%February 27, 2014; January 17, 2013

\chapter{Punti di equilibrio}

In questo capitolo studieremo la tipologia dei punti di equilibrio dei sistemi
dinamici autonomi $\tcr{\dot{y}}=f(y)$. In particolare, studieremo in maniera
approfondita i punti di equilibrio del sistema dinamico
$\tcr{\dot{x}}(t)=Ax(t)$, dove $A$ \`e una matrice reale $2\times 2$ non
dipendente da $t$. Infine, discuteremo l'oscillatore armonico in presenza di
forze di attrito.

\section{Sistema autonomo generalizzato}

Consideriamo un sistema autonomo
$$\tcr{\dot{y}}=f(y),$$
dove f \`e localmente lipschitziana\footnote{$f$ si dice lipschitziana se
$|f(x_1)-f(x_2)|\le\text{cost}.|x_1-x_2|$ per ogni coppia di punti $x_1,x_2$.
Nel caso di Lipschitzianit\`a locale (al contrario di quella globale) la
costante dipende dal sottointervallo in cui si considera la $f$. Per esempio,
le funzioni che hanno una derivata (localmente) limitata, sono lipschitziane.}
in un aperto $\Omega$ di $\mathbb{R}^{n}$. \`E possibile analizzare le soluzioni
del sistema mediante le loro immagini nello spazio dei vettori $y$, il
cosiddetto spazio delle fasi.

\begin{definition}
Data una curva $t\rightarrow{\varphi(t)}$,
chiamiamo \emph{orbita, traiettoria o caratteristica} l'immagine
di $\varphi$.
\end{definition}

Essa gode delle seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item[i)] un'orbita corrisponde ad una famiglia di soluzioni del tipo:
$$y(t)=\varphi(t+c),$$
con $c\in{\mathbb{R}}$, traslate nel tempo. \`E, dunque, fissata
un'orientazione dell'orbita, comune a tutte le soluzioni
corrispondenti;
\item[ii)] due orbite non possono intersecarsi. Lo spazio delle fasi \`e,
pertanto, unione di orbite disgiunte.\footnote{Senza l'ipotesi di
Lipschitzianit\`a, le orbite si possono intersecare. Per esempio, per
$c\ge t_0$ tutte le funzioni $y(t;c)=\begin{cases}(t-c)^2,&t\ge c,\\
0,&t\le c,\end{cases}$ verificano il problema di Cauchy
$\tcr{\dot{y}}=2y^{1/2}$, $y(t_0)=0$.}
\end{itemize}

Le traiettorie possono essere di tre tipi:
\begin{itemize}
\item[a)] \textbf{punti di equilibrio}. Se $y_0 \in{\Omega}$ \`e tale che
$f(y_0)=0$, allora $y_0$ \`e detto \emph{punto di equilibrio} (o \emph{punto
critico, punto singolare, punto di equilibrio}) del sistema. Esso rappresenta
l'orbita della soluzione costante
$$\varphi(t)=y_0.$$
\item[b)] \textbf{cicli} (o curve semplici e chiuse).
Si chiamano \emph{cicli} le orbite delle soluzioni periodiche
$\varphi=\varphi(t)$, per le quali esiste $T >0$ tale che
$$\varphi(t+T)=\varphi(t)$$
per ogni $t\in{\mathbb{R}}$.
\item[c)] \textbf{curve semplici non chiuse}.
Si chiamano \emph{curve semplici non chiuse} le orbite delle soluzioni
$\varphi=\varphi(t)$, per le quali non esiste $T >0$ tale che
$$\varphi(t+T)=\varphi(t)$$
per ogni $t\in{\mathbb{R}}$.
\end{itemize}

\section{Derivata di Lie e costanti del moto}

\`E opportuno introdurre i concetti di derivata lungo una traiettoria del
sistema (o derivata di Lie) e di integrale primo o costante del moto.

\begin{definition}
Sia $E:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}$, dove $ \Omega$ \`e un aperto di
$\mathbb{R}^{n}$, e $E\in{C^1(\Omega)}$.
\begin{itemize}
\item[a)] La derivata di $E$ lungo le
traiettorie del sistema \`e data da
$$\tcr{\dot{E}}(y)= <\nabla{E(y)},f(y)>,\quad y\in{\Omega}.$$
\item[b)] Se $\tcr{\dot{E}}(y)=0$ per ogni $y\in{\Omega}$, $E$ si chiama
\emph{integrale primo o costante del moto} per il sistema.
\end{itemize}
\end{definition}

L'integrale primo gode delle seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item[i)] $E$ \`e un integrale primo per il sistema se e soltanto se ogni
orbita \`e interamente contenuta in un unico insieme di livello di $E$ o,
equivalentemente, se e soltanto se $E$ \`e costante su ogni soluzione del
sistema.
\item[ii)] Se la semi-orbita destra (rispettivamente, sinistra) \`e contenuta in
un compatto, la soluzione \`e prolungabile a $+\infty$ (rispettivamente,
$-\infty$). E, dunque, se il sistema ammette un integrale primo i cui insiemi di
livello sono limitati in $\mathbb{R}^{n}$, le soluzioni esistono in tutto
$\mathbb{R}$.
\end{itemize}

Un esempio tipico proviene dalla meccanica Newtoniana. Scrivendo l'equazione
differenziale
\begin{equation}\label{4.1}
\tcr{\ddot{y}}=f(y),
\end{equation}
nella forma
$$\begin{cases}\tcr{\dot{y}}_1=y_2,\\ \tcr{\dot{y}}_2=f(y_1),\end{cases}$$
otteniamo, per ogni zero $\xi$ della funzione Lipschitziana $f$, un punto di
equilibrio $(\xi,0)$. Si verifica facilmente che
$$E(y_1,y_2)=\tfrac{1}{2}y_2^2-\int_0^{y_1}f(\tau)\,d\tau$$
\`e una costante del moto. Infatti,
$$\frac{d}{dt}E(y_1(t),y_2(t))=y_2\tcr{\dot{y}}_2-f(y_1)\tcr{\dot{y}}_1=0.$$
Le orbite si calcolano molteplicando la \eqref{4.1} per $2\tcr{\dot{y}}$ e
integrando. Si ottiene
$$(\tcr{\dot{y}})^2-\tcr{\dot{y}}(0)^2=2\int_0^y f(\tau)\,d\tau,$$
il che si converte facilmente nell'equazione differenziale a variabili
separabili
$$\tcr{\dot{y}}=F(y),\qquad F(y)=\pm\sqrt{\tcr{\dot{y}}(0)^2
+2\int_0^y f(\tau)\,d\tau}.$$

\section{Classificazione dei punti di equilibrio}

Ricordando la teoria delle forme canoniche di Jordan, presentiamo una
classificazione dei punti di equilibrio sul piano con l'aiuto delle forme
canoniche di Jordan. A tale scopo, consideriamo un sistema di equazioni
differenziali del primo ordine a coefficienti costanti
$$\frac{dx}{dt}=Ax,$$
dove $A$ \`e una matrice reale di ordine $2$:
$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad 
x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\quad 
\det A=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq{0}.$$
Seguendo l'analisi di Poincar\'e, presentiamo una classificazione
delle radici caratteristiche di $A$:
$$\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-(\tr A)\lambda+\det A,$$
dove $\tr A=a_{11}+a_{22}$ \`e la traccia della matrice $A$. Possiamo effettuare
una trasformazione lineare non singolare, ponendo
$$x=Ky,\quad K=\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}\\k_{21}&k_{22}\end{pmatrix},
\quad y=\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\end{pmatrix},\quad \det(K)\neq{0},$$
e modificando il sistema di partenza nel seguente:
$$\frac{dy}{dt}=Jy,$$
dove $J=K^{-1}AK$ \`e la forma canonica di Jordan.

Se le radici di $A$, $\lambda_1$ e $\lambda_2$, sono distinte, allora risulta
che
$$J=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}.$$
Se $\lambda_1=\lambda_2$ \`e una radice doppia di $A$ e $A$ non \`e un multiplo
della matrice d'identit\`a, allora $J$ \`e data da
$$J=\begin{pmatrix}\lambda_1&1\\0&\lambda_1\end{pmatrix}.$$
Se, inoltre, le radici caratteristiche, $\lambda_1$ e $\lambda_2$,
sono reali e distinte, allora tutte le soluzioni reali sono date da
$$y=y_1+y_2=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}.$$
Dunque
$$\frac{dy_2}{dy_1}=\dfrac{\tcr{\dot{y}}_2}{\tcr{\dot{y}}_1}
=\frac{\lambda_2y_2}{\lambda_1y_1}
=\lambda c\,e^{\lambda_1(\lambda-1)t},\qquad\lambda=\frac{\lambda_2}
{\lambda_1},\quad c=\frac{c_2}{c_1}.$$

Partendo da due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione
$\tcr{\dot{y}}=Ay$, discutiamo ora i grafici della funzione
$$t\mapsto(y_1(t),y_2(t))$$
nei diversi casi.
Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ hanno lo stesso segno, allora
ogni traiettoria \`e di tipo \emph{parabolico} e
l'origine \`e detto \emph{nodo}. In particolare, se
$\lambda_1$ e $\lambda_2$ sono entrambe negative, ogni
traiettoria, per $t\rightarrow{+\infty}$, tende verso
l'origine, detto \emph{nodo stabile}. Inoltre, ogni traiettoria
risulta essere tangente nell'origine all'asse $y_2=0$ nel caso in
cui $\lambda=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}>1$, e all'asse $y_1=0$
nel caso in cui $\lambda=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}<1$.
%Per $t\rightarrow{-\infty}$, la traiettoria tende a diventare
%parallela all'asse $y_1=0$ quando $\lambda>1$, e parallela
%all'asse $y_2=0$ quando $\lambda<1$.
Se $\lambda_1$ e
$\lambda_2$ sono entrambe positive, ogni traiettoria, per
$t\rightarrow{-\infty}$, tende verso l'origine, detto \emph{nodo
instabile.} Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ presentano segni
opposti, con $\lambda_1>0$ e $\lambda_2<0$ e $c_1c_2\neq{0}$, ogni
traiettoria \`e di tipo \emph{iperbolico}. Le due traiettorie
sull'asse $y_1=0$ tendono verso l'origine per
$t\rightarrow{+\infty}$, e quelle sull'asse $y_2=0$ vi tendono per
$t\rightarrow{-\infty}$. Ogni altra traiettoria tende
asintoticamente all'asse $y_2=0$ per $t\rightarrow{+\infty}$.
Al crescere di $t$, ogni punto si muove inizialmente
verso l'origine, poi, dopo aver raggiunto una minima distanza,
esso si allontana asintoticamente verso l'asse $y_2=0$. In questo
caso, l'origine \`e detto \emph{punto di sella}, che
\`e un punto di equilibrio instabile. Se le due
radici, $\lambda_1$ e $\lambda_2$, sono uguali, allora tutte le
soluzioni reali del sistema sono date da
$$y_1=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2te^{\lambda_1 t},\quad y_2=c_2e^{\lambda_1 t},$$
e dunque
$$y_1=(c+t)y_2,\quad \frac{dy_1}{dy_2}=c+t,$$
dove $c=(c_1/c_2)$. Se $\lambda_1<0$, le traiettorie
tendono verso l'origine per $t\rightarrow{+\infty}$, e
nell'origine sono tangenti all'asse $y_2=0$.
%Per $t\rightarrow{-\infty}$, esse tendono a diventare parallele a
%quest'ultimo.
Se $\lambda_1>0$, si verifica il contrario.
 In entrambi i casi, l'origine \`e detto \emph{nodo
degenerato.}

Se le radici caratteristiche di $A$ sono complesse coniugate:
$$\lambda_1=\alpha+i\beta=\rho e^{i \theta},\quad 
\lambda_2=\alpha-i\beta=\rho e^{-i \theta},$$
il sistema di equazioni differenziali diventa
$$\frac{dw}{dt}=Rw,\quad R=\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha
\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix},$$
tutte le soluzioni sono date da
$$w_1=e^{\alpha t}(c_1\cos{\beta t}-c_2\sin{\beta t}),\quad 
w_2=e^{\alpha t}(c_1\sin{\beta t}+c_2\cos{\beta t}).$$
Nel caso in cui $\alpha=0$, le traiettorie
formano una famiglia di cerchi concentrici con i centri
nell'origine. L'origine \`e detto \emph{centro}. Nel caso
in cui $\alpha<0$, ogni traiettoria \`e una spirale che si
avvicina all'origine per $t\rightarrow{+\infty}$, in verso orario
se $\beta>0$, in verso antiorario se $\beta<0$. L'origine \`e
detto \emph{fuoco stabile}. Se $\alpha<0$, ogni
traiettoria si avvolge su se stessa a spirale, avvicinandosi
all'origine per $t\rightarrow{-\infty}$. L'origine \`e detto
\emph{fuoco instabile.} Supponiamo che $\det(A)=0$, ovvero che
il sistema di partenza sia singolare. Se il rango della matrice
$A$ \`e zero, allora ogni punto \`e un punto di equilibrio del
sistema. Se $A$ ha rango uno, allora tutti i punti di equilibrio,
ovvero tutte le soluzioni non banali di $Ax=0$, giacciono su una linea retta e
tutte le traiettorie non singolari appartengono ad una famiglia di
rette parallele, ognuna delle quali contiene uno ed un solo punto di equilibrio.

\section{Esempi}

In questo paragrafo discutiamo tre esempi importanti.

\begin{example}
Analizziamo, nel piano delle fasi, l'equazione delle
piccole oscillazioni del pendolo in presenza di forze dissipative:
\begin{equation}\label{4.2}
\ddot{x}+k\dot{x}+\tcr{\zo^2}x=0,\quad\tcr{x}\in{\mathbb{R}},\;k>0,\
\tcr{\zo>0},
\end{equation}
in prossimit\`a della soluzione di equilibrio $x(t)=0,\;\tcr{\dot{x}}(t)=0$.
Il sistema \`e equivalente al seguente:
$$\begin{cases}\dot{x}=y,\\ \dot{y}=-\tcr{\zo^2}x-ky.\end{cases}$$
Consideriamo la matrice jacobiana
$$A=\begin{pmatrix}0&1\\-\tcr{\zo^2}&-k\end{pmatrix},$$
dove $\tr A=-k,\quad \det A=\tcr{\zo^2},\quad
\Delta=(\tr A)^2-4\det A=k^2-4\tcr{\zo^2}$.

\begin{figure}[ht]\label{fig:4.1}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}
{\includegraphics{oscillatore_a}\quad\includegraphics{oscillatore_b}\quad
\includegraphics{oscillatore_c}}
\caption{Grafici delle funzioni $x(t)$ per $x(0)=2$ e $\dot{x}(0)=1$ nei casi
$k=1$, $k=2$ e $k=3$, \tcr{scegliendo $\zo=1$}.}
\end{figure}
Distinguiamo i seguenti casi:
\begin{itemize}
\item[a.] $\Delta<0$, $0<k<2\tcr{\zo}$.
L'origine \`e un fuoco. Il pendolo compie oscillazioni smorzate, avvicinandosi
alla posizione di equilibrio, tanto pi\`u lentamente quanto pi\`u piccolo \`e il
coefficiente d'attrito, $k$. Poich\`e $\tr A=-k$ per $0<k<2\tcr{\zo}$, il fuoco
\`e asintoticamente stabile. Infatti,
$$x(t)=x(0)e^{-kt/2}\cos(\tfrac{t}{2}\sqrt{4\tcr{\zo^2}-k^2})
\!+\![\tcr{\dot{x}}(0)\!+\!\frac{k}{2}x(0)]e^{-kt/2}
\dfrac{\sin(\frac{t}{2}\sqrt{4\tcr{\zo^2}-k^2})}
{\frac{1}{2}\sqrt{4\tcr{\zo^2}-k^2}}.$$
\item[b.] $\Delta=0$, $k=2\tcr{\zo}$.
L'origine \`e un nodo ad una tangente (la direzione della tangente \`e quella
della bisettrice del secondo e del quarto quadrante). Infatti,
$$x(t)=e^{-2\tcr{\zo}t}\left\{x(0)+[\tcr{\dot{x}}(0)+2x(0)]t\right\}.$$
\item[c.] $\Delta>0$, $k>2\tcr{\zo}$.
L'origine \`e un nodo asintoticamente stabile a due tangenti. Se il coefficiente
d'attrito \`e sufficientemente grande, il pendolo non compie oscillazioni
smorzate, ma va direttamente alla posizione di equilibrio. Infatti,
$$x(t)\!=\!x(0)e^{-kt/2}\cosh(\tfrac{t}{2}\sqrt{k^2-4\tcr{\zo^2}})
\!+\![\tcr{\dot{x}}(0)\!+\!\frac{k}{2}x(0)]e^{-kt/2}
\dfrac{\sinh(\frac{t}{2}\sqrt{k^2-4\tcr{\zo^2}})}
{\frac{1}{2}\sqrt{k^2-4\tcr{\zo^2}}}.$$
\end{itemize}
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}
Consideriamo il sistema
$$\dot{x}=-x+\dfrac{2y}{\log{(x^2+y^2)}},\qquad
\dot{y}=-y-\dfrac{2x}{\log{(x^2+y^2)}}.$$
L'origine \`e un nodo singolare del corrispondente sistema ottenuto trascurando
i termini logaritmici:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.$$
Considerando nuovamente il sistema originale e, passando alle coordinate polari,
otteniamo
$$\dot{r}=-r,\qquad\dot{\theta}=-\dfrac{1}{\log{r}},$$
da cui
$$r=r_0e^{-t},\quad \theta=\theta_0+\log{(t-\log{r_0})},\quad t>\log{r_0}.$$
Allora si ha che $r\rightarrow{0}$ e $\theta\rightarrow{+\infty}$
per $t\rightarrow{+\infty}$ e l'origine \`e un fuoco stabile del
sistema. Osserviamo, dunque, che, con l'aggiunta di termini
lineari infinitesimali nel sistema, possiamo variare il
comportamento delle soluzioni nelle vicinanze dell'origine. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}
Consideriamo il sistema dinamico in coordinate polari
$$\dot{r}=r(1-r),\qquad \dot{\theta}=\tfrac{1}{2}(1-\cos\theta).$$
Quindi lungo le orbite \`e crescente l'angolo polare $\theta$ e, per $0<r<1$,
la distanza dall'origine $r$, mentre la distanza dall'origine $r$ \`e
decrescente per $r>1$. I punti di equilibrio (in coordinate cartesiane) sono
$(0,0)$ e $(1,0)$, ambedue instabili. Il punto $(1,0)$ \`e un
attrattore con bacino di attrazione $\R^2\setminus\{(0,0)\}$. L'instabilit\`a
del punto di equilibrio $(1,0)$ risulta dal fatto che ogni suo intorno contiene
delle orbite che si allontanano da $(1,0)$.
\begin{figure}[ht]\label{fig:4.2}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{patologia}}
\caption{Orbite per un sistema dinamico con due punti di equilibrio instabili
(vedi \cite{V}).}
\end{figure}
Si noti che il tempo di viaggio lungo un'orbita chiusa che parte da $(1,0)$
e ci ritorna, \`e dato da
$$T=\int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{\tfrac{1}{2}(1-\cos\theta)}
=\int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{\sin^2(\tfrac{1}{2}\theta)}
=\left[-2\text{cotg}(\tfrac{1}{2}\theta)\right]_0^{2\pi}=+\infty.$$
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}
