%April 11, 2013

\chapter{Stabilit\`a secondo Liapunov}\label{ch:liapunov}

In questo capitolo verr\`a discussa in modo approfondito la nozione di
stabilit\`a secondo Liapunov.\footnote{Il cognome Liapunov del matematico russo
Alexandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918), viene scritto in molti modi. \`E
molto diffusa, in particolare nel mondo anglosassone, la scrittura Lyapunov.}
Dopo aver introdotto il concetto di stabilit\`a, verranno catalogati i diversi
casi rilevanti al sistema dinamico lineare $x'=Ax$, dove $A$ \`e una matrice
reale $n\times n$. Verr\`a quindi dimostrato che, sotto opportune condizioni,
un sistema dinamico nonlineare \`e stabile se e solo se lo \`e la sua
linearizzazione. Infine discuteremo tre applicazioni: il pendolo semplice, le
oscillazioni smorzate ed il modello preda-predatore di Lotka-Volterra.

\section{Stabilit\`a secondo Liapunov}

Nello studio di sistemi dinamici, il concetto di stabilit\`a risulta essere tra
i pi\`u importanti sia dal punto di vista teorico che dal punto di vista
applicativo. Sappiamo che un processo di evoluzione temporale di uno stato di
un sistema fisico pu\`o essere descritto matematicamente da un campo vettoriale
nello spazio delle fasi. Un punto dello spazio delle fasi definisce un
determinato stato del sistema, e in questo punto il vettore indica la velocit\`a
con cui varia lo stato del sistema. Abbiamo visto che i punti in cui il vettore
risulta essere nullo sono detti \emph{punti di equilibrio} e lo stato non varia
nel tempo. Sappiamo anche che i sistemi che descrivono processi di evoluzione di
un fenomeno dipendono da alcuni parametri (o dati iniziali). Se applichiamo una
piccola variazione nei dati, questa produce una variazione nella soluzione,
trasformando un particolare sistema in un altro.

Questa \`e la nozione intuitiva di stabilit\`a: una sorta di \lq\lq
continuit\`a" per cui un piccolo cambiamento sui dati produce un piccolo e
controllabile cambiamento della soluzione. Daremo, ora, la definizione di
\emph{stabilit\`a secondo Liapunov}.

Consideriamo il sistema
$$y'=f(y),$$
e sia $\varphi=\varphi(t;0,\xi)$ una
soluzione del sistema definita nell'intervallo $[0,+\infty)$.

\begin{definition}
La soluzione $\varphi(t;0,\xi)$ si dice \emph{stabile secondo Liapunov} se per
ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta=\delta(\varepsilon)$ tale che
se $\|\eta-\xi\| <\delta$, allora la soluzione $\psi(t)=\psi(t;0,\eta)$ \`e
definita in $[0,+\infty)$ e $\|\psi(t)-\varphi(t)\| <\varepsilon$, per ogni $t$
appartenente all'intervallo $[0,+\infty)$. Se inoltre
$\|\psi(t)-\varphi(t)\|\rightarrow{0}$ per $t\rightarrow+\infty$, $ \varphi$ si
dice \emph{asintoticamente stabile}. Ovvero: si ha una soluzione stabile se,
operando
una piccola variazione nelle vicinanze di $\xi$, per tutto il tempo si rimane
vicino alla soluzione $\varphi(t;0,\xi)$; si ha una soluzione asintoticamente
stabile se, operando una piccola variazione nelle vicinanze di $\xi$, la
distanza della soluzione $\varphi$ tende a zero all'infinito. Ora, se un punto
di equilibrio $\varphi(t)=y_0$, dove $f(y_0)=0$, \`e asintoticamente stabile,
l'insieme dei punti $\xi\in{\Omega}$ tale che $\varphi(t;0,\xi)\rightarrow{y_0}$
per $t\rightarrow{+\infty}$ \`e detto \emph{bacino di attrazione} di $y_0$.

Se il bacino di attrazione \`e tutto $\Omega$, $y_0$ \`e detto \emph{globalmente
asintoticamente stabile} in $\Omega$ (spazio delle fasi).
\end{definition}

\section{Stabilit\`a per sistemi autonomi sulla retta}

Sia data un'equazione differenziale del primo ordine del tipo
\begin{equation}\label{5.1}
x' = f(x),
\end{equation}
dove la $f$ \`e di classe $C^1(\mathbb{R})$. Ricordando che, da un punto di
vista applicativo, si pu\`o pensare ad un'equazione differenziale come ad
un modello per la descrizione di un determinato fenomeno in evoluzione, ad essa
si possono affiancare delle condizioni iniziali, che definiscono un problema di
Cauchy, di cui il teorema di esistenza delle soluzioni assicura
l'attendibilit\`a del modello, mentre l'unicit\`a fornisce l'unica
possibilit\`a di evoluzione del fenomeno. Supponiamo,
allora, che siano note alcune conidizioni iniziali. Siano
$$f(x_1)=f(x_2)=0,\ f(x)\neq{0}\ \text{per}\ x\neq{x_1,x_2},\
f'(x_1)<0\ \text{e}\ f'(x_2)>0.$$
Sull'asse orizzontale o \emph{asse delle fasi}, si pu\`o visualizzare
l'andamento di $x=x(t)$. Tra
le ordinate vengono collocati i valori di $f(x)$: se risulta che
la $f$ \`e positiva, allora $x$ sta crescendo, e, dunque, il suo
movimento, sull'asse orizzontale, procede verso destra. Se la $f$
risulta negativa, si verifica il contrario. Considerando i
dati iniziali e quanto \`e stato detto sopra, si trova che $x_2$
\`e instabile: partendo da un punto ad esso vicino, da esso ci si allontana.

Consideriamo $x_1$. Dimostriamo che una
soluzione del problema di Cauchy
$$\begin{cases}x'=f(x),\\ x(t_0)=x_0,\end{cases}$$
con $x_1<x_0<x_2$, o, $x_0<x_1<x_2$, esiste per qualunque
$t\geq{t_0}$ e che
$$\lim_{t\rightarrow{+\infty}}x(t)=x_1.$$
Supponiamo che $x_1<x_0<x_2$. Osserviamo che, essendo la $f$
negativa tra $x_1$ e $x_2$, $x(t)$ risulta decrescente per
$t\geq{t_0}$. Consideriamo, ora, l'intervallo massimale di
definizione di $x(t)$, $[t_0,\tau)$. Poich\'e $x(t)>x_1$,
allora esiste finito $\lim_{t\rightarrow{\tau}}x(t)$. Se fosse
$\tau<+\infty$, allora la soluzione si potrebbe prolungare oltre
$\tau$ e l'intervallo $[t_0,\tau)$ non sarebbe pi\`u
massimale. Quindi, $\tau=+\infty$. Sia, ora,
$\lim_{t\rightarrow{+\infty}}x(t)=\overline{x}$. Poich\'e
$x'=f(x)$ e la $f$ \`e continua, allora risulta che
$$\lim_{t\rightarrow{+\infty}}x'(t)=f(\overline{x}).$$
D'altra parte, l'esistenza di due limiti finiti implica che
$$\lim_{t\rightarrow{+\infty}}x'(t)=0,$$
da cui si deduce che $f(\overline{x})=0$ e, quindi, che $\overline{x}=x_1$.
In altre parole, $x_1$ \`e asintoticamente stabile.

\section{Stabilit\`a dell'origine di sistemi lineari a coefficienti costanti}

Sia dato il sistema a coefficienti costanti
$$y'=Ay,$$
dove $A$ \`e una matrice reale di ordine $n$.
Indichiamo con $\lambda_i$ gli autovalori di $A$, dove $i=1,\ldots,k$. Vale il
seguente teorema:

\begin{theorem}\label{th:5.1}
Abbiamo i seguenti tre casi:
\begin{itemize}
\item[i)] L'origine \`e punto di equilibrio asintoticamente stabile se e
soltanto se $\hbox{Re$(\lambda_i)$}<0,$ per ogni ${i}=1,\ldots,k$.
La stabilit\`a \`e globale in $\mathbb{R}^{n}$.
\item[ii)] L'origine \`e stabile, ma non asintoticamente se e soltanto se
$\hbox{Re$(\lambda_i)$}\leq{0}$ e tutti gli autovalori con parte reale nulla
sono regolari (cio\`e, la dimensione dell'autospazio \`e pari alla
molteplicit\`a dell'autovalore).
\item[iii)] L'origine \`e instabile negli altri casi.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{dimostrazione}
\begin{itemize}
\item[i)] Ci ricordiamo che, dato il sistema $z'=Az$, se l'equazione
caratteristica
$\|A-\lambda I_{n}\|=0$ possiede le radici $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ di
molteplicit\`a rispettivamente $m_{1},\ldots,m_{n}$, la soluzione generale del
sistema \`e della forma
$$\varphi(t)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m_j}c^{ij}t^{i-1}e^{\lambda_{j}t},$$
dove $c^{ij}$ sono opportuni vettori. Da questa formula segue che ogni
soluzione $\varphi$ \`e somma di addendi del tipo
$ct^{h}e^{\lambda_{j}t},\;c\in{\mathbb{R}}^n$. Se $\hbox{Re$(\lambda_{j})$}<0$
per ogni $\lambda_{j}$, $\varphi(t)\rightarrow{0}$ per $t\rightarrow{+\infty}$
e, per questo motivo, $0$ \`e asintoticamente stabile, con bacino d'attrazione
coincidente con $\mathbb{R}^{n}$. Viceversa, se $0$ \`e asintoticamente stabile,
allora non possono esistere autovalori con parte reale non negativa.
Esisterebbero, infatti, in tal caso, soluzioni che non tendono a $0$ per
$t\rightarrow{+\infty}$.
\item[ii)] Se vale la condizione sugli autovalori, gli addendi dell'espressione
della soluzione sopra vista sono della forma
$$c\,t^{h}e^{\lambda_{j}t},\;(h\geq{0}),\ \text{se}\ \text{Re}(\lambda_j)<0,$$
oppure
$$c\,e^{i\,\text{Im}(\lambda_j)t},\ \text{se}\ \text{Re}(\lambda_j)=0.$$
I primi tendono a $0$ per $t\rightarrow{+\infty}$, i secondi sono neutralmente
stabili. Viceversa, se $0$ \`e stabile, gli addendi dell'espressione della
soluzione possono essere soltanto del tipo sopra indicato e, per questo motivo,
vale la condizione indicata sugli autovalori.
\item[iii)] Se esistono autovalori con parte reale positiva oppure immaginari
puri e non regolari, allora esistono soluzioni del tipo
$$\varphi(t)=ce^{\lambda_{j}t}\quad o\quad 
\varphi(t)=(c+c_{1}t+\ldots+c_{k_{j}-1}t^{k_{j}-1})
e^{i\hbox{Im$(\lambda_{j})$}t},$$
la cui norma tende all'infinito, per $t\rightarrow{+\infty}$.
\end{itemize}
\end{dimostrazione}

Sia dato un sistema omogeneo bidimensionale
$$\begin{cases}x'=ax+by,\\ y'=cx+dy,\end{cases}$$
dove $a,b,c,d\in{\mathbb{R}}$. Supponiamo che $\hbox{det}(A)=ad-bc\neq{0}$, in
modo tale che l'origine sia l'unico stato di equilibrio del sistema. Indichiamo
con $\lambda_1$ e $\lambda_2$ gli autovalori di $A$, soluzioni dell'equazione
$$\lambda^{2}-(\tr A)\lambda+\det A=0,$$
dove $\tr A=\lambda_1+\lambda_2$ e $\det A=\lambda_1\lambda_2$.

Distinguiamo i seguenti casi a seconda che la matrice $A$ possegga:
\begin{itemize}
\item[i)] due autovalori $\lambda_1,\lambda_2$ reali e distinti;
\item[ii)] due autovalori reali e coincidenti;
\item[iii)] due autovalori complessi coniugati.
\end{itemize}
Inoltre, a seconda dei relativi segni degli autovalori, avremo ulteriori
sottocasi.

\begin{itemize}
\item[i)] \textbf{Autovalori reali e distinti.}
Il sistema presenta le due soluzioni linearmente indipendenti
$$h^1e^{\lambda_1 t},\quad h^2e^{\lambda_2 t},$$
dove $h^1$ e $h^2$ sono gli autovettori reali corrispondenti rispettivamente
agli autovalori $\lambda_1,\lambda_2$. Ogni soluzioni sar\`a del tipo
$$\varphi(t)=c_1h^1e^{\lambda_1 t}+c_2h^2e^{\lambda_2 t},$$
dove $c_1,c_2$ sono costanti reali. Abbiamo i seguenti sottocasi:
\begin{itemize}
\item[1)] $\lambda_1<\lambda_2<0$. L'origine \`e globalmente asintoticamente
stabile. Ogni traiettoria, partendo da un qualunque punto dello spazio delle
fasi, si avvicina indefinitamente all'origine.
Il punto di equilibrio \`e detto \textbf{nodo stabile}.
\item[2)] $\lambda_2>\lambda_1>0$. L'origine \`e instabile. La soluzione,
partendo da un qualunque punto dello spazio delle fasi, si allontana
indefinitamente dall'origine.
Il punto di equilibrio \`e detto \textbf{nodo instabile}.
\item[3)] $\lambda_1<0<\lambda_2$. L'origine \`e instabile. Osservando il
grafico, per $c_2=0$, le traiettorie rettilinee $\gamma_1^{\pm}$ guidano il
punto mobile, rappresentante la soluzione, ad avvicinarsi indefinitamente
all'origine. Per $c_1=0$, le traiettorie $\gamma_2^{\pm}$ lo inducono ad
allontanarvisi indefinitamente.
Il punto di equilibrio \`e detto \textbf{colle} o \textbf{sella}.
\end{itemize}
\item[ii)] \textbf{Autovalori reali uguali}.
Indichiamo con $\lambda$ l'autovalore doppio della matrice $A$.
La soluzione sar\`a del tipo
$$\varphi(t)=c_1e^{\lambda t}+c_2te^{\lambda t},$$
dove $c_1,c_2$ sono due costanti arbitrarie. Abbiamo i seguenti sottocasi:
\begin{itemize}
\item[1)] $\lambda<0$. L'origine \`e globalmente asintoticamente stabile. Ogni
traiettoria si avvicina indefinitamente all'origine.
Il punto di equilibrio \`e detto \textbf{nodo stabile}.
\item[2)] $\lambda>0$. L'origine \`e instabile: tutte le traiettorie si
allontanano indefinitamente dall'origine.
Il punto $0$ \`e detto \textbf{nodo instabile}.
\end{itemize}
\item[iii)] \textbf{Autovalori complessi coniugati.} Indichiamo con
$$\lambda=\alpha+i\beta,\quad \overline{\lambda}=\alpha-i\beta,\quad 
\alpha,\beta\in{\mathbb{R}},$$
gli autovalori complessi coniugati della matrice $A$. La coppia di soluzioni
linearmente indipendenti \`e data da
$$he^{(\alpha +i\beta)t},\quad \overline{h}e^{(\alpha-i\beta)t}.$$
A questa coppia di soluzioni sostituiamo la seguente coppia di soluzioni reali:
$$\varphi^1(t)\!=\!e^{\alpha t}(h_1 \cos{(\beta t)}-h_2 \sin{(\beta t)}),\
\varphi^2(t)\!=\!e^{\alpha t}(h_1 \sin{(\beta t)}+h_2 \cos{(\beta t)}),$$
dove abbiamo posto $h=\frac{1}{2}(h_1+ih_2)$, con $h_1,h_2\in{\mathbb{R}}$.
La soluzione generale in forma reale \`e data da
$$\varphi(t)\!=\!c_1\varphi^1(t)+c_2\varphi^2(t)\!=\!e^{\alpha t}
[(c_1h_1+c_2h_2)\cos{(\beta t)}+(c_2h_1-c_1h_2)\sin{(\beta t)}],$$
dove $c_1,c_2$ sono costanti arbitrarie. Abbiamo i seguenti sottocasi:
\begin{itemize}
\item[1)] $\alpha=0$. L'origine \`e stabile. Le traiettorie sono delle ellissi.
Il punto $0$ \`e detto \textbf{centro}.
\item[2)] $\alpha<0$. L'origine \`e globalmente asintoticamente stabile. Le
traiettorie si avvicinano indefinitamente all'origine con un andamento a
spirale.
Il punto $0$ \`e detto \textbf{fuoco stabile}.
\item[3)] $\alpha>0$. L'origine \`e instabile. Le traiettorie si allontanano
indefinitamente dall'origine.
Il punto $0$ \`e detto \textbf{fuoco instabile}.
\end{itemize}
\end{itemize}

Riassumiamo, ponendo $\Delta=(\tr A)^2-4\det(A)$, quanto descritto sopra
con il seguente schema:
\begin{itemize}
\item[i)] 
$$\Delta >0:\begin{cases}\det(A)>0,\ \tr A<0:&\text{asintoticamente\ stabile},\\
\det(A)>0,\ \tr A>0:&\text{instabile},\\
\det(A)>0:&\text{colle\ o\ sella,\ instabile}.\end{cases}$$
\item[ii)] 
$$\Delta=0:\begin{cases}b^2+c^2>0:&\!\!\text{nodo},\\
b=c=0,\ \tr A<0:&\!\!\text{nodo\ a\ stella,\ asintoticamente\ stabile},\\
b=c=0,\ \tr A>0:&\!\!\text{instabile}.\end{cases}$$
\item[iii)]
$$\Delta<0:\begin{cases}\tr A=0:&\text{centro,\ neutralmente\ stabile},\\
\tr A<0:&\text{fuoco\ asintoticamente\ stabile},\\
\tr A>0:&\text{fuoco\ instabile}.\end{cases}$$
\end{itemize}

Sotto e, in parte nelle pagine successive, presentiamo in modo grafico alcuni
esempi di punti di equilibrio: centro, fuoco stabile, nodo stabile, nodo
a stella e colle.
\begin{figure}[H]\label{fig:5.1}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{centropos1}}}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{centropos1}}
\caption{Centro con orientazione positiva.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]\label{fig:5.2}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{fuocostabpos1}}}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{fuocostabpos1}}
\caption{Fuoco stabile con orientazione positiva.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]\label{fig:5.3}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{fuocostabneg1}}}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{fuocostabneg1}}
\caption{Fuoco stabile con orientazione negativa.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]\label{fig:5.4}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{fuocoinsneg}}}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{fuocoinsneg}}
\caption{Fuoco instabile con orientazione negativa.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]\label{fig:5.5}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{fuocoinstpos}}}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{fuocoinstpos}}
\caption{Fuoco instabile con orientazione positiva.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]\label{fig:5.6}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{colleosella}}}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{colleosella}}
\caption{Colle o sella.}
\end{figure}

\section{Funzione di Liapunov e linearizzazione}

Tra i metodi utilizzati nell'analisi della stabilit\`a dell'origine, vi \`e
quello di Liapunov che deve la sua formulazione al classico teorema di
Lagrange (1788):
\begin{quote}
\lq\lq\emph{Se in un sistema meccanico conservativo l'energia potenziale ha un
minimo focale forte, allora in quel punto l'equilibrio \`e stabile.}"
\end{quote}
Dunque, nell'ambito dei sistemi meccanici conservativi si pu\`o giungere alla
ricerca della stabilit\`a, studiando le propriet\`a dell'energia potenziale.
Analogamente, nel \textbf{metodo di Liapunov} risulta rilevante lo studio di una
funzione scalare (detta appunto \textbf{funzione di Liapunov}), che costituisce
una \lq\lq generalizzazione" dell'energia totale.

Per questa funzione vale il seguente teorema:

\begin{theorem}[Liapunov]\label{th:5.4.1}
Sia $0$ un punto di equilibrio del sistema dinamico
$$\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(t)),$$
dove, per un aperto $\Omega$ in $\R^n$ contenente $0$,
$\boldsymbol{F}:\Omega\to\R^{\tcr{n}}$ \`e localmente lipschitziana e
$\boldsymbol{F}(0)=0$. Supponiamo che, per un aperto $A$ con
$0\in A\subset\Omega$, esista una cosiddetta funzione di Liapunov $H:A\to\R$
tale che
\begin{itemize}
\item[i)] $H$ \`e di classe $C^1$ in $A$;
\item[ii)] $H(y)>0$ per ogni $y\in A\setminus\{0\}$;
\item[iii)] vale una delle seguenti condizioni:
\begin{itemize}
\item[a)] $\boldsymbol{F}\cdot\nabla H\le 0$ in $A$;
\item[b)] $\boldsymbol{F}\cdot\nabla H<0$ in $A\setminus\{0\}$;
\item[c)] $\boldsymbol{F}\cdot\nabla H>0$ in $A\setminus\{0\}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
Allora il punto di equilibrio $0$ \`e stabile se vale la {\rm(a)},
asintoticamente stabile se vale la {\rm(b)}, o non stabile se vale la {\rm(c)}.
\end{theorem}

Prima di dimostrare il teorema di Liapunov, discutiamo un esempio
significativo. Siano $a,b,c,d$ quattro costanti reali con $a<0$ e consideriamo
il sistema dinamico
$$\begin{cases}x'(t)=ax-cy,\\ y'(t)=cx+ay.\end{cases}$$
Ponendo $H(x,y)=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2)$ risulta
\begin{align*}
H'(t)&=x\,x'(t)+y\,y'(t)\\ &=x(ax-cy)+y(cx+ay)\\ &=a(x^2+y^2)=2aH\le 0,
\end{align*}
dove vale il segno uguale se e solo se $x=y=0$. Quindi
$$H(x(t),y(t))=H(x(0),y(0))e^{2at}\to 0,\qquad t\to+\infty,$$
per ogni $x(0),y(0))$. Quindi $(x(t),y(t))\to(0,0)$ se $t\to+\infty$, che mostra
la asintotica stabilit\`a del punto di equilibrio $0$. Si osservi che
$$\bF\cdot\nabla H=x(ax-cy)+y(cx+ay)=H^\prime(t)<0$$
per $(x,y)\neq(0,0)$.

Consideriamo ora il sistema dinamico
$$\begin{cases}x'(t)=-x-2y^2,\\ y'(t)=xy-y^3,\end{cases}$$
per cui $0$ \`e un punto di equilibrio. Ponendo $H(x,y)=\tfrac{1}{2}x^2+y^2$,
risulta
$$H'(t)=x\,x'(t)+2y\,y'(t)=-x(x+2y^2)+2y(xy-y^3)=-(x^2+2y^4)\le 0,$$
dove vale il segno uguale se e solo se $x=y=0$. Quindi $0$ \`e un punto di
equilibrio asintoticamente stabile. Si osservi che
$$\bF\cdot\nabla H=-x(x+2y^2)+2y(xy-y^3)=H^\prime(t)<0$$
per $(x,y)\neq(0,0)$.

Infine, consideriamo il sistema hamiltoniano
$$\boldsymbol{p}'(t)=-\nabla_{\boldsymbol{q}}\,H,\qquad
\boldsymbol{q}'(t)=\nabla_{\boldsymbol{p}}\,H,$$
dove $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\in\R^n$ e la funzione hamiltoniana ha la
forma
$$H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})
=\tcr{T(\boldsymbol{p})}+V(\boldsymbol{q}),$$
dove $T$ \`e una forma quadratica definita positiva e $\boldsymbol{q}=0$ \`e
un minimo stretto dalla funzione $V$. In tal caso $(0,0)\in\R^{2n}$ \`e un punto
di equilibro, $H$ \`e definita positiva in un intorno di $(0,0)\in\R^{2n}$ e
$H'(t)=0$. Quindi la $H$ \`e una funzione di Liapunov e l'origine \`e un punto
di equilibrio stabile.

Ora, enunceremo i lemmi, di particolare rilievo nello studio della funzione
di Liapunov, attraverso i quali si giunge alla dimostrazione del teorema sopra
citato.

\begin{lemma}[di intrappolamento delle orbite]\hskip 7pt
Sia $H$ una funzione di Liapunov con $H'<0$ in $A\setminus\{0\}$.
Sia $\Gamma$ un aperto limitato tale che la sua chiusura sia contenuta in $A$,
cio\`e $\bar{\Gamma}\subset{A}$ e $\xi\in{\Gamma}$. Supponiamo che
$H(\xi) <a$ e $H(y) \geq{a}$ per ogni $y\in{\partial{\Gamma}}$ (frontiera
dell'insieme $\Gamma$), dove $a$ \`e una costante positiva. Allora esiste la
soluzione $\varphi(t;0,\xi)$ per $t\geq{0}$ e $\varphi(t;0,\xi)\in{\Gamma}$
per ogni $t\geq{0}$ (ossia, la soluzione $\varphi$ non pu\`o uscire da
$\Gamma$).
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Supponiamo, per assurdo, che $\varphi(t;0,\xi)$ esca da $\Gamma$. Poniamo
$t^{*}=\hbox{inf$\{t\geq{0}:\varphi(t)\notin{\Gamma}\}$}=$ ``primo tempo di
uscita'' da $\Gamma$. Per la continuit\`a di $\varphi$, si ha
$\varphi(t^{*})\in{\partial{\Gamma}}$; inoltre, per la definizione di $t^{*}$,
$\varphi(t)\in{\Gamma}$ per $0\leq{t}< t^{*}$.
Allora, ponendo $\phi(t)=H(\varphi(t))$, avremo
$$\phi(0)=H(\varphi(0))=H(\xi)< a,\;\phi'(t)=(H\circ\varphi)'(t)\leq{0}$$
e
$$\phi(t^{*})=H(\varphi(t^{*}))\geq{a}.$$
Contraddizione. Dunque, $\varphi$ non pu\`o uscire da $\Gamma$. In base alle
propriet\`a delle orbite viste nel capitolo precedente, $\varphi$ esiste per
$t\geq{0}$.
\end{dimostrazione}

\begin{lemma}[di escursione delle orbite]
Sia $\Gamma$ un aperto limitato tale che $\overline{\Gamma}\subset{A}$.
Supponiamo che $H(y) \geq{a}$ e $H'(y) \leq{-b} <0$, per ogni $y\in{\Gamma}$,
dove $a$ e $b$ sono delle costanti positive. Se $\xi\in{\Gamma}$ e
$\varphi(t;0,\xi)$ \`e definita per $t\geq{0}$, allora $\varphi(t;0,\xi)$ esce
da $\Gamma$.
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Supponiamo, per assurdo, che $\varphi(t;0,\xi)\in{\Gamma}$ per ogni $t\geq{0}$.
Si ha
$$a\leq{H(\varphi(t))}=\int_{0}^{t}{H'(\varphi(s))ds+H(\xi)}\leq{-bt+H(\xi)}.$$
Per $t\rightarrow{+\infty}$, $-bt+H(\xi)\rightarrow{-\infty}$. Contraddizione.
\end{dimostrazione}

\begin{lemma}[di attrattivit\`a dell'origine]
Sia $\Gamma_0$ un aperto limitato, $\overline{\Gamma}_{0}\subset{A}$,
$0\in{\Gamma_0}$. Sia $H$ una funzione di Liapunov con $H' <0$ in
$A\setminus{\{0\}}$. Se $\xi\in{\Gamma_0}$ e $\varphi(t;0,\xi)\in{\Gamma_0}$
per $t\geq{0}$, allora $\varphi(t;0,\xi)\rightarrow{0}$
per $t\rightarrow{+\infty}$.
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Essendo $H'<0$ in $\tcr{A\setminus\{0\}}$, $\phi(t)=H(\varphi(t))$ \`e
strettamente decrescente. Mostriamo che $H(\varphi(t))\rightarrow{0}$ per
$t\rightarrow{+\infty}$. Se cos\`i non fosse, ponendo
$0<\mu=\limsup_{t\rightarrow{+\infty}}H(\varphi(t))$,
$\varphi(t)\rightarrow{\mu}>0$ per $t\rightarrow{+\infty}$ e $\phi(t)\geq{\mu}$
per $t\geq{0}$. Essendo $H(0)=0$, esiste un intorno $B_{\delta}(0)$
tale che, se $y\in{\overline{B_{\delta}(0)}}$, $H(y)\leq{\frac{\mu}{2}}$. Si
noti che allora $\xi\in{\Gamma_{0}\setminus{\overline{B_{\delta}}(0)}}$.
Siano $a> 0$ il minimo di $H$ e $-b< 0$ il massimo di $H'$ su
$\overline{\Gamma}_{0}\setminus{B_{\delta}(0)}$.
In base al lemma precedente, $\varphi(t;0,\xi)$ deve uscire da
$\Gamma=\Gamma_{0}\setminus{\overline{B_{\delta}}(0)}$.
Non pu\`o, tuttavia, uscire attraverso $\partial{\Gamma_{0}}$ per ipotesi e
neppure attraverso $\partial{B_{\delta}}(0)$ poich\'e se
$\varphi\in{\overline{B_{\delta}}(0)}$, $H(\varphi(t))\leq{\frac{\mu}{2}}$.
Contraddizione.

Dunque, $H(\varphi(t))\rightarrow{0}$, il che implica
$\varphi(t)\rightarrow{0}$ per $t\rightarrow{+\infty}$.
\end{dimostrazione}

\begin{observation}
Quindi, se si riesce a trovare un aperto $\Gamma_0\subset{\Omega}$, limitato e
contenente l'unico punto di equilibrio 0, in cui sono intrappolate le orbite e
$H'$ \`e definita negativa, allora $\Gamma_0$ \`e contenuto nel bacino di
attrazione di $0$.
\end{observation}

\begin{dimostrazionesenzapunto} del Teorema \ref{th:5.4.1}.
Sia $\epsilon> 0$ tale che $B_{\epsilon}(0)\subset{A}$. Poniamo
$\Gamma=B_{\epsilon}(0)$ e $a=\hbox{min}_{\partial{\Gamma}}H$.
Essendo $\partial{\Gamma}$ un compatto e $H$ continua e definita positiva, $a$
\`e ben definito e positivo.
Poich\'e $H(0)=0$, esiste $B_{\delta}(0)$ tale che $H(y)\leq{\frac{a}{2}}$,
ogni $y\in{B_{\delta}(0)}$.
In base al teorema di intrappolamento delle orbite, per ogni
$\xi\in{B_{\delta}(0)}$, $\varphi(t;0,\xi)$ esiste e non esce da
$B_{\delta}(0)$.
Per questo motivo, $0$ \`e stabile.
Se $H'<0$, l'asintotica stabilit\`a segue dal lemma sull'attrattivit\`a
dell'origine con $\Gamma_{0}=B_{\epsilon}(0)$.
\end{dimostrazionesenzapunto}

Valgono, dunque, le seguenti proposizioni:

\begin{proposition}
Sia $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ e 0 l'unico punto di equilibrio per il sistema
$$y'=f(y).$$
Se $H'(y) <0$ in $\mathbb{R}^{n}\setminus{\{0\}}$ e $H(y)\rightarrow{+\infty}$
per $\|y\|\rightarrow{+\infty}$, allora l'origine \`e globalmente
asintoticamente stabile.
\end{proposition}

\begin{dimostrazione}
Sia $\xi$ qualunque punto di $\mathbb{R}^{n}$, $\xi\neq{0}$, e $H(\xi)=a>0$.
Poich\'e $H(y)\rightarrow{+\infty}$ per $\|y\|\rightarrow{+\infty}$, esiste una
sfera $B_{r}(0)$ di raggio $r$ abbastanza grande, tale che $H(y)\geq{2a}$ per
$y\in{\mathbb{R}^{n}\setminus{B_{r}(0)}}$.
In particolare, $H(y)\geq{2a}$ su $\partial{B_{r}(0)}$. Ma allora, in base al
lemma di intrappolamento delle orbite,
$\varphi(t;0,\xi)$ esiste per $t\geq{0}$ e non esce da $B_{r}(0)$.
Essendo $H'<0$ in tutto $\mathbb{R}^{n}$, segue dal lemma di attrattivit\`a
dell'origine che $\varphi(t;0,\xi)\rightarrow{0}$, $t\rightarrow{+\infty}$.
Essendo $\xi$ arbitrario, il bacino di attrazione di $0$ \`e $\mathbb{R}^{n}$.
\end{dimostrazione}

Si \`e gi\`a detto, in precedenza, come la ricerca della funzione di Liapunov
possa presentare delle difficolt\`a. Esiste, per\`o, un altro metodo di
procedere nella ricerca della stabilit\`a. Tale metodo consiste nella
sostituzione del sistema di partenza non lineare con un sistema lineare
approssimante in modo tale da utilizzare la teoria lineare e trasferire le nuove
informazioni ottenute sul sistema linearizzato. L'approssimazione \`e, per\`o,
valida solo localmente, ovvero nell'intorno del punto di equilibrio considerato.

Sia, ora, dato un sistema autonomo
\begin{equation}\label{5.2}
y'=f(y),
\end{equation}
dove $f\in{C^{1}(\Omega)}$, $\Omega$ aperto di $\mathbb{R}^{n}$ e tale che
$f(0)=0$. Si suppone che la matrice jacobiana di $f$ in $0$, $Df(0)$, sia non
singolare. Allora, si pu\`o scrivere
\begin{equation}\label{5.3}
f(y)=Df(0)y+g(y),
\end{equation}
dove $g(y)=o(\|y\|)$ per $y\rightarrow{0}$. Ponendo $A=Df(0)$, si consideri
il sistema
\begin{equation}\label{5.4}
z'=Az
\end{equation}
che prende il nome di \emph{sistema linearizzato}.

Ne segue

\begin{theorem}[Perron]\label{th:5.4.2}
Sia la \eqref{5.4} la linearizzazione del sistema dinamico \eqref{5.2}. Allora
\begin{itemize}
\item[1.] Se $0$ \`e asintoticamente stabile per il sistema \eqref{5.4}, allora
lo \`e anche per il sistema \eqref{5.2}.
\item[2.] Se esiste un autovalore della matrice $A$ nella \eqref{5.4} con parte
reale positiva, allora $0$ \`e instabile per il sistema \eqref{5.2}.
\end{itemize}
\end{theorem}

La dimostrazione di questo teorema fa ricorso al seguente lemma:

\begin{lemma}
Se tutti gli autovalori di $A$ hanno parte reale negativa, allora esiste una
matrice $Q$ simmetrica e definita positiva tale che $QA+A^{T}Q$ \`e definita
negativa. \tcr{In altre parole, esiste un prodotto scalare
$[x,y]=\langle Qx,y\rangle$ rispetto a cui \`e definita negativa la matrice
$A$.}
\end{lemma}

\begin{dimostrazionesenzapunto} del Teorema \ref{th:5.4.2}.
Poich\'e $0$ \`e asintoticamente stabile per il sistema \eqref{5.4}, tutti gli
autovalori di $A$ presentano parte reale negativa. Consideriamo la matrice $Q$
del lemma sopra enunciato e la forma quadratica definita positiva
$$H(y)=\langle Qy,y\rangle.$$
Calcoliamo la derivata di $H$ lungo le traiettorie del sistema non lineare
\eqref{5.2}:
\begin{align}
H'(y)&=\langle Qy,y^\prime\rangle+\langle Qy^\prime,y\rangle\nonumber\\
&=\langle Qy,Ay+g(y)\rangle+\langle Q[Ay+g(y)],y\rangle\nonumber\\
&=\langle[QA+A^TQ]y,y\rangle+2\langle Qy,g(y)\rangle,\label{5.5}
\end{align}
dove abbiamo utilizzato la simmetria di $Q$. Usando $g(y)=c(y)y$ per $c(y)\to0$,
si ottiene:
$$H'(y)\le[-\delta+c(y)]\|y\|^2$$
per un'opportuna costante $\delta>0$. Di conseguenza, esiste un intorno di $0$
su cui
$$H'(y)\le-\tfrac{1}{2}\delta\|y\|^2.$$
Per il teorema di Liapunov, $0$ \`e asintoticamente stabile.
\end{dimostrazionesenzapunto}

Si \`e cos\`{\i} dimostrata anche la seconda parte del Teorema di Perron.

\begin{proposition}
Se esiste un autovalore di $A$ con parte reale positiva, allora $0$ \`e
instabile per il sistema \eqref{5.2}.
\end{proposition}

\section{Stabilit\`a e loro applicazioni}

\textbf{1. \bf Pendolo semplice.}
Consideriamo ora l'equazione del moto del pendolo semplice di lunghezza
\begin{equation}\label{5.9}
\ell\ddot{\theta}=-g\sin(\theta),
\end{equation}
dove $\theta$ \`e l'angolo tra il pendolo e la verticale, $g$ l'accelerazione
gravitazionale sulla superficie della Terra e $\ell$ la lunghezza del pendolo.
Moltiplicando la \eqref{5.9} per $d\theta/dt$ e integrando rispetto
a $\theta$ arriviamo all'equazione
$$\frac{1}{2}(\dot{\theta})^2=\dfrac{g}{\ell}
\left(\cos\theta-\cos a\right),$$
dove $a$ \`e l'angolo positivo per cui $(d\theta/dt)=0$. Nella Figura
\ref{fig:5.7} abbiamo tracciato le orbite chiuse, le orbite eterocliniche
(collegando i punti di sella) e le orbite aperte. Il periodo $T$ delle orbite
chiuse ha la forma
\begin{align*}
T&=2\int_{-a}^a\dfrac{d\theta}{\sqrt{2g(\cos\theta-\cos a)/\ell}}\\
&=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,\int_0^a\dfrac{d\theta}{\sqrt{4(\sin^2\tfrac{1}{2}a
-\sin^2\tfrac{1}{2}\theta)}}\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
&=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,\int_0^{\pi/2}\dfrac{2\,\sin\tfrac{1}{2}a\cos\phi\,
d\phi}{\cos\tfrac{1}{2}\phi\sqrt{4(\sin^2\tfrac{1}{2}a-\sin^2\tfrac{1}{2}a
\sin^2\phi)}}\\ &=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,\int_0^{\pi/2}\dfrac{d\phi}
{\cos\tfrac{1}{2}\phi}=4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(\sin^2\tfrac{1}{2}a)\\
&=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,\left(1+\frac{1}{16}a^2+O(a^4)\right),
\end{align*}
dove
$$K(m)=\int_0^{\pi/2}\dfrac{d\phi}{\sqrt{1-m^2\sin^2\phi}},\qquad 0\le m<1,$$
si chiama integrale ellittico completo di prima specie \cite[17.3.1]{AS}. Si
osservi che abbiamo applicato la sostituzione
$\sin\tfrac{1}{2}\theta=\sin\tfrac{1}{2}a\sin\phi$.

Applichiamo ora il teorema di Liapunov. Riscrivendo l'equazione del moto del
pendolo, \eqref{5.9}, si ottiene il sistema dinamico
$$\begin{cases}\dot{\theta}_1=\theta_2,\\ \dot{\theta}_2=-(g/\ell)\sin\theta_1,
\end{cases}$$
e ponendo
$$H(\theta_1,\theta_2)=\tfrac{1}{2}\theta_2^2+(g/\ell)[1-\cos\theta_1],$$
otteniamo $H(\theta_1,\theta_2)>0$ per $(0,0)\neq(\theta_1,\theta_2)\in\R^2$
e $H'(t)=0$. Quindi $(0,0)$ \`e un punto di equilibrio stabile ma non
asintoticamente stabile.
\begin{figure}[H]\label{fig:5.7}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{pendolo}}
\caption{Diagramma delle fasi del pendolo nel piano
$(\theta,\tfrac{d\theta}{dt})$.}
\end{figure}

Spesso il sistema \eqref{5.9} viene linearizzato nel seguente modo:
\begin{equation}\label{5.10}
\ddot{\theta}=-\dfrac{g}{\ell}\theta.
\end{equation}
In tal caso la \eqref{5.10} si trasforma nel sistema dinamico
$$\begin{cases}\dot{\theta}_1=\theta_2,\\
\dot{\theta}_2=-(g/\ell)\theta_1,\end{cases}$$
con funzione di Liapunov
$$H(\theta_1,\theta_2)=\tfrac{1}{2}\theta_2^2+(g/2\ell)\theta_1^2.$$
Siccome $H(\theta_1,\theta_2)>0$ per $(0,0)\neq(\theta_1,\theta_2)\in\R^2$
e $H'(t)=0$, l'origine $(0,0)$ \`e un punto di equilibrio stabile, che non \`e
asintoticamente stabile.
\bigskip

\textbf{2. Pendolo semplice vincolato ad un piano che subisce una rotazione
costante}. In tal caso
$$\ell\ddot{\theta}=-g\sin(\theta)
+\frac{1}{2}\ell\omega^2\sin(2\theta),$$
dove $\theta$ \`e l'angolo tra il pendolo e la verticale, $g$ \`e
l'accelerazione gravitazionale, $\ell$ la lunghezza del pendolo e $\omega$ la
velocit\`a angolare. Scriviamo l'equazione del moto nella forma
$$\begin{cases}\dot{\theta}_1=\theta_2,\\ \dot{\theta}_2=-(g/\ell)\sin(\theta_1)
+\tfrac{1}{2}\omega^2\sin(2\theta_1).\end{cases}$$
Nei punti di equilibrio $(\theta_1,\theta_2)$ abbiamo $\theta_2=0$ e
$$\sin(\theta_1)\left\{-\frac{g}{\ell}+\omega^2\cos(\theta_1)\right\}=0.$$
Quindi i punti di equilibrio sono $(\theta_0,0)$ per $\sin\theta_0=0$ oppure
per $\cos\theta_0=(g/\ell\omega^2)$.

Per studiare l'andamento delle orbite intorno all'origine introduciamo la
funzione di Liapunov
\begin{align*}
H(\theta_1,\theta_2)&=\tfrac{1}{2}\theta_2^2+(g/\ell)[1-\cos\theta_1]
+\tcr{\tfrac{1}{2}\omega^2\cos^2(\theta_1)}\\
&=\tfrac{1}{2}\theta_2^2
+\tcr{\left(\frac{g}{\ell}-\omega^2\right)[1-\cos\theta_1]
+\tfrac{1}{2}\zo^2\left\{1+[1-\cos(\theta_1)]^2\right\}}\ge 0,
\end{align*}
dove $(g/\ell)\ge\omega^2$. Allora
\begin{align*}
\frac{d}{dt}H(\theta_1(t),\theta_2(t))&=\theta_2\dot{\theta}_2
+\left\{\frac{g}{\ell}\sin\theta_1-\tfrac{1}{2}\omega^2\sin(2\theta_1)\right\}
\dot{\theta}_1\\ &=\left\{\dot{\theta}_2+\frac{g}{\ell}\sin\theta_1
-\tfrac{1}{2}\omega^2\sin(2\theta_1)\right\}\dot\theta_1=0.
\end{align*}
Quindi l'origine \`e un punto di equilibrio stabile se $(g/\ell)\ge\omega^2$.
\bigskip

\textbf{3. Oscillazioni smorzate e fenomeno della risonanza.}
Abbiamo gi\`a visto, nel capitolo precedente, l'oscillatore armonico
con attrito. Ora, consideriamo l'equazione che modellizza un sistema meccanico,
in cui le forze in gioco sono rappresentate da una forza elastica
($-ky$), da un attrito proporzionale alla velocit\`a del sistema
($-hy'$) e da una sollecitazione esterna, dipendente dal tempo
($F(t)$), cio\`e si consideri l'equazione
$$m\ddot{y}=-ky-h\dot{y}+F(t),$$
dove $m>0$ \`e la massa. In un primo momento,
calcoliamo l'integrale generale del sistema meccanico, sul quale,
oltre alla forza di tipo elastico, agisce una resistenza di tipo
viscoso, ossia proporzionale alla velocit\`a, che, come vedremo,
tender\`a a smorzare o, addirittura, ad eliminare le oscillazioni
del moto. Quindi, l'equazione del moto \`e data da
$$\ddot{y}+2\delta\dot{y}+\omega^2y=0,$$
dove $\delta=h/2m$. L'equazione caratteristica associata \`e
$$\lambda^2+2\delta\lambda+\omega^2=0,$$
che presenta due radici
$$\lambda_1=-\delta+\sqrt{\delta^2-\omega^2},\quad 
\lambda_2=-\delta-\sqrt{\delta^2-\omega^2}.$$

Analizziamo i seguenti casi:
\begin{itemize}
\item[i)] $\delta>\omega$, ovvero la resistenza \`e elevata. Le radici,
$\lambda_1,\lambda_2$, risultano essere reali negative e distinte. L'integrale
generale \`e della forma
$$\varphi(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t},$$
dove $c_1,c_2$ sono due costanti arbitrarie. Il moto non \`e oscillatorio.
\item[ii)] $\delta=\omega$. Allora risulta che $\lambda_1=\lambda_2=-\delta<0$ e
l'integrale generale \`e della forma
$$\varphi(t)=(c_1+c_2t)e^{-\delta t},$$
dove $c_1,c_2$ sono due costanti arbitrarie. Il moto non \`e oscillatorio.
\item[iii)] $\delta<\omega$. Allora risulta che
$$\lambda_1=-\delta+i\nu,\quad \lambda_2=-\delta-i\nu,$$
dove $\nu=\sqrt{\omega^2-\delta^2}$. L'integrale generale \`e della forma
$$\varphi(t)=Ae^{-\delta t}\cos{(\nu t+\alpha)},$$
dove $A$ e $\alpha$ sono due costanti arbitrarie. Il sistema esegue infinite
oscillazioni attorno al centro con una frequenza $\nu=\sqrt{\omega^2-\delta^2}$
ed un'ampiezza $Ae^{-\delta t}$, che diventa sempre pi\`u piccola con il
trascorrere del tempo. Questo tipo di oscillazioni sono dette \emph{smorzate}.
\end{itemize}

Ora, supponiamo che sul sistema agisca anche una forza esterna.
L'equazione del moto non \`e pi\`u omogenea, ma \`e data da
$$m\ddot{y}=-ky-h\dot{y}+F(t),\quad m\neq{0}.$$
Ponendo $f(t)=F(t)/m$, l'equazione diventa
$$\ddot{y}+2\delta\dot{y}+\omega^2=f(t).$$
La soluzione generale \`e data da
$$y(t)=\varphi(t)+\psi(t),$$
dove $\varphi(t)$ \`e l'integrale generale dell'equazione omogenea associata e
$\psi(t)$ \`e la soluzione particolare dell'equazione non omogenea.

Possiamo considerare una sollecitazione esterna del tipo
$$f(t)=B\cos{(\gamma t)}.$$
Se $\gamma=0$, la forza esterna \`e una costante $B$. Diversamente, essa risulta
essere armonica con frequenza $\nu=\gamma/2\pi$.

Analizziamo i seguenti casi:
\begin{itemize}
\item[i)] Supponiamo che la resistenza sia nulla, ovvero $\delta=0$. Allora un
integrale particolare presenta la seguente forma:
$$\psi(t)=\begin{cases}\dfrac{B}{\omega^2-\gamma^2}\cos{\gamma t}
&\gamma\neq{\omega},\\
\dfrac{Bt}{2\omega}\sin{\omega t}&\gamma=\omega.\end{cases}$$
Alle oscillazioni descritte da $\varphi(t)$ si sovrappongono le
\emph{oscillazioni forzate} rappresentate da $\psi(t)$, di ampiezza costante
(e uguale a $B/(\omega^2-\gamma^2)$ se $\gamma\neq{\omega}$. Se,
invece, si verifica che $\gamma=\omega$, l'ampiezza delle
oscillazioni (uguale a $Bt/2\omega$) aumenta con il
trascorrere del tempo: si ha il \emph{fenomeno della risonanza}.
\item[ii)] Sia $\delta>0$. L'integrale particolare \`e dato da
$$\psi(t)=B\rho\cos{[\gamma(t-r)]},$$
dove $\rho=1/\sqrt{(\omega^2-\gamma^2)^2+4\delta^2\gamma^2}$ e
$\tan{(\gamma r)}=2\gamma\delta/(\omega^2-\gamma^2)$. Poich\'e
l'integrale generale dell'equazione omogenea associata,
$\varphi(t)$, tende a zero al tendere di $t$ all'infinito, dopo un
moto iniziale transitorio, la situazione di regime \`e descritta
dall'integrale $\psi(t)$. Il moto \`e armonico con ampiezza
$B\rho$ (dove $\rho$ \`e una funzione di $\gamma$) e periodo
$\frac{2\pi}{\gamma}$.
Quest'ultima compare quando la frequenza di eccitazione \`e quasi
uguale a quella caratteristica $\omega$. Se, invece,
$\delta\geq\tfrac{1}{2}\omega\sqrt{2}$, la funzione
$\rho(\gamma)$ \`e decrescente e non si ha risonanza.
\end{itemize}
\bigskip

\textbf{4. Modello preda-predatore di Lotka-Volterra.}
Dopo il primo conflitto mondiale, al largo del Mar Adriatico, si riscontr\`o una
diminuzione di una determinata specie di pesci commestibili e un aumento del
numero di predatori. La questione fu posta all'attenzione del matematico
italiano Vito Volterra [1860-1940], che risolse il problema introducendo il
seguente modello divenuto celebre e gi\`a studiato precedentemente da Alfred
James Lotka [1880-1949], in relazione ad un problema di cinetica chimica.

Indicando con $x=x(t)$ il numero di prede e con $y=y(t)$ il numero di predatori,
Volterra consider\`o che il tasso relativo di crescita delle prede era costante
in assenza di predatori, ma decrescente linearmente con y; il tasso relativo di
diminuzione del numero di predatori era costante in assenza di prede, ma
crescente linearmente con x. Il modello proposto fu il seguente:
$$\fbox{$\dfrac{\dot{x}}{x}=a-b\,y,\qquad\dfrac{\tcr{\dot{y}}}{y}=-c+d\,x,$}$$
dove $a,b,c,d>0$. Poniamo $F(x,y)=ax-bxy$; $G(x,y)=-cy+dxy$. I punti di
equilibrio sono le soluzioni del sistema $F(x,y)=G(x,y)=0 $, cio\`e $x=(c/d)$ e
$y=(a/b)$. L'integrale primo del sistema \`e
$$E(x,y)=-c\log{x}+dx-a\log{y}+by.$$
Infatti, moltiplicando $(\dot{x}/x)=a-by$ per $(-c+dx)$ e
$(\tcr{\dot{y}}/y)=-c+dx$ per $(a-by)$ e sottraendo termine a termine,
si ottiene
$$\left(-\dfrac{c}{x}+d\right)\dot{x}-\left(\dfrac{a}{y}-b\right)\dot{y}
=\dfrac{d}{dt}\left(-c\log{x}+dx-a\log{y}+by\right)=\dot{E}.$$
Poich\'e
$$\frac{\partial{E}}{\partial{x}}=-\frac{c}{x}+d=0\ \text{per}\
x=\frac{c}{d}\quad \text{e}\quad
\frac{\partial{E}}{\partial{y}}=-\frac{a}{y}+b=0\ \text{per}\
y=\frac{a}{b},$$
$$\frac{\partial^{2}{E}}{\partial{x^{2}}}=\frac{c}{x^{2}},\
\frac{\partial^{2}{E}}{\partial{y^{2}}}=\frac{a}{y^{2}},\
\frac{\partial^{2}{E}}{\partial{(x,y)}}=0,$$
$E$ risulta essere strettamente convessa in $\mathbb{R}^{2}$ e il punto
$(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$ \`e il minimo globale per E. In particolare,
consideriamo come integrale primo definito positivo la funzione
$$H(x,y)=E(x,y)-E\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right),$$
che verifica le condizioni $H(\frac{c}{d},\frac{a}{b})=0$, $H(x,y)>0$ e
$H'(x,y)\leq{0}$ e risulta quindi essere una funzione di Liapunov. Il punto di
equilibrio del sistema \`e stabile ma non asintoticamente. A questo sistema,
dunque, non \`e possibile in modo utile applicare il metodo di linearizzazione.

Gli insiemi di livello $\{(x,y)\in{\mathbb{R}_+^2}:E(x,y)=k,\;k
>E(\frac{c}{d},\frac{a}{b})\}$ sono curve chiuse regolari che racchiudono
$(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$. Il moto avviene in senso antiorario. L'evoluzione
della coppia $(x(t)$,$y(t))$ avviene con periodo $T$ dipendente da $k$. Quindi,
$x(0)=x(T)$ e $y(0)=y(T)$. Calcolando
$$\int_0^{T}{\frac{\dot{x}}{x}dt}=\log{x(T)}]_0^{T}-\log{x(0)}]_0^{T}=0.$$
$$\int_0^{T}{\frac{\dot{y}}{y}dt}=\log{y(T)}-\log{y(0)}=0.$$
$$0=\int_0^{T}{(a-by)dt}=aT-b\int_0^{T}{ydt}.$$
Quest'ultima equazione implica
$\frac{1}{T}\int_0^{T}{ydt}=\frac{a}{b}$;
$$0=\int_0^{T}{(-c+dx)dt}=-cT+d\int_0^{T}{xdt},$$
da cui si ottiene $\frac{1}{T}\int_0^{T}{xdt}=\frac{c}{d}$.
\begin{figure}[H]\label{fig:5.8}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{lotkavolterra}}
\caption{(a)~Orbite del sistema di Lotka-Volterra corrispondenti ai dati
iniziali $(0.5,1)$, $(0.7,1)$, $(1.4,1)$ e $(2.6,1)$. (b)~Grafici delle
soluzioni del sistemi di Lotka-Volterra con dati iniziali $(2.6,1)$. Vedi
\cite{ps, bps}.}
\end{figure}

Il sistema preda-predatore di Lotka-Volterra descrive la competitizione tra
prede e predatori. Il numero dei predatori \`e $y$ e quello di prede \`e $x$.
Questa competizione \`e ciclica. In ogni periodo $T$ (con $T$ che dipende dalla
curva di livello di $E$) l'aumento delle prede comporta una riduzione del numero
di predatori e vice versa, ma in ogni periodo il numero medio di prede e quello
di predatori non cambia. Nessuna delle due specie si pu\`o estinguere.

\section{Stabilit\`a dei sistemi dinamici discreti}

Consideriamo il sistema dinamico discreto
\begin{equation}\label{5.11}
x_{n+1}=F(x_n),
\end{equation}
dove $x_n\in\R^m$ per $n=0,1,2,\ldots$ e $F:\R^m\to\R^m$ \`e continua. Allora
l'insieme $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ si dice {\it traiettoria} o {\it orbita}.
Un'orbita si chiama $p$-{\it ciclo} se $x_{n+p}=x_n$ per $n=0,1,2,\ldots$ ma
$x_0\notin\{x_1,x_2,\ldots,x_{p-1}\}$. Dunque $p$ denota il periodo minimo.

Un'orbita che consiste di un singolo punto si dice {\it punto di equilibrio} e,
indicato tale punto con $X$, esso \`e soluzione dell'equazione $F(X)=X$. Nel
caso di un $p$-ciclo esistono $p$ punti diversi $X_1,X_2,\ldots,X_p$ tali che
$$F(X_1)=X_2,\ F(X_2)=X_3,\ F(X_3)=X_4,\ F(X_{p-1})=F(X_p),\ F(X_p)=X_1.$$
In tal caso l'orbita consiste di tali $p$ punti. Ovviamente, $X_1,\ldots,X_p$
sono punti di equilibro dell'iterato $p$-esimo della $F$ (cio\`e, della mappa
$F^p$, dove $F^1(X)=F(X)$ e $F^p(X)=F(F^{p-1}(X))$).

Un punto di equilibro $X$ si dice {\it asintoticamente stabile} se esiste 
un intorno $U$ di $X$ tale che $x_n\to X$ esponenzialmente per ogni $x_0\in U$.
Il punto di equilibrio $X$ si dice {\it stabile} se esiste un intorno $U$ di $X$
tale che ogni orbita con il punto iniziale $x_0\in U$ \`e contenuta in $U$.

Un risultato fondamentale \`e il seguente teorema:

\begin{theorem}[delle contrazioni]
Supponiamo che esista una costante $\delta\in(0,1)$ tale che
$$\|F(\xi)-F(\eta)\|\le\delta\|\xi-\eta\|,\qquad\xi,\eta\in\R^m.$$
Allora il sistema dinamico \eqref{5.11} ha un singolo punto di equilibrio e quel
punto \`e asintoticamente stabile.
\end{theorem}

\begin{dimostrazione}
Per qualunque $x_0\in\R^m$ si consideri l'orbita $\{x_n\}_{n=0}^\infty$. Allora
\begin{align*}
\|x_{n+p}-x_n\|&\le\|x_{n+p}-x_{n+p-1}\|+\ldots+\|x_{n+1}-x_n\|\nonumber\\
&\le\left(\delta^{n+p-1}+\delta^{n+p-2}+\ldots+\delta^n\right)\|x_1-x_0\|\\
&\le\dfrac{\delta^n}{1-\delta}\|x_1-x_0\|.
\end{align*}
Di conseguenza, $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ \`e una successione di Cauchy in $\R^m$
e quindi ha limite, $X$. Facendo tendere il pedice $p$ all'infinito, risulta
$$\|x_n-X\|\le\dfrac{\delta^n}{1-\delta}\|x_1-x_0\|.$$
Inoltre, facendo tendere $n$ all'infinito nella \eqref{5.11} risulta $X=F(X)$,
cio\`e $X$ \`e un punto di equilibrio che \`e ovviamente asintoticamente
stabile. L'unicit\`a del punto di equilibro si dimostra facilmente.
\end{dimostrazione}

\begin{corollary}
Supponiamo che esistano una costante $\delta\in(0,1)$ e un intero $p\in\N$ tali
che
$$\|F^p(\xi)-F^p(\eta)\|\le\delta\|\xi-\eta\|,\qquad\xi,\eta\in\R^m.$$
Allora il sistema dinamico \eqref{5.11} ha un singolo punto di equilibrio
e quel
punto \`e asintoticamente stabile.
\end{corollary}

\begin{dimostrazione}
Secondo il Teorema delle contrazioni esiste un unico punto fisso $X$ della
mappa $F^p$. Definiamo per $j=0,1,\ldots,p-1$, $X_j=F^j(X)$. Allora
$$F^p(X_j)=F^{p+j}(X)=F^j(F^p(X))=F^j(X)=X_j,\qquad j=0,1,\ldots,p-1.$$
Poich\`e ovviamente ciascun $X_j$ \`e punto fisso di $F^p$ e questa mappa ha
soltanto un punto fisso, risulta $X_0=X_1=\ldots=X_{p-1}=X$. Di consequenza,
$F(X)=X_1=X_0=X$. Siccome, per $j=0,1,\ldots,p-1$ e dato il punto iniziale
$\xi_0$, le $p$ successioni $\{\xi_{j+np}\}_{n=0}^\infty$ convergono tutte ad
$X$, anche la successione $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ tendead $X$. Questo dimostra
l'asintotica stabilit\`a di $F$.
\end{dimostrazione}

Se la mappa $F$ \`e differenziabile in un intorno del punto di equilibrio $X$ e
$\|F'(X)\|<1$, allora la $F$ \`e una contrazione (per qualsiasi $\delta$ tra
$\|F'(X)\|$ e $1$) in un opportuno intorno di $X$. Di conseguenza, $X$ \`e
un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

Sia$F:J\subset\R\subset\R$ derivabile e sia $X_1,\ldots,X_p$ un $p$-ciclo di
$F$. Applicando la regola di derivazione di una funzione composta $p$ volte in
seguito:
\begin{align*}
(F^p)'(X)&=F'(F^{p-1}(X))(F^{p-1})'(X)
=F'(F^{p-1}(X))F'(F^{p-2}(X))(F^{p-2})'(X)\\
&=F'(F^{p-1}(X))F'(F^{p-2}(X))\ldots F'(F(X))F'(X).
\end{align*}
si conclude che il $p$-ciclo $\{X_1,\ldots,X_p\}$ \`e asintoticamente stabile se
$$|F'(X_1)F'(X_2)\ldots F'(X_p)|<1.$$
\bigskip

{\bf 1. Metodo di Newton-Raphson}. Questo metodo per determinare gli zeri di una
funzione $f$ di classe $C^2$ conduce al seguente sistema dinamico:\footnote{La
tangente al grafico della funzione $f$ nel punto $(x_n,f(x_n))$ deve passare per
il punto $(x_{n+1},0)$.}
\begin{equation}\label{5.12}
x_{n+1}=F(x_n)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
\end{equation}
Osserviamo ora che
$$F'(x)=1-\dfrac{[f'(x)]^2-f(x)f"(x)}{[f'(x)]^2}=\dfrac{f(x)f"(x)}{[f'(x)]^2}.$$
Quindi se $f(X)=0$ e $f'(X)\neq0$, esiste un intorno $U$ di $X$ in cui
$|F'(x)|<1$. In tal caso $X$ \`e un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

Dimostriamo ora che la convergenza allo zero $X$ \`e quadratica. Infatti,
scrivendo la \eqref{5.12} nella forma
$$x_{n+1}-X=[x_n-X]-\dfrac{f(x_n)-f(X)}{f'(x_n)},$$
applichiamo il teorema del valor medio e troviamo $\xi$ tra $x_n$ e $X$ tale che
$f(x_n)-f(X)=f'(\xi)[x_n-X]$. Dunque,
$$x_{n+1}-X=\dfrac{x_n-X}{f'(x_n)}[f'(x_n)-f'(\xi)].$$
Applicando il teorema del valor medio alla $f'$ troviamo $\eta$ tra $x_n$ e
$\xi$ tale che $f'(x_n)-f'(\xi)=f"(\eta)[x_n-\xi]$. Dunque,
$$x_{n+1}-X=\dfrac{f"(\eta)}{f'(x_n)}[x_n-X][x_n-\xi].$$
Ponendo $M=\max\{|f"(z)|\}$ e $m=\min\{|f'(z)|\}$, otteniamo la stima
$$\|x_{n+1}-X\|\le\dfrac{M}{m}\|x_n-X\|^2.$$

\begin{figure}[H]\label{fig:5.9}
{\centering\resizebox{.6\textwidth}{!}{\includegraphics{newtoncomplesso}}\\
\centering\resizebox{.6\textwidth}{!}{\includegraphics{Newton_z3-2z+2}}}
\caption{Gli attractori provenienti dall'applicazione del metodo di
Newton-Raphson alle funzioni complesse $f(z)=z^4-1$ (vedi \cite{gl})
e $f(z)=z^3-2z+2$ (wikipedia).}
\end{figure}
Il metodo di Newton-Raphson pu\`o anche essere applicato nel piano complesso.
Sia $f$ una funzione analitica intera.\footnote{Cio\`e: La funzione $f$ ha
un numero infinito di derivate successive nel piano complesso e la serie di
potenze $f(z)=\sum_{j=0}^\infty[f^{(j)}(z_0)/j!](z-z_0)^j$ \`e assolutamente
convergente in ogni $z\in\C$.} Allora gli zeri complessi della $f$ possono, in
principio, essere trovati dal sistema dinamico
$$z_{n+1}=z_n-\dfrac{f(z_n)}{f'(z_n)}.$$
In generale, si ottiene un calderone di attrattori complicati. Per esempio, per
$f(z)=z^4-1$ abbiamo attrattori attorno agli zeri $\pm 1$ e $\pm i$.
\bigskip

{\bf 2. Mappa logistica}. Consideriamo la cosiddetta {\it mappa logistica}
\begin{equation}\label{5.13}
x_{n+1}=F(x_n)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}rx_n(1-x_n),\qquad n=0,1,2,3,\ldots,
\end{equation}
dove $0\le x_n\le 1$ e $r$ \`e una costante positiva. Per far appartenere
$x_{n+1}$ all'intervallo $[0,1]$ per qualsiasi $x_n\in[0,1]$, bisogna limitarsi
alle costanti $r$ tali che $0\le r\le 4$. La mappa logistica \eqref{5.13} ha
i due punti di equilibrio $X=0$ e, per $1<r\le4$, $X=((r-1)/r)$, per cui
$F(X)=X$. Ponendo $F(x)=rx(1-x)$ e $x_n'=x_n-X$ si ha
$$X+x_{n+1}'=F(X+x_n')=F(X)+x_n'F'(X)+O([x_n']^2),\quad x_n'\to0,$$
dove $F(X)=X$. Quindi
$$x_{n+1}'=x_n'F'(X)+O([x_n']^2),\quad x_n'\to0,$$
Dunque, se $|F'(X)|<1$, si ha la stabilit\`a asintotica della mappa logistica
(nel senso che $x_n\to X$ se $n\to+\infty$, qualunque sia $x_0$). Se
$|F'(X)|\le1$, si ha solo la sua stabilit\`a (nel senso che $x_n$ rimane vicino
ad $X$).

Per $X=0$ abbiamo $F'(X)=r(1-2X)=r$. Quindi $|F'(X)|<1$ se e solo se $0\le r<1$.
In altre parole, per $0\le r<1$ abbiamo $x_n\to0$ qualunque sia $x_0\in[0,1]$.
Quindi il punto di equilibrio $X=0$ \`e asintoticamente stabile se $0\le r<1$,
e stabile se $0\le r\le1$.

Per $X=((r-1)/r)$ abbiamo $F'(X)=2-r$. Quindi $|F'(X)|<1$ se e solo se $1<r<3$.
In altre parole, per $1<r<3$ abbiamo $x_n\to((r-1)/r)$ qualunque sia
$x_0\in(0,1)$. Per $x_0=0$ oppure $x_0=1$ abbiamo $x_n=0$ per $n\ge2$. Quindi il
punto $X=((r-1)/r)$ \`e asintoticamente stabile se $1<r<3$ e stabile se
$1\le r\le 3$.\footnote{Per $r=2$ la \eqref{5.13} ha la soluzione esplicita
$x_n=\tfrac{1}{2}[1-(1-2x_0)^{2^n}]$. Tale soluzione tende a $\tfrac{1}{2}$ per
$n\to+\infty$ se e solo se $0<x_0<1$.}

Consideriamo ora
\begin{align*}
F^2(X)&=F(F(X))=r[rX(1-X)](1-[rX(1-X)])\\ &=r^2X(1-X)(1-rX+rX^2).
\end{align*}
Quindi $X=F^2(X)$ se e solo se
$$X\in\left\{0,\frac{r-1}{r},\frac{r+1}{2r}\pm\frac{1}{2r}
\sqrt{(r+1)(r-3)}\right\}.$$
Le altre due soluzioni dell'equazione $F^2(X)=X$ appartengono all'intervallo
$[0,1]$ se e solo se $3\le r\le4$.

Si verifica facilmente che
$$F\left(\frac{r+1}{2r}\pm\frac{1}{2r}\sqrt{(r+1)(r-3)}\right)
=\frac{r+1}{2r}\mp\frac{1}{2r}\sqrt{(r+1)(r-3)}.$$
Inoltre,
$$(F^2)'(X)=F'(F(X))F'(X)=r^2(1-2F(X))(1-2X).$$
Per $X=\tfrac{r+1}{2r}\pm\tfrac{1}{2r}\sqrt{(r+1)(r-3)}$ troviamo
$(F^2)'(X)=-(r-1)^2+5$ il quale verifica $|(F^2)'(X)|<1$ se e solo se
$3<r<1+\sqrt{6}\approx 3.45$. In altre parole, i punti di equilibrio
$X=\tfrac{r+1}{2r}\pm\tfrac{1}{2r}\sqrt{(r+1)(r-3)}$ del secondo iterato della
mappa logistica sono asintoticamente stabili se e solo se $3<r<1+\sqrt{6}$ e
stabili se e solo se $3\le r\le 1+\sqrt{6}$. 

La sperimentazione numerica condotta da Mitchell Feigenbaum (1978) [nato nel
1944] ha portato ai seguenti risultati:
\begin{itemize}
\item[a.] Per $0\le r<1$ esiste un singolo punto di equilibrio ($X=0$) che \`e
asintoticamente stabile.
\item[b.] Per $1<r<3$ esiste un secondo punto di equilibrio ($X=((r-1)/r)$)
che \`e asintoticamente stabile.
\item[c.] Per $3<r<1+\sqrt{6}$ esistono due punti di equilibro della mappa $F^2$
($X=\tfrac{r+1}{2r}\pm\tfrac{1}{2r}\sqrt{(r+1)(r-3)}$) che sono asintoticamente
stabili. Quindi la mappa logistica ha un $2$-ciclo asintoticamente stabile.
\item[d.] Pi\`u generalmente, esiste una successione crescente
$\{\alpha_k\}_{k=0}^\infty$ nell'intervallo $[0,4)$ (dove $\alpha_0=0$,
$\alpha_1=1$, $\alpha_2=3$, $\alpha_3=1+\sqrt{6}$) tale che per
$\alpha_{k-1}<r<\alpha_k$ la mappa logistica ha un $2^{k-2}$-ciclo
asintoticamente stabile.
\item[e.] Il rapporto delle lunghezze degli intervalli dei valori di $r$ per
cui esiste un $2^{k-2}$-ciclo e per cui esiste un $2^{k-1}$-ciclo della mappa
logistica, hanno un rapporto che tende alla cosiddetta costante di Feigenbaum
($4.669202$ circa). In altre parole, la constante di Feigenbaum \`e il
seguente limite:
$$\lim_{k\to+\infty}\,\dfrac{\alpha_{k+1}-\alpha_k}{\alpha_k-\alpha_{k-1}}.$$
Si ha $\alpha_4\approx3.54$. Infatti $\alpha_k\to 3.569946$ (circa) se
$k\to+\infty$.
\item[f.] Oltre il valor limite di $3.569946$ ci sono intervalli di $r$ per cui
l'iterazione della mappa logistica esibisce un comportamento caotico. Ci sono
anche intervalli di $r$ per cui esistono un $3$-ciclo, un $6$-ciclo,
un $12$-ciclo, ecc.
\end{itemize}
\begin{figure}[H]\label{fig:5.10}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{BiforLogistico}}
\caption{Diagramma di biforcazione della mappa logistica.}
\end{figure}

{\bf 3. Lo shift di Bernouilli}. Sia $\sigma:[0,1)\to[0,1)$ definita da
$$\sigma(x)=\begin{cases}2x,&0\le x<\tfrac{1}{2},\\ 2x-1,&\tfrac{1}{2}\le x<1.
\end{cases}.$$
Consideriamo il sistema dinamico discreto
\begin{equation}\label{5.14}
\boldsymbol{\theta}_{n+1}=\sigma(\boldsymbol{\theta}_n),\qquad
n=0,1,2,3,\ldots.
\end{equation}

Nel sistema binario (in cui si rappresentano i numeri tramite le due cifre $0$
e $1$) ogni numero $\boldsymbol{\theta}\in[0,1)$ si rappresenta in modo unico
come
$$\boldsymbol{\theta}=\sum_{j=1}^\infty\,\dfrac{d_j}{2^j},$$
dove $d_j\in\{0,1\}$. In tal caso $0.d_1d_2d_3\ldots$ \`e la rapprestazione
binaria del numero $\boldsymbol{\theta}$. Si verifica facilmente che
$$\sigma(\boldsymbol{\theta})=\sum_{j=1}^\infty\,\dfrac{d_{j+1}}{2^j}.$$
In altre parole, l'evoluzione del sistema dinamico \eqref{5.14} consiste
nell'allontamento della prima cifra dallo sviluppo binario.

Lo sviluppo binario di un numero $\boldsymbol{\theta}\in[0,1)$ \`e finito (nel
senso che tutte le cifre tranne un numero finito, $m$, sono uguali a zero) se e
solo se $\boldsymbol{\theta}=(q/2^m)$ per opportuni $m=1,2,3,\ldots$ intero
e $q=1,3,5,\ldots,2^m-1$ dispari. In tal caso
$$\sigma^m(\boldsymbol{\theta})=0.$$
D'altra parte, se $\boldsymbol{\theta}$ \`e un numero razionale, da un certo
punto in poi il suo sviluppo binario sar\`a periodico:
$\boldsymbol{\theta}_{n+p}=\boldsymbol{\theta}_n$ per $n\ge s$. In tal caso
$$\left\{\boldsymbol{\theta}_s,\boldsymbol{\theta}_{s+1},\ldots,
\boldsymbol{\theta}_{s+p-1}\right\}$$
\`e un $p$-ciclo. Infine, se $\boldsymbol{\theta}$ \`e irrazionale, il suo
sviluppo binario \`e aperiodico.

Presentiamo ora alcuni esempi numerici.
\begin{alignat*}{6}
\boldsymbol{\theta}_0&=\frac{1}{3},
&\quad\boldsymbol{\theta}_1&=\frac{2}{3},
&\quad\boldsymbol{\theta}_2&=\frac{1}{3};
&\quad\phantom{\boldsymbol{\theta}_3}&\phantom{=\frac{3}{5},}
&\quad\phantom{\boldsymbol{\theta}_4}&\phantom{=\frac{1}{5}.}
&\qquad\qquad(2\text{-ciclo})\\
\boldsymbol{\theta}_0&=\frac{1}{7},
&\quad\boldsymbol{\theta}_1&=\frac{2}{7},
&\quad\boldsymbol{\theta}_2&=\frac{4}{7},
&\quad\boldsymbol{\theta}_3&=\frac{1}{7};
&\quad\phantom{\boldsymbol{\theta}_4}&\phantom{=\frac{1}{5}.}
&\qquad\qquad(3\text{-ciclo})\\
\boldsymbol{\theta}_0&=\frac{1}{5},
&\quad\boldsymbol{\theta}_1&=\frac{2}{5},
&\quad\boldsymbol{\theta}_2&=\frac{4}{5},
&\quad\boldsymbol{\theta}_3&=\frac{3}{5},
&\quad\boldsymbol{\theta}_4&=\frac{1}{5}.
&\qquad\qquad(4\text{-ciclo})
\end{alignat*}

L'unico punto di equilibrio della mappa $\sigma$ \`e lo zero. Purtroppo, lo zero
pu\`o essere approssimato da numeri irrazionali (per esempio, $\sqrt{2}/2n$) e
quindi lo zero \`e un punto di equilibrio instabile. Dallo stesso ragionamento
segue che tutti i $p$-cicli sono instabili. Ci\`o implica un comportamento
caotico della mappa $\sigma$.
\bigskip

{\bf 4. Mappa nel piano complesso}. Consideriamo ora la mappa
\begin{equation}\label{5.15}
z_{n+1}=\boldsymbol{F}(z_n),\qquad n=0,1,2,3,\ldots,
\end{equation}
Ponendo $z=x+iy$, potremmo convertire la \eqref{5.15} nel sistema dinamico
\begin{equation}\label{5.16}
\begin{cases}x_{n+1}=F_1(x_n,y_n),\\ y_{n+1}=F_2(x_n,y_n),\end{cases}
\end{equation}
dove abbiamo sfruttato l'equivalenza tra il piano complesso e $\R^2$. Per
esempio, per $\boldsymbol{F}(z)=z^2$ otteniamo al posto della \eqref{5.16}
$$\begin{cases}x_{n+1}=[x_n]^2-[y_n]^2,\\ y_{n+1}=2x_ny_n.\end{cases}$$
Se $\boldsymbol{F}$ \`e una funzione analitica e $Z$ \`e un punto di
equilibro, allora $Z$ \`e asintoticamente stabile
se $|\boldsymbol{F}'(Z)|<1$ e instabile se $|\boldsymbol{F}'(Z)|>1$.

Quest'ultimo sistema dinamico ha due punti di equilibrio, ambedue stabili: $0$
e $\infty$ (in $\C$). Siccome $z_n=[z_0]^{2^n}$ determina l'orbita con punto
iniziale $z_0$, si ha $z_n\to0$ per $|z_0|<1$ e $z_n\to\infty$ per $|z_0|>1$.
Il cerchio unitario viene trasformato in se stesso. Le radici dell'unit\`a
primitive di ordine $p$ conducono ad un $p$-ciclo.\footnote{$z$ se dice radice
dell'unit\`a primitiva se $z^p=1$ e $1\notin\{z,z^2,z^3,\ldots,z^{p-1}\}$.}
Tutti gli altri punti del cerchio unitario producono un'orbita aperiodica che
\`e densa nel cerchio.

Consideriamo il caso $\boldsymbol{F}(z)=\tfrac{1}{2}(z+z^{-1})$. In tal caso
i punti di equilibrio sono $Z=\pm1$ (e $Z=\infty$). Siccome
$\boldsymbol{F}'(\pm1)=0$, i punti di equilibrio $Z=\pm1$ sono ambedue stabili.
Il semipiano destro aperto $(\text{Re}(z)>0$) \`e l'attractor per $Z=1$, mentre
quello sinistro ($\text{Re}(z)<1$) \`e l'attractor per $Z=-1$. L'asse
immaginario andr\`a a finire a $Z=\infty$ dopo uno (per $z_0=0$) o due (per
$z_0\neq0$) passaggi. Siccome ogni numero immaginario pu\`o essere approssimato
da numeri complessi non immaginari, il punto di equilibrio $Z=\infty$ \`e
instabile.

Consideriamo ora la mappa pi\`u interessante
$$f:\C_\infty\to\C_\infty,$$
dove $f$ \`e un polinomio oppure una funzione razionale, studiata da Pierre
Fatou [1878-1929], Gaston Julia [1893-1978] e Beno\^{i}t Mandelbrot [1924-2010].
Mandelbrot (1980) \`e stato uno dei primi a studiare tali problemi con l'aiuto
di adeguati strumenti informatici. La mappa pi\`u studiata \`e stata la
seguente:
\begin{equation}\label{5.17}
f(z)=z^2+c,
\end{equation}
dove $c\in\C$ \`e una costante, in particolare il sistema dinamico di equazione
\begin{equation}\label{5.18}
z_0=0,\qquad z_{n+1}=[z_n]^2+c.
\end{equation}

Per questa mappa si definisce {\it insieme di Mandelbrot} l'insieme $M$ di tutti
i numeri complessi $c$ per cui la successione $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ \`e
limitata. In tal caso $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ pu\`o essere suddivisa in alcune
sottosuccessioni aventi come limite uno degli zeri dell'equazione polinomiale
$z=f^n(z)$ di grado $2^n$. Per $c=\pm i$, la successione $\{z_n\}_{n=0}^\infty$
consiste di quattro punti, poich\`e
$$0\stackrel{\text{\tiny f}}{\Longrightarrow}\pm i\stackrel{\text{\tiny f}}
{\Longrightarrow}-1\pm i\stackrel{\text{\tiny f}}{\Longrightarrow}\mp i
\stackrel{\text{\tiny f}}{\Longrightarrow}-1\pm i\stackrel{\text{\tiny f}}
{\Longrightarrow}\mp i\stackrel{\text{\tiny f}}{\Longrightarrow}\ldots,$$
quindi $\{i,-i\}\subset M$. D'altra parte, per $c=1$ abbiamo $z_0=0$, $z_1=1$,
$z_2=2$, $z_n\ge 1$ per $n=1,2,3,\ldots$, e quindi $z_{n+1}\ge z_n+1>z_n$,
che implica che $z_n\to+\infty$. In altre parole, $1\notin M$.

Per $c>\tfrac{1}{4}$, abbiamo
$$z_{n+1}-z_n=(z_n-\tfrac{1}{2})^2+(c-\tfrac{1}{4})>0,$$
implicando la monotonia stretta della successione $\{z_n\}_{n=0}^\infty$
e quindi l'esistenza (finita o infinita) del limite $z=\lim_{n\to+\infty}\,z_n$.
Siccome $z=z^2+c$, risulterebbe $(z-\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{4}-c<0$ e dunque
$z\in\C\setminus\R$ se $z$ fosse finito. Di conseguenza, $z_n\to+\infty$ e
quindi $(\tfrac{1}{4},+\infty)\cap M=\emptyset$.

Per $c=\tfrac{1}{4}$ abbiamo $z_{n+1}=[z_n]^2+\tfrac{1}{4}$. Perci\`o se
$\tfrac{1}{4}<z_n<\tfrac{1}{2}$, allora $\tfrac{1}{4}<z_{n+1}<\tfrac{1}{2}$,
mentre $z_{n+1}-z_n=(z_n-\tfrac{1}{2})^2>0$. Di conseguenza,
$z_n\to\tfrac{1}{2}$, che \`e la soluzione dell'equazione $z=z^2+\tfrac{1}{4}$
e perci\`o $\tfrac{1}{4}\in M$. Inoltre, per $c=-2$ abbiamo $z_0=0$, $z_1=-2$,
$z_2=z_3=\ldots=2$, e quindi $-2\in M$. Per dimostrare che $(-\infty,-2)$ non
interseca $M$, prendiamo $c<-2$. In tal caso $z_0=0$, $z_1=c<-2$,
$z_2>(-2)^2-2=2$, $z_3>(2)^2-2$, dunque $z_n>2$ per $n=2,3,4,\ldots$. Inoltre,
$z_{n+1}-z_n=(z_n-2)(z_n+1)>0$ per $n=2,3,4,\ldots$. Quindi
$\{z_n\}_{n=2}^\infty$ \`e strettamente crescente con limite $+\infty$ (poich\`e
in caso contrario il limite sarebbe uno degli zeri $2$ e $-1$ dell'equazione
$z=z^2-2$ e questo \`e impossibile). Di conseguenza, $c\notin M$ e quindi
$(-\infty,-2)\cap M=\emptyset$.

I punti fissi della \eqref{5.17} sono $z_\pm=\tfrac{1}{2}[1\pm\sqrt{1-4c}]$.
In questi due punti abbiamo $f'(z_\pm)=2z_\pm=1\pm\sqrt{1-4c}$. Affinch\'e uno
dei punti fissi $z_\pm$ sia attrattivo, \`e necessario e sufficiente che
$|f'(z_\pm)|<1$ per almeno uno dei $z_\pm$, oppure: che $\sqrt{1-4c}$ si trovi
all'interno di uno dei due dischi di raggio $1$ e centro $\pm1$. Ponendo
$w=1\pm\sqrt{1-4c}$, risulta $c=\tfrac{1}{4}[1-(w-1)^2]$. In altre parole, la
mappa \eqref{5.17} ha un punto fisso attrattivo se e solo se
$$c\in\left\{\tfrac{1}{4}[1-(w-1)^2]:|w|<1\right\}.$$
Si vede facilmente che la frontiera di questa regione \`e una
cardioide\footnote{Si ha $|c(\theta)|=\tfrac{1}{4}\sqrt{5-4\cos\theta}$, dove
$\theta=\arg(c)$. L'area rinchiusa \`e $5\pi/16$. La lunghezza della cardiode
vale $3K(\tfrac{2}{3}\sqrt{2})$, dove $K(m)$ \`e l'integrale ellittico di prima
specie \cite[17.3.1]{AS}.} con una cuspide nel punto di ascisso $\tfrac{1}{4}$
e l'estremo sinistro a $-\tfrac{3}{4}$. Di conseguenza, questa regione pi\`u la
sua frontiera sono contenute nell'insieme di Mandelbrot.

Iterando la \eqref{5.18}, risulta $z_{n+2}=[z_n]^4+2c[z_n]^2+c(c+1)$. Quindi
i punti fissi del secondo iterato $f^2$ sono gli zeri del polinomio
$$p(z)=z^4+2cz^2-z+c(c+1)=(z^2-z+c)(z^2+z+c+1);$$
dunque i punti di periodo $2$ sono
$z_\pm^{[2]}=\tfrac{1}{2}[-1\pm\sqrt{1-4(c+1)}]$. Adesso osserviamo che
$(f^2)'(z)=f'(f(z))f'(z)=4zf(z)=4z(z^2+c)$. Sostituendo $z=z_\pm^{[2]}$, si ha
$(f^2)'(z_\pm^{[2]})=4(c+1)$. Dunque $\{z_+^{[2]},z_-^{[2]}\}$ \`e un attractor
se e solo se $c$ appartiene al disco $\{\zeta\in\C:|\zeta+1|<\tfrac{1}{4}\}$.
In altre parole, il disco chiuso di centro $-1$ e raggio $\tfrac{1}{4}$ (che
tocca la cardioide nel punto $-\tfrac{3}{4}$) \`e contenuto nell'insieme di
Mandelbrot. Abbiamo dimostrato che
$$[-\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{4}]\subset M\cap\R\subset[-2,\tfrac{1}{4}].$$
Si pu\`o infatti dimostrare che $M\cap\R=[-2,\tfrac{1}{4}]$.
\begin{figure}[H]\label{fig:5.11}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}
{\includegraphics{mandelbrot1}}
\caption{L'insieme di Mandelbrot per la mappa $f(z)=z^2+c$ (vedi \cite{gl}).
Esso contiene il disco di centro $-1$ e raggio $\tfrac{1}{4}$ attaccato, nel
punto $z=\tfrac{3}{4}$, alla regione racchiusa dalla cardioide
$\{\tfrac{1}{4}[1-(w-1)^2]:|w|=1\}$.}
\end{figure}
\bigskip

{\bf 5. Esempio di una mappa cubica}. Per il parametro $a\in\R$ consideriamo
il sistema dinamico
\begin{equation}\label{5.19}
x_{n+1}=f(x_n)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}ax_n-[x_n]^3.
\end{equation}
I punti fissi sono $0$ per $a\le 1$ e $\{0,\pm\sqrt{a-1}\}$ per $a>1$.
Siccome $f'(x)=a-3x^2$, si ha $f'(0)=a$ e, per $a>1$,
$f'(\pm\sqrt{a-1})=3-2a$. Quindi il punto fisso $z=0$ \`e stabile per $a<1$ e
instabile per $a>1$. I punti fissi $\pm\sqrt{a-1}$ sono stabili per $1<a<2$
e instabili per $a>2$. Inoltre,
\begin{align*}
f^2(x)&=a(ax-x^3)-(ax-x^3)^3\\ &=x\left\{x^8-3ax^6+3a^2x^4-(a^3+a)x^2+a^2
\right\}.
\end{align*}
Quindi $f^2(x)=x$ se e solo se
$$\underbrace{x(x^2-a+1)}_{\text{\tiny punti\ fissi}}(x^2-a-1)(x^4-ax^2+1)=0.$$
Abbiamo $f(\pm\sqrt{a+1})=\pm\sqrt{a+1}$ e $f'(\pm\sqrt{a+1})=-3-2a<-1$ per
$a>-1$; dunque il $2$-ciclo $\{\pm\sqrt{a+1}\}$ \`e instabile. Inoltre, per
$a>2$ si ha
$$f\left(\boldsymbol{\pm}\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}}\right)
=\boldsymbol{\pm}\sqrt{\frac{a\mp\sqrt{a^2-4}}{2}},$$
dove ci sono due coppie di segno independenti.

\begin{figure}[H]\label{fig:5.12}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}
{\includegraphics{mandelzoom}}\\
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}
{\includegraphics{Mandelbrot-Menge_farbig}}
\caption{Due altre rappresentazioni dell'insieme di Mandelbrot per la mappa
$f(z)=z^2+c$ (vedi Wikipedia).}
\end{figure}
