%February 28, 2014; March 8, 2013

\chapter{Equazioni di Hamilton}\label{ch:H}

\section{Equazioni del moto di Hamilton}\label{sec:H.1}

Nella formulazione lagrangiana il moto di un sistema ad $n$ gradi di libert\`a
viene descritto dalle $n$ equazioni
\begin{equation}\label{H.1}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\pt L}{\pt\dot{q}_i}\right)
-\frac{\pt L}{\pt q_i}=0,
\end{equation}
dove $L=L(q_1,\ldots,q_n,\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n,t)$ \`e la lagrangiana.
Lo stato del sistema viene rappresentato da un unico punto nello {\it spazio
delle configurazioni} $n$-dimensionale le cui coordinate sono le coordinate
generalizzate $q_i$. Descrivere il moto del sistema significa seguire questo
punto lungo la sua traiettoria nello spazio delle configurazioni. Tutte le $n$
coordinate devono essere indipendenti e non devono essere presenti equazioni di
vincolo. Se le $n$ coordinate non fossero indipendenti si dovrebbe, prima di
impostare il problema, ridurre il numero delle incognite ad $m<n$.

Nella formulazione hamiltoniana si cercher\`a di descrivere il moto con un
sistema di $2n$ equazioni differenziali del primo ordine. Le $2n$ equazioni del
moto descriveranno l'evoluzione del punto rappresentativo del sistema in uno
spazio di dimensione $2n$, detto {\it spazio delle fasi}, le cui coordinate
saranno le $2n$ variabili indipendenti associate al sistema. La scelta naturale,
ma non l'unica possibile, per raddoppiare le coordinate indipendenti del
problema, \`e quella di scegliere met\`a di esse come le $n$ coordinate
generalizzate $q_i$. Come rimanenti coordinate scegliamo i {\it momenti
coniugati} o {\it generallizzati} $p_i$ definite da:
\begin{equation}\label{H.2}
p_i=\frac{\pt L}{\pt\dot{q}_i}
(q_1,\ldots,q_n,\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n,t).
\end{equation}
Le variabili $(q,p)=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)$ sono generalmente note come
{\it variabili canoniche}.

La cosiddetta trasformazione di Legendre da $(q,\dot{q},t)$ a $(q,p,t)$ agisce
come segue. Il differenziale della lagrangiana $L(q,\dot{q},t)$ \`e
\begin{align*}
dL&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt L}{\pt q_i}dq_i
+\tcm{\frac{\pt L}{\pt\dot{q}_i}}d\dot{q}_i\right)
+\frac{\pt L}{\pt t}dt\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt L}{\pt q_i}dq_i+\tcm{p_i}d\dot{q}_i
\right)+\frac{\pt L}{\pt t}dt.
\end{align*}
Definendo l'{\it hamiltoniana} come
\begin{equation}\label{H.3}
H(q,p,t)=\sum_{i=1}^n\,\dot{q}_ip_i-L(q,\dot{q},t),
\end{equation}
e differenziando il secondo membro della \eqref{H.3}, si ottiene
\begin{align*}
dH&=\sum_{i=1}^n\left(\dot{q}_idp_i+p_id\dot{q}_i\right)-dL\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\dot{q}_idp_i+p_id\dot{q}_i\right)-\sum_{i=1}^n\left(
\frac{\pt L}{\pt q_i}dq_i+p_id\dot{q}_i\right)
-\frac{\pt L}{\pt t}dt\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\dot{q}_idp_i-\tcm{\frac{\pt L}{\pt q_i}}dq_i
\right)-\frac{\pt L}{\pt t}dt\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\dot{q}_idp_i-\tcm{\dot{p}_i}dq_i\right)
-\frac{\pt L}{\pt t}dt.
\end{align*}
D'altra parte, il differenziale dell'hamiltoniana \`e dato da:
$$dH=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt H}{\pt q_i}dq_i+\frac{\pt H}
{\pt p_i}dp_i\right)+\frac{\pt H}{\pt t}dt.$$
Di conseguenza, otteniamo le $2n+1$ equazioni
\begin{subequations}\label{H.4}
\begin{alignat}{3}
\dot{q}_i&=\frac{\pt H}{\pt p_i},&\qquad&i=1,\ldots,n,\label{H.4a}\\
-\dot{p}_i&=\frac{\pt H}{\pt q_i},&\qquad&i=1,\ldots,n,\label{H.4b}\\
-\frac{\pt L}{\pt t}&=\frac{\pt H}{\pt t}.\label{H.4c}
\end{alignat}
\end{subequations}
Le equazioni \eqref{H.4a} e \eqref{H.4b} sono note come le {\it equazioni di
Hamilton}. Esse costituiscono un sistema di $2n$ equazioni del moto del primo
ordine e sostituiscono le $n$ equazioni del secondo ordine di Lagrange.

Nello studio di un problema concreto la costruzione dell'hamiltoniana deve
comunque passare attraverso la formulazione lagrangiana. Il procedimento formale
richiede una sequenza piuttosto impegnativa di passaggi:
\begin{itemize}
\item[a.] Dopo aver scelto le coordinate generalizzate $q_i$, si costruisca la
lagrangiana $L(q,\dot{q},t)=T-V$.
\item[b.] Attraverso le definizioni \eqref{H.2} si ricavano i momenti
generalizzati in funzione di $q$, $\dot{q}$ e $t$.
\item[c.] Utilizzando la \eqref{H.3} si costruisce l'hamiltoniana, che risulta
(in questo stadio) essere una funzione di $q$, $\dot{q}$, $p$ e $t$.
\item[d.] Invertendo le \eqref{H.2} si ricavano le $\dot{q}_i$ in funzione di
$(q,p,t)$.
\item[e.] Eliminando $\dot{q}$ dall'espressione per l'hamiltoniana, si arriva ad
un'hamiltoniana $H=H(q,p,t)$. Soltanto da questo punto si possono derivare le
equazioni di Hamilton.
\end{itemize}

\begin{example}[campo elettromagnetico]\label{th:H.1}
Sia
$$L=\tfrac{1}{2}m|\dot{\vec{r}}|^2-q\left(V(\vec{r})-\frac{1}{c}
\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}\right),$$
dove $m$ e $q$ sono la massa e la carica della particella, $c$ \`e la velocit\`a
della luce e $V=V(\vec{r})$ e $\vec{A}=\vec{A}(\vec{r})$ sono i potenziali
elettrici e magnetici. Le tre equazioni di Eulero-Lagrange si riducono a:
$$m\ddot{\vec{r}}=\tcc{-}q\tcc{\left(\nabla V+\frac{1}{c}\frac{\pt\vec{A}}
{\pt t}\right)}
+\frac{q}{c}\left(\dot{\vec{r}}\wedge(\tcb{\nabla\wedge\vec{A}})
\right)=q\tcc{\vec{E}}+\frac{q}{c}(\dot{\vec{r}}\wedge\tcb{\vec{B}}),$$
dove $\vec{E}$ e $\vec{B}$ sono i campi elettrici e magnetici. Le coordinate
generalizzate sono $\vec{r}=(x,y,z)$, mentre i momenti generalizzati sono:
$$p_1=\frac{\pt L}{\pt\dot{x}}=m\dot{x}+\frac{q}{c}A_1.$$
In altre parole, $\vec{p}=m\dot{\vec{r}}+\tfrac{q}{c}\vec{A}$. Quindi
l'hamiltoniana \`e data da:
$$H=\dot{\vec{r}}\cdot\vec{p}-L=\tfrac{1}{2}m|\dot{\vec{r}}|^2+qV(\vec{r})
=\frac{1}{2m}\left|\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}\right|^2+qV(\vec{r}).$$
Le sei equazioni di Hamilton si riducono a:
$$\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}=m\dot{\vec{r}},\qquad\dot{\vec{p}}=-q\nabla V.$$
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}[Toda lattice periodico]\label{th:H.2}
Consideriamo la hamiltoniana
$$H=\tfrac{1}{2}\sum_{j=1}^n\,p_j^2+V(q_2-q_1)+V(q_3-q_2)+\ldots+V(q_n-q_{n-1})
+V(q_1-q_n),$$
dove
$$V(r)=e^{-r}+r-1=\frac{1}{2}r^2+O(r^3),\qquad V^\prime(r)=1-e^{-r}=r+O(r^2),
\quad r\to0.$$
Allora le equazioni di Hamilton sono le seguenti:
\begin{align*}
\dot{q}_j=\frac{\pt H}{\pt p_j}&=p_j,\\
\dot{p}_j=-\frac{\pt H}{\pt q_j}&=V^\prime(q_{j+1}-q_j)-V^\prime(q_j-q_{j-1})\\
&=e^{-(q_j-q_{j-1})}-e^{-(q_{j+1}-q_j)},
\end{align*}
essendo $q_0=q_n$ e $q_{n+1}=q_1$. Di conseguenza, otteniamo la cosiddetta
equazione non lineare della Toda lattice
$$\ddot{q}_j=\begin{cases}
e^{-(q_1-q_n)}-e^{-(q_2-q_1)},&j=1,\\
e^{-(q_j-q_{j-1})}-e^{-(q_{j+1}-q_j)},&j=2,\ldots,n-1,\\
e^{-(q_n-q_{n-1})}-e^{-(q_1-q_n)},&j=n.\end{cases}$$
Quest'equazione coincide con l'equazione di Eulero-Lagrange. Si vede subito che
$H$ e $p_1+\ldots+p_n$ sono costanti del moto. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

Una coordinata si dice {\it ciclica} se non compare esplicitamente nella
lagrangiana. In virt\`u delle equazioni di Eulero-Lagrange, se $q_j$ \`e una
coordinata ciclica, allora il momento generalizzato $p_j$ \`e una costante del
moto, poich\`e
$$\dot{p}_j=\frac{\pt L}{\pt q_j}=-\frac{\pt H}{\pt q_j}=0.$$
Inoltre, se $q_j$ \`e ciclica, allora non compare esplicitamente nemmeno
nell'hamiltoniana, infatti, sfruttando le equazioni di Eulero-Lagrange, si ha
$$0=\frac{\pt L}{\pt q_j}=-\frac{\pt H}{\pt q_j}.$$

Un'altra legge di conservazione segue dalla \eqref{H.4c}. Infatti
\begin{align*}
\frac{dH}{dt}&=\sum_{i=1}^n\left(\tcm{\frac{\pt H}{\pt q_i}}\dot{q}_i
+\tcc{\frac{\pt H}{\pt p_i}}\dot{p}_i\right)
+\frac{\pt H}{\pt t}\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\tcm{-\dot{p}_i}\dot{q}_i+\tcc{\dot{q}_i}\dot{p}_i\right)
+\frac{\pt H}{\pt t}\\
&=\frac{\pt H}{\pt t}=-\frac{\pt L}{\pt t},
\end{align*}
e, se il tempo $t$ non compare esplicitamente in $H$ (o in $L$), allora
l'hamiltoniana $H$ \`e una costante del moto.

Infine supponiamo che le coordinate generalizzate $q_1,\ldots,q_n$ e i momenti
generalizzati $p_1,\ldots,p_n$ non siano indipendenti ma invece siano sottoposti
ad $m$ (con $m<n$) vincoli
$$\psi_k(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t)=0,\qquad k=1,\ldots,m.$$
Introducendo i moltiplicatori di Lagrange $\zl_1,\ldots,\zl_m$ e l'hamiltoniana
estesa
\begin{align*}
H_e(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,\zl_1,\ldots,\zl_m,t)
&=H(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t)\\
&+\sum_{k=1}^m\,\zl_k\psi_k(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t),
\end{align*}
otteniamo le seguenti equazioni di Hamilton:
\begin{subequations}\label{H.5}
\begin{alignat}{3}
\dot{q}_i&=\frac{\pt H_e}{\pt p_i}=\frac{\pt H}{\pt p_i}
+\sum_{k=1}^m\,\zl_k\frac{\pt\psi_k}{\pt p_i},&\quad&i=1,\ldots,n,
\label{H.5a}\\
-\dot{p}_i&=\frac{\pt H_e}{\pt q_i}=\frac{\pt H}{\pt q_i}
+\sum_{k=1}^m\,\zl_k\frac{\pt\psi_k}{\pt q_i},&\quad&i=1,\ldots,n,
\label{H.5b}\\
0&=\frac{\pt H_e}{\pt\zl_j}=\psi_j,&\quad&j=1,\ldots,m.\label{H.5c}
\end{alignat}
\end{subequations}

Introduciamo ora la formulazione simplettica delle equazioni di Hamilton.
Consideriamo le nuove variabili $\bet=(\eta_1,\ldots,\eta_{2n})$ nel seguente
modo:
$$\eta_i=\begin{cases}q_i,&i=1,\ldots,n,\\ p_{i-n},&i=n+1,\ldots,2n.
\end{cases}$$
Allora
$$\left(\frac{\pt H}{\pt\bet}\right)_i=\begin{cases}
\dfrac{\pt H}{\pt q_i}=-\dot{p}_i,&i=1,\ldots,n,\\
\dfrac{\pt H}{\pt p_{i-n}}=\dot{q}_{i-n},&i=n+1,\ldots,2n.
\end{cases}$$
Di conseguenza, le equazioni di Hamilton si possono scrivere nel seguente modo:
\begin{equation}\label{H.6}
\dot{\bet}=\bJ\frac{\pt H}{\pt\bet},
\end{equation}
dove
$$\bJ=\begin{pmatrix}0_{n\times n}&I_n\\ -I_n&0_{n\times n}\end{pmatrix}.$$
La matrice $\bJ$ si dice {\it simplettica} nel senso che
$$\bJ^T=-\bJ,\qquad\bJ^2=-I_{2n}.$$
Inoltre, $\det\bJ=1$.

\section{Trasformazioni canoniche}\label{sec:H.2}

Eseguiamo una trasformazione simultanea delle coordinate e dei momenti
indipendenti $q_i$ e $p_i$ in un nuovo sistema $P_i$ e $Q_i$ mediante un sistema
di equazioni invertibili
\begin{equation}\label{H.7}
\begin{cases}Q_i=Q_i(q,p,t),\\ P_i=P_i(q,p,t),\end{cases}
\end{equation}
che costituisce una trasformazione puntuale dello spazio delle fasi. Passando
da coordinate canoniche $q$ e $p$ a coordinate canoniche $Q$ e $P$, la
trasformazione si dice {\it canonica} se esiste una funzione $K(Q,P,t)$ tale che
\begin{equation}\label{H.8}
\dot{Q}_i=\frac{\pt K}{\pt P_i},\qquad\dot{P}_i=-\frac{\pt K}
{\pt Q_i}.
\end{equation}
La funzione $K$ gioca il ruolo dell'hamiltoniana nel nuovo sistema di
coordinate. Si pu\`o dimostrare l'esistenza di una funzione generatrice
$F=F_1(q,Q,t)$ tale che
$$K=H+\frac{\pt F_1}{\pt t}.$$
Una trasformazione canonica del tipo \eqref{H.7} si dice {\it ristretta} se la
funzione generatrice $F=F_1(q,Q,t)$ non dipende esplicitamente da $t$. In tal
caso $K=H$ per tutte le trasformazioni canoniche ristrette.

\begin{example}[oscillatore armonico]\label{th:H.3}
Per opportune costanti $m$ (massa) e $k$ si ha
$$H=\frac{p^2}{2m}+\tfrac{1}{2}kq^2=\frac{p^2+m^2\zo^2q^2}{2m},$$
essendo $\zo=\sqrt{k/m}$. Ponendo
$$q=\sqrt{\frac{2P}{m\zo}}\,\sin(Q),\qquad p=\sqrt{2Pm\zo}\,\cos(Q),$$
risulta
$$H=\zo P,$$
per cui $Q$ \`e una variabile ciclica. Quindi $\dot{P}=0$ e
$$\dot{Q}=\frac{\pt H}{\pt P}=\zo.$$
Di conseguenza, $Q=\zo t+\za$. Infine,
$$q=\sqrt{\frac{2H}{m\zo^2}}\,\sin(\zo t+\za),\qquad
p=\sqrt{2mH}\,\cos(\zo t+\za).$$
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

Discutiamo ora le trasformazioni canoniche ristrette
\begin{equation}\label{H.9}
\begin{cases}Q_i=Q_i(q,p),\\ P_i=P_i(q,p),\end{cases}
\end{equation}
nell'ambito della formulazione simplettica. Tale trasformazione
$$(q,p)\mapsto(Q,P)$$
determina che
\begin{equation}\label{H.10}
\bet=(q,p)\mapsto\bzz=(Q,P),
\end{equation}
essendo
\begin{align*}
\eta_i&=\begin{cases}q_i,&i=1,\ldots,n,\\ p_{i-n},&i=n+1,\ldots,2n;\end{cases}\\
\zz_i&=\begin{cases}Q_i,&i=1,\ldots,n,\\ P_{i-n},&i=n+1,\ldots,2n.\end{cases}
\end{align*}
Definendo la matrice quadrata $\bM$ di ordine $2n$ come:
$$\bM=(M_{ij})_{i,j=1}^{2n},\qquad
M_{ij}=\frac{\pt\zz_i}{\pt\eta_j},$$
otteniamo
\begin{equation}\label{H.11}
\dot{\bzz}=\bM\dot{\bet}.
\end{equation}
Siccome
$$\frac{\pt H}{\pt\eta_i}=\sum_{j=1}^{2n}\,\frac{\pt H}
{\pt\zz_j}\frac{\pt\zz_j}{\pt\eta_i}=\sum_{j=1}^{2n}\,M_{ji}
\frac{\pt H}{\pt\zz_j}$$
e dunque
$$\frac{\pt H}{\pt\bet}=\bM^T\frac{\pt H}{\pt\bzz},$$
arriviamo alle nuove equazioni di Hamilton
\begin{equation}\label{H.12}
\dot{\bzz}=\bM\dot{\bet}=\bM\bJ\frac{\pt H}{\pt\bet}
=\bM\bJ\bM^T\frac{\pt H}{\pt\bzz},
\end{equation}
dove nella terza uguaglianza si \`e fatto uso della\eqref{H.6}.

Da quanto precedentemente detto per le funzioni generatrici, nel caso di
trasformazioni canoniche ristrette, la nuova hamiltoniana \`e uguale alla
vecchia espressa nelle nuove variabili:
\begin{equation}\label{H.13}
\dot{\bzz}=\bJ\frac{\pt H}{\pt\bzz}.
\end{equation}
La trasformazione $\bzz=\bzz(\bet)$ sar\`a canonica se e solo se la matrice
$\bM$ verifica la condizione
\begin{equation}\label{H.14}
\bM\bJ\bM^T=\bJ.
\end{equation}

\begin{proposition}\label{th:H.4}
L'insieme delle matrici reali $2n\times2n$
$$\text{Sp}(2n,\R)=\{\bM:\bM\bJ\bM^T=\bJ\}$$
costituisce un gruppo non abeliano. Inoltre, $\bM\in\text{Sp}(2n,\R)$ se e solo
se $\bM^T\in\text{Sp}(2n,\R)$.
\end{proposition}

Il gruppo $\text{Sp}(2n,\R)$ si chiama il {\it gruppo simplettico}. Si pu\`o
dimostrare che tutte le matrici appartenenti a $\text{Sp}(2n,\R)$ hanno
determinante uguale a $+1$.\footnote{$\text{Sp}(2n,\R)$ \`e un gruppo di Lie
connesso e non compatto. Una matrice reale $A$ di ordine $2n$ appartiene alla
sua algebra di Lie $\mathfrak{sp}(2n,\R)$ se e solo se $A^T=\bJ A\bJ$.} Il caso
$n=1$ \`e particolarmente elementare. In tal caso la matrice reale
$\left(\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\right)$ appartiene a
$\text{Sp}(2,\R)$ se e solo se
$$\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix},$$
oppure: se e solo se $ad-bc=1$. Quindi $\text{Sp}(2,\R)$ coincide con il gruppo
$SL_2(\R)$ delle matrici reali di ordine $2$ con determinante uguale a $1$.

\begin{proof}
Siano $\bM_1,\bM_2\in\text{Sp}(2n,\R)$. Allora
\begin{align*}
(\bM_1\bM_2)\bJ(\bM_1\bM_2)^T&=(\bM_1\bM_2)\bJ(\bM_2^T\bM_1^T)\\
&=\bM_1(\bM_2\bJ\bM_2^T)\bM_1^T=\bM_1\bJ\bM_1^T=\bJ,
\end{align*}
e quindi $\bM_1\bM_2\in\text{Sp}(2n,\R)$.

Sia ora $\bM\in\text{Sp}(2n,\R)$. Allora, essendo $\bJ^{-1}=-\bJ$, si ha
$$(-\bJ)\bM\bJ\bM^T=(-\bJ)\bJ=I_{2n},$$
e quindi $-\bJ\bM\bJ$ \`e l'inversa di $\bM^T$. Dunque
$$\bM^T\bJ(\bM^T)^T=\bM^T\bJ\bM=\bM^T(-\bJ\bM\bJ)(\bJ)=\bJ,$$
essendo $\bJ^2=-I_{2n}$. Di conseguenza, $\bM^T\in\text{Sp}(2n,\R)$.

Sia ora $\bM\in\text{Sp}(2n,\R)$. Allora, utilizzando che
$\bM^T\in\text{Sp}(2n,\R)$, si ha:
\begin{align*}
\bM^{-1}\bJ(\bM^{-1})^T&=\bM^{-1}\bJ(\bM^T)^{-1}\\
&=-\bM^{-1}\bJ^{-1}(\bM^T)^{-1}=-(\bM^T\bJ\bM)^{-1}=-(\bJ)^{-1}=\bJ,
\end{align*}
e quindi $\bM^{-1}\in\text{Sp}(2n,\R)$.
\end{proof}

\`E chiaro che $\det\bM=\pm1$ per ogni $\bM\in\text{Sp}(2n,\R)$. Infatti, se
$\bM\in\text{Sp}(2n,\R)$
e quindi $\bM\bJ\bM^T=\bJ$, si ha $1=\det\bJ=(\det\bM)^2\det\bJ=(\det\bM)^2$.
Di conseguenza, la misura di un elemento di volume nello spazio delle fasi \`e
invariante rispetto alle trasformazioni canoniche ristrette. Infatti, la matrice
jacobiana della trasformazione $\bet\mapsto\bzz$ \`e data da
$$\bM=(M_{ij})_{i,j=1}^{2n},\qquad M_{ij}=\frac{\pt\zz_i}{\pt\eta_j},$$
e tale matrice ha determinante uguale ad $\pm1$. Quindi {\it la misura di
qualunque regione nello spazio delle fasi \`e un invariante canonico}.

Introducendo il prodotto scalare indefinito
$$\{\bm,\bn\}=(\bJ\bm)\cdot\bn=\bn^T\bJ\bm,\qquad\{\bm,\bn\}\subset\R^{2n},$$
si vede che il gruppo $\text{Sp}(2n,\R)$ consiste nelle matrici $\bM$ che sono
$\bJ$-ortogonali. Infatti,
$$\{\bM\bm,\bM\bn\}=(\bM^T\bJ\bM\bm)\cdot\bn=(\bJ\bm)\cdot\bn=\{\bm,\bn\},
\quad\{\bm,\bn\}\subset\R^{2n}.$$

\section{Parentesi di Poisson e di Lagrange}\label{sec:H.3}

{\bf a. Parentesi di Poisson}. La {\it parentesi di Poisson} di due funzioni $u$
e $v$ delle variabili canoniche $(q,p)$ viene definita da
\begin{align}
[u,v]_{q,p}&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt u}{\pt q_i}\frac{\pt v}
{\pt p_i}-\frac{\pt u}{\pt p_i}\frac{\pt v}{\pt q_i}
\right)\nonumber\\ &=\sum_{i,j=1}^{2n}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_i}J_{ij}
\frac{\pt v}{\pt\eta_j}\nonumber\\
&=\left[\frac{\pt u}{\pt\bet}
\right]^T\bJ\frac{\pt v}{\pt\bet}=[u,v]_{\bet}.\label{H.15}
\end{align}
Poich\`e
$$\begin{cases}[q_j,q_k]_{q,p}=0=[p_j,p_k]_{q,p},\\
[q_j,p_k]_{q,p}=\zd_{jk}=-[p_j,q_k]_{q,p},\end{cases}$$
otteniamo la matrice quadrata delle parentesi di Poisson
\begin{equation}\label{H.16}
[\bet,\bet]_{\bet}=\bJ.
\end{equation}

Dimostriamo ora che ogni parentesi di Poisson \`e un invariante canonico.

\begin{proposition}\label{th:H.5}
La parentesi di Poisson di due variabili $u$ e $v$ non cambia sotto una
trasformazione canonica ristretta.
\end{proposition}

\begin{proof}
Sia $\bzz=\bzz(\bet)$ una trasformazione canonica ristretta. Allora
\begin{align*}
[u,v]_{\bet}&=\left[\frac{\pt u}{\pt\bet}\right]^T\bJ\frac{\pt v}
{\pt\bet}=\left[\bM^T\frac{\pt u}{\pt\bzz}\right]^T\bJ
\bM^T\frac{\pt v}{\pt\bzz}\\ &=\left[\frac{\pt u}{\pt\bzz}
\right]^T\bM\bJ\bM^T\frac{\pt v}{\pt\bzz}
=\left[\frac{\pt u}{\pt\bzz}
\right]^T\bJ\frac{\pt v}{\pt\bzz}=[u,v]_{\bzz},
\end{align*}
come affermato.
\end{proof}

Grazie alla Proposizione \ref{th:H.5}, si pu\`o scrivere $[u,v]$ per la
parentesi di Poisson $[u,v]_{\bet}$ senza mettere in evidenza le variabili
canoniche. Elenchiamo ora le propriet\`a algebriche della parentesi di Poisson.

\begin{theorem}\label{th:H.6}
Le parentesi di Poisson hanno le seguenti propriet\`a algebriche:
\begin{subequations}\label{H.17}
\begin{alignat}{3}
[u,u]&=0,\label{H.17a}\\
[u,v]&=-[v,u],&\hfill(\text{antisimmetria})\quad\quad\quad\label{H.17b}\\
[au+bv,w]&=a[u,w]+b[v,w],&\hfill(\text{bilinearit\`a})\quad\quad\quad
\label{H.17c}\\
[uv,w]&=[u,w]v+u[v,w],\label{H.17d}\\
[u,[v,w]]+[v,[w,u]]&+[w,[u,v]]=0,&\hfill(\text{identit\`a\ di\ Jacobi})
\quad\quad\quad\label{H.17e}
\end{alignat}
\end{subequations}
dove $a$ e $b$ sono costanti.
\end{theorem}

\begin{proof}
La \eqref{H.17b} \`e immediata dalla \eqref{H.15} e implica la \eqref{H.17a}.
Inoltre, la bilinearit\`a della parentesi di Poisson \`e immediata dalla
\eqref{H.15}. Inoltre,
\begin{align*}
[u,w]_{\bet}&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt uv}{\pt q_i}
\frac{\pt w}{\pt p_i}-\frac{\pt uv}{\pt p_i}
\frac{\pt w}{\pt q_i}\right)\\
&=\left[\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt u}{\pt q_i}
\frac{\pt w}{\pt p_i}-\frac{\pt u}{\pt p_i}
\frac{\pt w}{\pt q_i}\right)\right]v
+u\left[\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt v}{\pt q_i}
\frac{\pt w}{\pt p_i}-\frac{\pt v}{\pt p_i}
\frac{\pt w}{\pt q_i}\right)\right]\\
&=[u,w]v+u[v,w],
\end{align*}
che dimostra la \eqref{H.17d}.

La dimostrazione della identit\`a di Jacobi comporta a molti calcoli. Infatti,
\begin{align*}
[u,[v,w]]&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_i}J_{ij}\frac{\pt}{\pt\eta_j}[v,w]\\
&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_i}J_{ij}\frac{\pt}{\pt\eta_j}\left[
\sum_{k,l}\,\frac{\pt v}{\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt w}{\pt\eta_l}\right]\\
&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_i}J_{ij}
\sum_{k,l}\left[\frac{\pt^2v}{\pt\eta_j\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt w}{\pt\eta_l}
+\frac{\pt v}{\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt^2w}{\pt\eta_j\pt\eta_l}\right],\\
[v,[w,u]]&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt v}{\pt\eta_i}J_{ij}\frac{\pt}{\pt\eta_j}[w,u]\\
&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt v}{\pt\eta_i}J_{ij}\frac{\pt}{\pt\eta_j}\left[
\sum_{k,l}\,\frac{\pt w}{\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt u}{\pt\eta_l}\right]\\
&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt v}{\pt\eta_i}J_{ij}
\sum_{k,l}\left[\frac{\pt^2w}{\pt\eta_j\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt u}{\pt\eta_l}
+\frac{\pt w}{\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt^2u}{\pt\eta_j\pt\eta_l}\right],%\\
\end{align*}
\begin{align*}
[w,[u,v]]&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt w}{\pt\eta_i}J_{ij}\frac{\pt}{\pt\eta_j}[u,v]\\
&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt w}{\pt\eta_i}J_{ij}\frac{\pt}{\pt\eta_j}\left[
\sum_{k,l}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt v}{\pt\eta_l}\right]\\
&=\sum_{i,j}\,\frac{\pt w}{\pt\eta_i}J_{ij}
\sum_{k,l}\left[\frac{\pt^2u}{\pt\eta_j\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt v}{\pt\eta_l}
+\frac{\pt u}{\pt\eta_k}J_{kl}\frac{\pt^2v}{\pt\eta_j\pt\eta_l}\right].
\end{align*}
Raccogliendo i termini con le derivate parziali seconde di $w$, otteniamo
$$\sum_{i,j}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_i}J_{ij}\sum_{k,l}\frac{\pt v}{\pt\eta_k}
J_{kl}\frac{\pt^2w}{\pt\eta_j\eta_l}+\sum_{i,j}\,\frac{\pt v}{\pt\eta_i}J_{ij}
\sum_{k,l}\,\frac{\pt^2w}{\pt\eta_j\eta_k}J_{kl}\frac{\pt u}{\pt\eta_l}.$$
Cambiando i pedici $(i,j,k,l)\mapsto(k,l,j,i)$ nel secondo termine, otteniamo
$$\sum_{i,j,k,l}\,\frac{\pt u}{\pt\eta_i}\frac{\pt v}{\pt\eta_k}[J_{ij}+J_{ji}]
J_{kl}\frac{\pt^2w}{\pt\eta_j\pt\eta_l}.$$
Poich\`e $J_{ij}+J_{ji}=0$, risulta infine la \eqref{H.17e}.
\end{proof}

{\bf b. Parentesi di Lagrange}. La {\it parentesi di Lagrange} di due variabili
$u$ e $v$ rispetto alle variabili $\bet=(q,p)$ \`e definita da:
\begin{equation}\label{H.18}
\{u,v\}_{\bet}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt q_i}{\pt u}\frac{\pt p_i}{\pt v}
-\frac{\pt p_i}{\pt u}\frac{\pt q_i}{\pt v}\right)
=\left[\frac{\pt\bet}{\pt u}\right]^T\bJ\frac{\pt\bet}{\pt v}.
\end{equation}
In tal caso
\begin{align*}
\{u,v\}_{\bzz}&=\left[\frac{\pt\bzz}{\pt u}\right]^T\bJ\frac{\pt\bzz}{\pt v}
=\left[\bM\frac{\pt\bet}{\pt u}\right]^T\bJ\bM\frac{\pt\bet}{\pt v}\\
&=\left[\frac{\pt\bet}{\pt u}\right]^T\bM^T\bJ\bM\frac{\pt\bet}{\pt v}
=\left[\frac{\pt\bet}{\pt u}\right]^T\bJ\frac{\pt\bet}{\pt v}=\{u,v\}_{\bet}.
\end{align*}
Quindi la parentesi di Lagrange di due variabili $u$ e $v$ non cambia sotto una
trasformazione canonica ristretta.

Utilizzando la definizione \eqref{H.18}, risultano le seguenti identit\`a:
$$\{q_i,q_j\}_{q,p}=\{p_i,p_j\}_{q,p}=0,\qquad\{q_i,p_j\}_{q,p}=\zd_{i,j}.$$
Quindi
\begin{equation}\label{H.19}
\{\bet,\bet\}\stackrel{\text{\tiny def}}{=}\begin{pmatrix}
\{q_i,q_j\}_{i,j=1}^n&\{q_i,p_j\}_{i,j=1}^n\\
\{p_i,q_j\}_{i,j=1}^n&\{p_i,p_j\}_{i,j=1}^n\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0_{n\times n}&I_n\\ -I_n&0_{n\times n}\end{pmatrix}=\bJ.
\end{equation}
Dalle equazioni \eqref{H.16} e \eqref{H.19} e dall'invarianza delle due
parentesi rispetto alle trasformazioni canoniche ristrette otteniamo
\begin{equation}\label{H.20}
\{\bet,\bet\}[\bet,\bet]=\bJ\bJ=-I_{2n}.
\end{equation}

{\bf c. Quantit\`a conservate}. Sia $u=u(q,p,t)$ una qualsiasi quantit\`a.
Allora
\begin{align*}
\frac{du}{dt}&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt u}{\pt q_i}\dot{q}_i
+\frac{\pt u}{\pt p_i}\dot{p}_i\right)+\frac{\pt u}{\pt t}\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\pt u}{\pt q_i}\frac{\pt H}{\pt p_i}
-\frac{\pt u}{\pt p_i}\frac{\pt H}{\pt q_i}\right)+\frac{\pt u}{\pt t}\\
&=[u,H]+\frac{\pt u}{\pt t}.
\end{align*}
In notazioni simplettiche si ha:
\begin{equation}\label{H.21}
\frac{du}{dt}=\left[\frac{\pt u}{\pt\bet}\right]^T\dot{\bet}+\frac{\pt u}{\pt t}
=\left[\frac{\pt u}{\pt\bet}\right]^T\bJ\frac{\pt H}{\pt\bet}
+\frac{\pt u}{\pt t}.
\end{equation}
Quindi {\it una quantit\`a $u$ che non dipende esplicitamente dal tempo \`e
una costante del moto se e solo se $[u,H]=0$.}  In particolare, l'hamiltoniana
$H$ \`e una costante del moto se essa non dipende esplicitamente dal tempo.

\begin{proposition}\label{th:H.7}
Siano $u$ e $v$ quantit\`a che non dipendono esplicitamente dal tempo. Allora la
loro parentesi di Poisson \`e una costante del moto se lo sono $u$ e $v$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Applicando l'identit\`a di Jacobi \eqref{H.17e}, risulta:
$$[[u,v],H]=-[H,[u,v]]=[v,[H,u]]+[u,[v,H]]=-[v,\tcb{[u,H]}]+[u,\tcb{[v,H]}]=0,$$
essendo $\tcb{[u,H]}=0=\tcb{[v,H]}$.
\end{proof}

\section{Lagrangiana per i Sistemi Continui}\label{sec:H.4}

Lasciamoci guidare dal seguente

\begin{example}\label{th:H.8}
Consideriamo un sistema composto da una catena biinfinita di oscillatori
(ciascuno di massa $m$) che si possono muovere solo lungo l'asse della catena.
Indicando lo spostamento della $i$-esima particella dalla sua posizione di
equilibrio con $q_i$, l'energia cinetica e quella potenziale sono date da:
$$T=\frac{1}{2}\sum_{i=-\infty}^\infty\,m\dot{q}_i^2,\qquad
V=\frac{k}{2}\sum_{i=-\infty}^\infty\,(q_{i+1}-q_i)^2,$$
essendo $k$ una costante positiva. In tal caso la lagrangiana
\begin{align}
L&=T-V=\frac{1}{2}\sum_{i=-\infty}^\infty\left[m\dot{q}_i^2
-k(q_{i+1}-q_i)^2\right]\nonumber\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=-\infty}^\infty\,
a\left[\frac{m}{a}\dot{q}_i^2-ka\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)^2
\right]=\sum_{i=-\infty}^\infty\,aL_i,\label{H.22}
\end{align}
dove $a$ \`e la distanza di equilibrio tra i singoli oscillatori. Le infinite
equazioni di Eulero-Lagrange sono:
$$\frac{m}{a}\ddot{q}_i-ka\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a^2}\right)
+ka\left(\frac{q_i-q_{i-1}}{a^2}\right)=0.$$
In altre parole,
\begin{equation}\label{H.23}
\frac{m}{a}\ddot{q}_i
-ka\left(\frac{q_{i+1}-2q_i+q_{i-1}}{a^2}\right)=0.
\end{equation}

 Facendo tendere $a\to0^+$ per ottenere un continuo di oscillatori, $m/a$ si
riduce alla massa lineare del sistema continuo. D'altra parte,
$$\frac{q_{i+1}-2q_i+q_{i-1}}{a^2}\to\lim_{a\to0^+}\,
\frac{q(x+a)-2q(x)+q(x-a)}{a^2}=\frac{\pt^2q}{\pt x^2},$$
dove $x$ \`e la coordinata spaziale. Infine la legge di Hooke specifica che
l'allungamento per unit\`a di lunghezza $\xi$ \`e proporzionale alla forza $F$
che si esercita sull'asta:
$$F=K\xi,$$
dove $K$ \`e il cosiddetto modulo di Young. Si ha:
$$F=k(q_{i+1}-q_i)=ka\left(\frac{q_{i+1}-q_i}{a}\right)\to
Kq_x,$$
dove $ka\to K$ se $a\to0^+$. Di conseguenza, per $a\to0^+$ la \eqref{H.23} tende
all'equazione differenziale parziale
\begin{equation}\label{H.24}
\mu\ddot{q}-Kq_{xx}=0.
\end{equation}
Per $a\to0^+$, l'espressione \eqref{H.22} per la lagrangiana tende a
$$L=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\left[\mu\dot{q}^2
-K\left(\frac{\pt q}{\pt x}\right)^2\right]dx=\int_{-\infty}^\infty\,
\CL(q,q_x,\dot{q},x,t),$$
essendo $\CL$ la densit\`a lagrangiana. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

In generale, il {\it principio di Hamilton} per i sistemi continui consiste nel
determinare i punti stazionari dell'integrale di azione
$$I=\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\,dx\,dt\,\CL,$$
dove
$$\CL=\CL(q,q_x,\dot{q},x,t).$$
La variazione dell'integrale di azione $I$ si applica solo a $q$ e alle sue
derivate, lasciando invariati il punto iniziale $(x_1,t_1)$ e quello finale
$(x_2,t_2)$. Ponendo
$$q(x,t;\za)=q(x,t;0)+\za\zz(x,t),$$
dove $\zz(x,t)$ \`e qualunque funzione regolare che si annulla negli estremi
$(x_1,t_1)$ e $(x_2,t_2)$, otteniamo mediante due integrazioni per parti
\begin{align*}
\frac{dI}{d\za}&=\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\,dx\,dt\left[
\frac{\pt\CL}{\pt q}\frac{\pt q}{\pt\za}+\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
\frac{\pt\dot{q}}{\pt\za}+\frac{\pt\CL}{\pt q_x}\frac{\pt q_x}{\pt\za}
\right]\\
&=\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\,dx\,dt\,\frac{\pt q}{\pt\za}\left[
\frac{\pt\CL}{\pt q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
-\frac{\pt}{\pt x}\frac{\pt\CL}{\pt q_x}\right],
\end{align*}
essendo uguale a zero la variazione di $q$ negli estremi. Di conseguenza,
arriviamo all'{\it equazione di Eulero-Lagrange}
\begin{equation}\label{H.25}
\frac{\pt\CL}{\pt q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
-\frac{\pt}{\pt x}\frac{\pt\CL}{\pt q_x}=0.
\end{equation}
Nella \eqref{H.25} il posto degli $n$ gradi di libert\`a \`e stato preso dal
termine contenente la derivata rispetto a $x$. Ci sono infiniti gradi di
libert\`a.

Se invece
$$\CL=\CL(q,q_x,q_{xx},\dot{q},x,t),$$
il calcolo della variazione dell'integrale di azione diventa
\begin{align*}
\frac{dI}{d\za}&=\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\,dx\,dt\left[
\frac{\pt\CL}{\pt q}\frac{\pt q}{\pt\za}+\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
\frac{\pt\dot{q}}{\pt\za}+\frac{\pt\CL}{\pt q_x}\frac{\pt q_x}{\pt\za}
+\frac{\pt\CL}{\pt q_{xx}}\frac{\pt q_{xx}}{\pt\za}\right]\\
&=\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\,dx\,dt\,\frac{\pt q}{\pt\za}\left[
\frac{\pt\CL}{\pt q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
-\frac{\pt}{\pt x}\frac{\pt\CL}{\pt q_x}
+\frac{\pt^2}{\pt x^2}\frac{\pt\CL}{\pt q_{xx}}\right].
\end{align*}
Di conseguenza, l'equazione di Eulero-Lagrange \`e data da:
\begin{equation}\label{H.26}
\frac{\pt\CL}{\pt q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
-\frac{\pt}{\pt x}\frac{\pt\CL}{\pt q_x}
+\frac{\pt^2}{\pt x^2}\frac{\pt\CL}{\pt q_{xx}}=0.
\end{equation}
Infine, se la densit\`a lagrangiana
$$\CL=\CL(q,q_x,q_{xx},q_{x\ldots x},\dot{q},x,t),$$
con la derivata rispetto a $x$ fino all'ordine $m$, allora l'equazione di
Eulero-Lagrange ha la forma
\begin{equation}\label{H.27}
\frac{\zd\CL}{\zd q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
=\sum_{j=0}^m\,(-1)^j\frac{\pt^j}{\pt x^j}\frac{\pt\CL}
{\pt\tfrac{\pt^jq}{\pt x^j}}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}=0,
\end{equation}
essendo
$$\frac{\zd\CL}{\zd q}=\sum_{j=0}^m\,(-1)^j\frac{\pt^j}{\pt x^j}\frac{\pt\CL}
{\pt\tfrac{\pt^jq}{\pt x^j}}$$
la cosiddetta {\it derivata funzionale} di $\CL$ rispetto a $q$.

Se ci sono $n$ variabili spaziali $x_1,\ldots,x_n$ e la lagrangiana
$$\CL=\CL(q,q_{x_1},\ldots,q_{x_n},\dot{q},x_1,\ldots,x_n,t),$$
con le derivate parziali fino al primo ordine, l'equazione di Eulero-Lagrange
\`e data da:
\begin{equation}\label{H.28}
\frac{\zd\CL}{\zd q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
=\frac{\pt\CL}{\pt q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}}
-\sum_{i=1}^n\,\frac{\pt}{\pt x_i}\frac{\pt\CL}{\pt q_{x_i}}=0,
\end{equation}
essendo
$$\frac{\zd\CL}{\zd q}=\frac{\pt\CL}{\pt q}
-\sum_{i=1}^n\,\frac{\pt}{\pt x_i}\frac{\pt\CL}{\pt q_{x_i}}$$
la derivata funzionale di $\CL$ rispetto a $q$. La \eqref{H.28} \`e
facilmente generalizzabile al caso in cui la lagrangiana dipende dalle derivate
parziali rispetto ad $x_1,\ldots,x_n$ fino all'ordine $m$, ma la corrispondente
equazione di Eulero-Lagrange conterr\`a le derivate miste.

Se la lagrangiana $\CL$ dipende da $r$ coordinate generalizzate
{\bf indipendenti} $q_1,\ldots,q_r$ e le sue derivate parziali prime,
risultano le $r$ equazioni di Eulero-Lagrange
\begin{equation}\label{H.29}
\frac{\zd\CL_{\tcr{j}}}{\zd q}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q_j}}
=\frac{\pt\CL}{\pt q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q_j}}
-\frac{\pt}{\pt x}\frac{\pt\CL}{\pt[q_j]_x}=0,\qquad j=1,\ldots,r.
\end{equation}
Tali equazioni sono facilmente generalizzabili al caso in cui la lagrangiana
dipende da $r$ coordinate generalizzate indipendenti e loro derivate parziali
fino all'ordine $m$.

\section{Hamiltoniana per i Sistemi Continui}\label{sec:H.5}

Supponiamo di avere un sistema continuo descritto dalla densit\`a lagrangiana
$$\CL=\CL(q,[q_1]_{x_1},\ldots,[q_1]_{x_r},\ldots,[q_n]_{x_1},\ldots,
[q_n]_{x_r},\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n,x_1,\ldots,x_r,t),$$
dove ci sono $n$ coordinate generalizzate $q_1,\ldots,q_n$ e $r$ variabili
spaziali $x_1,\ldots,x_r$. Introduciamo le {\it densit\`a di momento} $p_i$
($i=1,\ldots,n$) e la {\it densit\`a hamiltoniana} $\CH$ da:
\begin{subequations}\label{H.30}
\begin{align}
p_i&=\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}_i},\qquad i=1,\ldots,n,\label{H.30a}\\
\CH&=\sum_{i=1}^n\,p_i\dot{q}_i-\CL.\label{H.30b}
\end{align}
\end{subequations}
Utilizzando le $n$ equazioni \eqref{H.30a} per esprimere
$\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n$ in $p_1,\ldots,p_n$, si ottiene la prima
equazione di Hamilton
\begin{equation}\label{H.31}
\tcb{\frac{\pt\CH}{\pt p_i}}=\dot{q}_i+\sum_{j=1}^n\left(p_j
\frac{\pt\dot{q}_j}{\pt p_i}-\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}_j}\frac{\pt\dot{q}_j}
{\pt p_i}\right)\tcb{=\dot{q}_i},
\end{equation}
dove $i=1,\ldots,n$. D'altra parte,
\begin{align*}
\frac{\pt\CH}{\pt q_i}&=\sum_{j=1}^n\left(p_j\frac{\pt\dot{q}_j}{\pt q_i}
-\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}_j}\frac{\pt\dot{q}_j}{\pt q_i}\right)
-\frac{\pt\CL}{\pt q_i}\\ &=-\frac{\pt\CL}{\pt q_i}
=-\frac{d}{dt}\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}_i}-\sum_{s=1}^r\,\frac{\pt}{\pt x_s}
\frac{\pt\CL}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}},
\end{align*}
dove abbiamo applicato la\eqref{H.29} per $r$ variabili spaziali. Utilizzando
la \eqref{H.30a} e l'identit\`a
$$\frac{\pt\CH}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}}=\sum_{j=1}^m\left(p_j
\frac{\pt\dot{q}_j}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}}-\frac{\pt\CL}{\pt\dot{q}_j}
\frac{\pt\dot{q}_j}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}}\right)
-\frac{\pt\CL}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}}
=-\frac{\pt\CL}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}},$$
otteniamo
\begin{align*}
\frac{\pt\CH}{\pt q_i}=-\dot{p}_i+\sum_{s=1}^r\,\frac{\pt}{\pt x_s}
\frac{\pt\CH}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}},
\end{align*}
Quindi abbiamo dimostrato la seconda equazione di Hamilton
\begin{equation}\label{H.32}
\tcb{\frac{\zd\CH}{\zd q_i}}
=\frac{\pt\CH}{\pt q_i}-\sum_{s=1}^r\,\frac{\pt}{\pt x_s}\frac{\pt\CH}
{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}}\tcb{=-\dot{p}_i},\qquad i=1,\ldots,n,
\end{equation}
essendo
$$\frac{\zd\CH}{\zd q_i}=\frac{\pt\CH}{\pt q_i}
-\sum_{s=1}^r\,\frac{\pt}{\pt x_s}\frac{\pt\CH}{\pt\tfrac{\pt q_i}{\pt x_s}}$$
la derivata funzionale di $\CH$ rispetto a $q$.

\section{Esempi}\label{sec:H.6}

Discutiamo alcuni esempi significativi.

\begin{example}[NLS]\label{th:H.9}
Consideriamo la densit\`a Hamiltoniana
$$\CH=-i[q_xr_x+(qr)^2],$$
dove $x\in\R$ e $(q,r)$ sono le coordinate Hamiltoniane. Dalla \eqref{H.32}
seguono le seguenti equazioni di Hamilton:
\begin{align*}
\dot{q}&=\frac{\pt\CH}{\pt r}-\frac{d}{dx}\frac{\pt\CH}{\pt r_x}
=-2iq^2r+iq_{xx},\\
-\dot{r}&=\frac{\pt\CH}{\pt q}-\frac{d}{dx}\frac{\pt\CH}{\pt q_x}
=-2iqr^2+ir_{xx}.
\end{align*}
Le due equazioni hanno la forma
\begin{subequations}\label{H.33}
\begin{align}
iq_t+q_{xx}-2q^2r&=0,\label{H.33a}\\ -ir_t+r_{xx}-2qr^2&=0,\label{H.33b}
\end{align}
\end{subequations}
le cosiddette {\it equazioni nonlineari di Schr\"odinger} ({\bf NLS}). Nel
cosiddetto caso defocusing si ha $r=q^*$, quindi
$$iq_t+q_{xx}-2|q|^2q=0.$$
Nel caso focusing si ha $r=-q^*$, quindi
$$iq_t+q_{xx}+2|q|^2q=0.$$
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}[KdV]\label{th:H.10}
Consideriamo ora la densit\`a lagrangiana
$$\CL=-\tfrac{1}{2}q_xq_t+(q_x)^3+\tfrac{1}{2}(q_{xx})^2.$$
Dalla \eqref{H.26} segue
$$\tfrac{1}{2}(q_x)_t+\tfrac{1}{2}(q_t)_x-3(q_x^2)_x+(q_{xx})_{xx}=0.$$
Ponendo $u=q_x$, si ha l'{\it equazione di Korteweg-de Vries} ({\bf KdV}):
\begin{equation}\label{H.34}
u_t-6uu_x+u_{xxx}=0.
\end{equation}
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}[mKdV]\label{th:H.11}
Consideriamo ora la densit\`a lagrangiana
$$\CL=-\tfrac{1}{2}q_xq_t-\tfrac{1}{2}(q_x)^4+\tfrac{1}{2}(q_{xx})^2.$$
Dalla \eqref{H.26} segue
$$\tfrac{1}{2}(q_x)_t+\tfrac{1}{2}(q_t)_x+2(q_x^3)_x+(q_{xx})_{xx}=0.$$
Ponendo $u=q_x$ si ha l'{\it equazione di Korteweg-de Vries modificata}
({\bf mKdV}):
\begin{equation}\label{H.35}
u_t+6u^2u_x+u_{xxx}=0.
\end{equation}
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}
