zg/2}&0\\ 0&e^{-i\zg/2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\cosh\frac{\zb}{2}&\sinh\frac{\zb}{2}\\
\sinh\frac{\zb}{2}&\cosh\frac{\zb}{2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{i\za/2}&0\\ 0&e^{-i\za/2}\end{pmatrix}\nonumber\\
&=\begin{pmatrix}e^{i(\zg+\za)/2}\cosh\frac{\zb}{2}
&e^{i(\zg-\za)/2}\sinh\frac{\zb}{2}\\ e^{-i(\zg-\za)/2}\sinh\frac{\zb}{2}
&e^{-i(\zg+\za)/2}\cosh\frac{\zb}{2}\end{pmatrix},\label{eq:gr.9}
\end{align}
che coincide con l'espressione nella \eqref{eq:gr.8} per i parametri di
Cayley-Klein $\xi=(\zg+\za)/2$, $\eta=\zb/2$ e $\zz=(\zg-\za)/2$.

Si ha infine
$$[\zs_1,\zs_2]=2i\zs_3,\quad[\zs_2,i\zs_3]=-2\zs_1,\quad
[i\zs_3,\zs_1]=-2\zs_2.$$
Quindi le costanti di struttura $c_{ijk}$ nell'identit\`a
$[s_i,s_j]=\sum_k\,c_{ijk}s_k$ (essendo $s_1=\zs_1$, $s_2=\zs_2$ e $s_3=i\zs_3$)
si annullano se $i,j,k$ non sono tutti diverse e verificano
$c_{123}=-c_{213}=2i$, $c_{231}=-c_{321}=c_{312}=-c_{132}=-2$.
