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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{Fondamenti di Fisica Matematica: Secondo parziale}
\centerline{14.12.2012}

\bigskip
\noindent Cognome e nome: \dotfill Matricola: $\ldots\ldots\ldots$
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
 es.1& es.2& es.3& es.4/5&somma\\ \hline
7&7&10&6&6&30\\ \hline
 & & & & & \\
 & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Voto: es.1+es.2+es.3+max(es.4,es.5)

\bigskip

\begin{itemize}
\item[1.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo delle differenze
finite, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}&=\frac{\partial^2u}{\partial x^2},
\qquad\hfill 0\le x\le 2,\ t\ge0,\\
u(0,t)&=0,\quad u(2,t)=0,\quad u(x,0)=1,\quad
\tfrac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0.
\end{align*}
\item[2.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi
finiti, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
-(e^{-x}u^\prime)^\prime&+(x^2+1)u=x^2,\qquad\hfill0\le x\le 2,\\
u(0)&=0,\qquad u(2)=0.
\end{align*}
\item[3.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi
finiti, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
-\nabla^2u+(x^2+y^2+1)u&=f,\qquad\hfill(x,y)\in\Omega=(0,2)\times(1,4),\\
\left.u\right|_{\partial\Omega}&=0.
\end{align*}
Discutere le caratteristiche del sistema lineare ottenuto. Si potr\`a far
partire la discussione dalla seguente formulazione variazionale: Trovare
$u\in H^1_0(\Omega)$ tale che per ogni $\phi\in H^1_0(\Omega)$
$$\iint_\Omega\left[\nabla u\cdot\nabla\phi+(x^2+y^2+1)u\phi\right]dxdy
=\iint_\Omega f\phi\,dxdy.$$
\item[4.] Applicare il metodo di Newton per calcolare lo zero
$\xi\in(\tfrac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$ dell'equazione
$$\tan(x)+x=0.$$
Discutere lo schema di iterazione, la scelta di $x_0$ che garantisce la
convergenza, e la velocit\`a della convergenza.
\item[5.] Applicare il metodo di Newton per calcolare lo zero $\xi\in(-2,-1)$
dell'equazione
$$x^3-2x+2=0.$$
Discutere lo schema di iterazione, la scelta di $x_0$ che garantisce la
convergenza, e la velocit\`a della convergenza. Che cosa avviene se $x_0=0$?
\end{itemize}

\end{document}
