
\chapter{Esempi ed esercizi}

In questa appendice si discutono alcuni esempi illustrativi difficili da
inserire nei capitoli precedenti. Inoltre \`e stato incluso un elenco di esempi.

\section{Esempi}

\begin{example}
Consideriamo
$$\dot{x}(t)=a-x^2.$$
In tal caso
$$x(t)=\begin{cases}
\sqrt{a}\,\dfrac{x(0)[1+e^{-2t\sqrt{a}}]+\sqrt{a}\,[1-e^{-2t\sqrt{a}}]}{x(0)
[1-e^{-2t\sqrt{a}}]+\sqrt{a}\,[1+e^{-2t\sqrt{a}}]},&a>0,\\
\dfrac{x(0)}{1+tx(0)},&a=0,\\ \sqrt{-a}\,
\dfrac{x(0)-\sqrt{-a}\tan[t\sqrt{-a}]}{\sqrt{-a}+x(0)\tan[t\sqrt{-a}]},&a<0.
\end{cases}$$

Per $a<0$ la soluzione $x(t)$ esiste soltanto in un intervallo temporale di
lunghezza $<(\pi/|a|)$, poich\`e
$$\int_{-\infty}^\infty\dfrac{dx}{x^2+a^2}=\dfrac{\pi}{|a|};$$
quindi per $a<0$ non ci sono punti di equilibrio e non si possono prendere in
considerazione le orbite per $t\to+\infty$. 

Per $a=0$ c`e un singolo punto di equilibrio asintoticamente stabile $x=0$.
Per $a>0$ ci sono i due punti di equilibrio $\pm\sqrt{a}$, dove \`e
asintoticamente stabile $x=\sqrt{a}$ e instabile $x=-\sqrt{a}$.
\hfill $\tcm{\Box}$
\begin{figure}[ht]\label{fig:C.1}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{esempioC1}\qquad
\includegraphics{esempioC2}}
\caption{Diagrammi di biforcazione per $\dot{x}(t)=a-x^2$ e per
$\dot{x}(t)=ax=bx^3$ con $b>0$. Le curve solide indicano i punti di equilibrio
asintoticamente stabili, mentre le curve tratteggiate indicano quelli
instabili.}
\end{figure}
\end{example}

\begin{example}
Consideriamo
$$\dot{x}(t)=ax-bx^3,$$
dove $a\in\R$ e $b>0$. In tal caso
$$x(t)=\begin{cases}
\dfrac{x(0)\sqrt{a}}{\sqrt{a\,e^{-2at}+bx(0)^2[1-e^{-2at}]}},&a>0,\\
\dfrac{x(0)}{\sqrt{1+2bx(0)^2t}},&a=0,\\
\dfrac{x(0)\sqrt{-a}\,e^{at}}{\sqrt{-a+bx(0)^2[1-e^{2at}]}},&a<0.\end{cases}$$
Quindi $x(t)\to\text{sgn}[x(0)]\sqrt{a/b}$ se $a>0$, e $x(t)\to 0$ se $a\le 0$.
Per $a\le 0$ c'\`e il singolo punto di equilibrio $x=0$ asintoticamente stabile,
mentre per $a>0$ sono asintoticamente stabili i punti di equilibrio
$\pm\sqrt{a/b}$ e \`e instabile l'origine. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}
Consideriamo le equazioni del moto del pendolo con attrito
$$\ddot{\theta}=-k\,\sin(\theta)-h\,\dot{\theta},$$
dove $k=-(g/\ell)$ e $h$ sono costanti positive. Il corrispondente sistema
dinamico ha la forma
$$\begin{cases}\dot{\theta}_1=\theta_2,\\
\dot{\theta}_2=-k\,\sin(\theta_1)-h\,\theta_2.\end{cases}$$
I punti di equilibrio sono $(m\pi,0)$, dove $m\in\Z$. Intorno al punto di
equilibrio $(0,0)$ abbiamo il seguente sistema linearizzato:
$$\begin{pmatrix}\dot{\theta}_1\\ \dot{\theta}_2\end{pmatrix}
=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\ -k&-h\end{pmatrix}}_{=A}
\begin{pmatrix}\theta_1\\ \theta_2\end{pmatrix}.$$
Siccome $\tr(A)=-h<0$ e $\det(A)=k>0$, gli autovalori di $A$ hanno una parte 
reale negativa (infatti, essi sono complessi coniugati se $h^2<4$, coincidono
con $-\tfrac{1}{2}h$ se $h^2=4k$ e sono ambedue negativi e diversi se $h^2>4k$).
Quindi il sistema linearizzato \`e asintoticamente stabile. Quindi lo \`e
anche il sistema non lineare originale. Infine, siccome la divergenza del
vettore $(\theta_2,-k\,\sin(\theta_1)-h\,\theta_2)$ \`e strettamente negativa
(di valore costante $-h$), non ci sono soluzioni periodiche [secondo il criterio
di Bendixson]. \hfill $\tcm{\Box}$
\begin{figure}[ht]\label{fig:C.2}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{pendoloconattrito}}
\caption{Orbite per il pendolo con attrito \cite{ps,bps}, dove $0<h<2\sqrt{k}$.}
\end{figure}
\end{example}

\section{Esercizi}

\noindent{\bf SISTEMI DINAMICI A TEMPO CONTINUO}:
\begin{itemize}
\item[1.] Risolvere le seguenti equazioni differenziali utilizzando il valor
iniziale da costante di integrazione. Inoltre, determinare i punti di equilibrio
e discuterne la natura.
\begin{itemize}
\item[a.] $\dot{y}=e^y-1$.
\item[b.] $\dot{y}=1-e^y$.
\item[c.] $\dot{y}=y^2(y-2)$.
\item[d.] Al variare di $m\in\R$: $\dot{y}=y^3-2y^2+my$.
\item[e.] $\dot{y}=-\sin(y)$.
\item[f.] $\dot{y}=-\tan(y)$.
\end{itemize}
\item[2.] Determinare la natura del punto di equilibrio $(0,0)$ per i seguenti
sistemi dinamici:
\begin{itemize}
\item[a.] $\dot{x}=2x+3y$, $\dot{y}=-x-y$.
\item[b.] $\dot{x}=4x-3y$, $\dot{y}=-8x-y$.
\item[c.] $\dot{x}=-3x+4y$, $\dot{y}=-2x+3y$.
\item[d.] $\dot{x}=-3x+y$, $\dot{y}=-x-y$.
\item[e.] $\dot{x}=3x+y$, $\dot{y}=x+3y$.
\item[f.] $\dot{x}=-2x+3y$, $\dot{y}=3x-2y$.
\item[g.] $\dot{x}=y$, $\dot{y}=-x+2y$.
\item[h.] $\dot{x}=x-y$, $\dot{y}=x+y$.
\end{itemize}
\item[3.] Determinare la natura del punto di equilibrio $(0,0)$ per le seguenti
equazioni differenziali:
\begin{itemize}
\item[a.] $\ddot{x}+2\dot{x}-3x=0$.
\item[b.] $\ddot{x}-6\dot{x}+13x=0$.
\item[c.] $\ddot{x}+6\dot{x}+9x=0$.
\item[d.] $\ddot{x}+16x=0$.
\item[e.] $\ddot{x}-16\dot{x}=0$.
\item[f.] $\ddot{x}-12\dot{x}+45x=0$.
\item[g.] $\ddot{x}+12\dot{x}+36x=0$.
\end{itemize}
\item[4.] Dimostrare che la funzione
$$E(x,y)=x^2+xy+y^2$$
\`e una costante del moto per il sistema dinamico
$$\dot{x}=-x-2y,\qquad \dot{y}=2x+y.$$
\item[5.] Per una matrice reale $A$ di ordine $n$ si consideri il sistema
dinamico
$$\dot{\vec{x}}=A\vec{x}.$$
Sia $E$ una matrice reale e simmetrica di ordine $n$, cio\`e $E^T=E$. Mostrare
che
$$e(\vec{x})=\vec{x}^TE\vec{x}$$
\`e una costante del moto del sistema dinamico $\dot{\vec{x}}=A\vec{x}$ se e
solo se
$$EA+A^TE=0_{n\times n}.$$
\item[6.] Classificare i punti di equilibrio e, col metodo di linearizzazione,
determinarne la natura per il seguente sistema dinamico:
\begin{itemize}
\item[a.] $\dot{x}=x^2+y$, $\dot{y}=x-y^2$.
\item[b.] $\dot{x}=x+y^2-2$, $\dot{y}=x+y$.
\item[c.] $\dot{x}=-x+x^2y$, $\dot{y}=2-2y$.
\item[d.] $\dot{x}=-x+2x^3y^2$, $\dot{y}=-y$.
\item[e.] $\dot{x}=y-x^3$, $\dot{y}=-x^5$.
\item[f.] Al variare di $k\in\R$: $\dot{x}=y-xy^2$, $\dot{y}=-x+ky-y^3$ (soltanto per il
punto di equilibrio all'origine).
\item[g.] $\dot{x}=x(y^2-1)$, $\dot{y}=y(x^2-1)$.
\end{itemize}
\item[7.] Applicare il metodo di Liapunov per studiare la (in)stabilit\`a del
sistema dinamico
$$\dot{x}=y-x^3,\qquad \dot{y}=-x^5.$$
Perch\`e non ci sono orbite chiuse? Quale risultato si otterrebbe utilizzando il
metodo di linearizzazione?
\item[8.] Per una funzione reale $g\in C^1(\R)$ che \`e positiva per $y\neq0$
e verifica $g(0)=0$, si consideri, per $k>0$, l'equazione differenziale
$$\ddot{y}+k\dot{y}+g(y)=0.$$
Determinare i punti di equilibrio e loro natura. Dimostrare la non esistenza di
orbite chiuse e darne l'interpretazione fisica.
\item[9.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}\dot{x}=x(2-2y),\\ \dot{y}=y(-1+5x+3y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio.
\item[10.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}\dot{x}=x(12-2y-3x),\\ \dot{y}=y(-19+5x+3y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio.
\item[11.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}\dot{x}=x(2-2y-3x),\\ \dot{y}=y(-1+5x+3y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio.
\item[12.] Studiare, per i seguenti sistemi dinamici, i punti di equilibrio e
loro natura.
\begin{itemize}
\item[a.] $\dot{x}=x^2-y^2$, $\dot{y}=2xy$.
\item[b.] $\dot{x}=e^y$, $\dot{y}=e^y\,\cos(x)$.
\item[c.] $\dot{x}=e^y\sin(x)$, $\dot{y}=e^y\,\cos(x)$.
\end{itemize}
\item[13.] Dimostrare che il sistema dinamico non autonomo
$$\begin{cases}\dot{x}(t)=-2t\,y(t),\\ \dot{y}(t)=2t\,x(t),\end{cases}$$
ha orbite chiuse che non corrispondono a soluzioni periodiche.
\item[14.] Passando alle coordinate polari si studiano i punti di equilibrio
e le orbite del sistema dinamico
$$\begin{cases}\dot{x}=(x-y)(x^2+y^2-1)-2y,\\ \dot{y}=(y-x)(x^2+y^2-1)+2x.\end{cases}$$
\item[15.] Che cosa significa geometricamente per il sistema dinamico
$$\dot{\vec{y}}=\boldsymbol{F}(\vec{y}),$$
che $\nabla\cdot\boldsymbol{F}<0$? Che cosa si pu\`o dire degli attractor?
Rispondere alle stesse domande se $\nabla\cdot\boldsymbol{F}>0$.
\item[16.] Studiare, per i seguenti sistemi dinamici, i punti di equilibrio e
loro natura.
\begin{itemize}
\item[a.] $\dot{x}=\arctan(x^2+\lambda x+9)$, al variare di $\lambda\in\R$.
\item[b.] $\dot{x}=\arctan(x^4+\lambda x^2+9)$, al variare di $\lambda\in\R$.
\item[c.] $\dot{x}=x(\lambda-\sin(x))$, al variare di $\lambda\in\R$.
\end{itemize}
\item[17.] Si consideri l'equazione differenziale
$$\ddot{x}(t)=-\dot{U}(x),\qquad U(x)=-2\,\cos(3x).$$
Scrivendo quest'equazione come un sistema dinamico, determinare i punti di
equilibrio, trovare una costante del moto (cio\`e, l'energia totale) e studiare
le orbite (usando gli insiemi di livello $\{x\in\R:U(x)=c\}$).
\item[18.] Applicare il Teorema di Floquet al sistema dinamico
$$\dot{\vec{x}}(t)=\cos^2(2t)\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}\vec{x}(t).$$
In particolare, trovare il periodo delle soluzioni periodiche.
\item[19.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}\dot{x}=x(8-2y-3x),\\ \dot{y}=y(-13+5x+3y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio.
\item[20.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}\dot{x}=x(8-3y-2x),\\ \dot{y}=y(-13+3x+5y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio.
\end{itemize}
\bigskip
\bigskip

\noindent{\bf SISTEMI DINAMICI A TEMPO DISCRETO}:
\begin{itemize}
\item[1.] Studiare la (in)stabilit\`a del sistema dinamico
$$\vec{x}_{n+1}=A\vec{x}_n$$
nei seguenti casi:
\begin{itemize}
\item[a.] $A=c\left(\begin{smallmatrix}1&-1\\ 1&1\end{smallmatrix}\right)$, al
variare della costante $c>0$. Per quale valore di $c$ ci sono $p$-cicli?
\item[b.] $A=\frac{1}{2}\left(\begin{smallmatrix}1&\sqrt{3}\\
-\sqrt{3}&1\end{smallmatrix} \right)$. Ci sono $p$-cicli?
\item[c.] $A=\frac{1}{13}\left(\begin{smallmatrix}5&-12\\ 12&5\end{smallmatrix}
\right)$. Ci sono $p$-cicli?
\item[d.] $A=c\left(\begin{smallmatrix}2&-1\\ 1&4\end{smallmatrix}\right)$, al
variare di $c>0$.
\item[e.] $A=c\left(\begin{smallmatrix}2&-1\\ 0&2\end{smallmatrix}\right)$, al
variare di $c>0$.
\end{itemize}
\item[2.] Studiare la (in)stabilit\`a del sistema dinamico $z_{n+1}=\alpha z_n$
nel piano complesso nei seguenti casi:
\begin{itemize}
\item[a.] $\alpha=\tfrac{1}{2}c(-1+i\sqrt{3})$ al variare di $c>0$.
\item[b.] $\alpha=\tfrac{1}{\sqrt{2}}c(-1+i)$ al variare di $c>0$.
\item[c.] $\alpha=\tfrac{1}{5}c(-3+4i)$ al variare di $c>0$.
\end{itemize}
Per quali valori di $c>0$ ci sono $p$-cicli?
\item[3.] Studiare la (in)stabilit\`a delle seguenti equazioni alle differenze:
\begin{itemize}
\item[a.] $x_{n+2}=x_n-x_{n+1}$.
\item[b.] $x_{n+2}=\tfrac{1}{2}\left(x_n-x_{n+1}\right)$.
\item[c.] $x_{n+3}=c^3\,x_n$, al variare di $c>0$.
\item[d.] $x_{n+2}=-x_n+c\,x_{n+1}$, al variare di $c\in\R$.
\end{itemize}
\item[4.] Si consideri la relazione di ricorrenza
$$P_{n+2}(x)=\frac{2x}{n+2}P_{n+1}(x)-\frac{n+1}{n+2}P_n(x),$$
dove $-1\le x\le+1$. Per quali valori di $x$ ci sono $p$-cicli?
\item[5.] Per $\omega>0$ si consideri l'equazione alle differenze
$$x_{n+2}=-\omega^2x_n.$$
Trovare tutte le soluzioni e tutti i $p$-cicli? Studiarne la (in)stabilit\`a.
Che cosa cambierebbe se aggiungessimo un termine di attrito ($k>0$):
$$x_{n+2}=-kx_{n+1}-\omega^2x_n?$$
\item[6.] Si consideri il sistema dinamico
$$x_{n+1}=\dfrac{1}{2-x_n},$$
dove $x_n\in\R\setminus\{2\}$. Dimostrare, per induzione, che
$$x_n=\frac{n-(n-1)x_0}{n+1-nx_0}.$$
e quindi che $x_n\to 1$ se $n\to+\infty$. Per quali valori iniziali $x_0$
avremmo qualche problema nel dimostrare una tale convergenza?
\item[7.] Si consideri il seguente analogo dello shift di Bernouilli:
$$\boldsymbol{\theta}_{n+1}=\begin{cases}
3\boldsymbol{\theta}_n,&0\le\boldsymbol{\theta}_n<\tfrac{1}{3},\\
3\boldsymbol{\theta}_n-1,&\tfrac{1}{3}\le\boldsymbol{\theta}_n<\tfrac{1}{3},\\
3\boldsymbol{\theta}_n-2,&\tfrac{2}{3}\le\boldsymbol{\theta}_n<1.\end{cases}$$
Determinare i $p$-cicli.
\item[8.] Sia $S^1=\{z\in\C:|z|=1\}$ il cerchio unitario nel piano complesso e
sia $F:S^1\to S^1$ la rotazione
$$F(z;m)=\exp\left(\frac{2\pi i}{m}\right)z,\qquad z\in S^1,$$
essendo $m=1,2,3,\ldots$ un parametro. Descrivere i $p$-cicli della mappa.
\item[9.] Si consideri la funzione continua $F:[0,1]\to[0,1]$ definita da
$$F(x)=\begin{cases}2rx,&0\le x\le\tfrac{1}{2},\\
2r(1-x),&\tfrac{1}{2}\le x\le 1,\end{cases}$$
dove $0<r\le 1$ \`e un parametro. Determinare i punti di equilibrio e
determinarne, al variare di $r$, la (in)stabilit\`a. Determinarne i $2$-cicli?
Per quali valori di $r$ esistono $p$-cicli per ogni $p$?
\item[10.] Si consideri il sistema dinamico
$$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{1+[x_n]^2},$$
dove $x_0\in\R$. Trovare i punti di equilibrio e studiarne la
(in)stabilit\`a. Suggerimento: Scrivere $x_n=\tanh(w_n)$.
\item[11.] Sia $\phi:(1,+\infty)\to(0,+\infty)$ la mappa $\phi(x)=\ln(x)/x$.
Si consideri la seguente mappa $f:(1,+\infty)\to(1,+\infty)$:
$$\phi(f(x))=\phi(x),$$
dove $f(x)\ge e$ per $1<x\le e$ e $1<f(x)\le e$ se $x\ge e$. Trovare
tutti i punti fissi e tutti i $2$-cicli e determinarne la (in)stabilit\`a.
\begin{figure}[ht]\label{fig:C.3}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{logplot}}
\caption{La definizione della funzione $f$. Si noti che $f(2)=4$ e $f(4)=2$.}
\end{figure}
\item[12.] Per $\alpha=p+iq$ e $\beta=r+is$ (con $p,q,r,s\in\R$) si consideri il
sistema dinamico
$$z_{n+1}=\alpha z_n+\beta\overline{z_n}$$
nel piano complesso. Dimostrare che il sistema dinamico \`e asintoticamente
stabile se e solo se la matrice
$$A=\begin{pmatrix}p+r&-q+s\\ q+s&p-r\end{pmatrix}$$
ha soltanto autovalori di modulo strettamente minore di $1$. Suggerimento:
Convertire il sistema dinamico in un sistema dinamico per $(x_n,y_n)^T$, dove
$z_n=x_n+iy_n$.
\item[13.] La risoluzione dell'equazione differenziale $\dot{x}(t)=f(x)$ col metodo
alle differenze finite conduce, per $h>0$ e $f\in C^1(\R)$ con $f(0)=0$ e
$f'(0)\neq 0$, al sistema dinamico discreto
$$x_{n+1}=x_n+h\,f(x_n).$$
Determinare le condizioni su $f'(0)$ e $h$ sotto cui il punto fisso $X=0$ \`e
asintoticamente stabile.
\item[14.] Determinare il bacino di attrazione del punto fisso $X=0$ per il
sistema dinamico\footnote{Un tale sistema dinamico risulta risolvendo
l'equazione differenziale $\dot{x}(t)=-x^3$, di soluzione
$x(t)=x(0)/\sqrt{1+2tx(0)^2}$, alle differenze finite.}
$$x_{n+1}=x_n-hx_n^3.$$
Trovare i $2$-cicli e determinarne la (in)stabilit\`a.
\item[15.] Si consideri il sistema dinamico discreto
$$x_{n+1}=F(x_n),$$
dove $F:[1,4]\to[1,4]$ \`e definita da $F(x)=\sqrt{6+\tfrac{3}{2}x}$.
Verificare se la $F$ \`e una contrazione e, in tal caso, trovare il punto fisso.
Studiare la sua (in)stabilit\`a.
\item[16.] Si consideri il sistema dinamico discreto
$$\begin{cases}x_{n+1}=x_n(x_n^2+y_n^2),\\
y_{n+1}=-y_n(x_n^2+y_n^2).\end{cases}$$
Determinare i punti fissi, bacini di attrazione e cicli, pi\`u loro
(in)stabilit\`a. Suggerimento: Convertire il sistema dinamico in un sistema
dinamico nel piano complesso.
\item[17.] Si consideri il sistema dinamico discreto
$$\begin{cases}x_{n+1}=x_n(x_n^2+y_n^2-1),\\
y_{n+1}=y_n(x_n^2+y_n^2-1).\end{cases}$$
Determinare i punti fissi, bacini di attrazione e cicli, pi\`u loro
(in)stabilit\`a. Suggerimento: Convertire il sistema dinamico in un sistema
dinamico nel piano complesso.
\item[18.] Per $h>0$ e $f\in C^1(\R)$ si consideri il sistema dinamico
$$y_{n+1}=y_n+hf'(y_n+hf'(y_n)),$$
il metodo predictor-corrector" per risolvere l'equazione differenziale
$\dot{y}=f(y)$ numericamente.  Dimostrare la stabilit\`a del punto di equilibrio
$Y=0$ nel caso $f(y)=-y^3$. Suggerimento: Partendo dal dato iniziale $y_0$ con
$h[y_0]^2<1$, si dimostra che $0<y_{n+1}<y_n$ oppure $0>y_{n+1}>y_n$.
\item[19.] Consideriamo l'insieme di tutti gli $x\in[0,1]$ che hanno uno
sviluppo decimale che consiste soltanto in cifre pari. Qual'\`e la dimensione
di Hausdorff di questo frattale? Come si costruisce l'insieme?
\item[20.] Considerando la mappa $f_c(z)=z^2+c$ e il sistema dinamico discreto
$z_{n+1}=f_c(z_n)$, rispondere alle seguenti domande:
\begin{itemize}
\item[a.] Calcolare l'insieme di Julia (riempito) per $c=0$. Dimostrare che
$c=0$ appartiene all'insieme di Mandelbrot.
\item[b.] Sia $c>\tfrac{1}{4}$. Dimostrare che, partendo da $z_0\in\R$, la
successione $\{z_n\}_{n=1}^\infty$ \`e crescente e tende a $+\infty$. Dimostrare
che l'insieme di Julia \`e sconnesso e quindi che un tale $c$ non appartiene
all'insieme di Mandelbrot.
\item[b.] Sia $c<-2$. Dimostrare che, partendo da $z_0$ immaginaria, la
successione $\{z_n\}_{n=1}^\infty$ \`e decrescente e tende a $-\infty$.
Dimostrare che l'insieme di Julia \`e sconnesso e quindi che un tale $c$ non
appartiene all'insieme di Mandelbrot.
\end{itemize}
\item[\tcr{21}.] Dimostrare che la mappa logistica $x_{n+1}=4x_n(1-x_n)$ per
$x_0\in[0,1]$ ammette $p$-cicli per qualunque $p$. Suggerimento: Utilizzando
che $x_n=\sin^2(2^n\theta\pi)$ per $\theta=\tfrac{1}{\pi}\arcsin(\sqrt{x_0})$,
si dimostri che $x_0$ genera un $p$-ciclo se e solo se
$$p=\min\{n\in\N:(2^n-1)\theta\in\Z\}.$$
\end{itemize}
