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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{Fondamenti di Fisica Matematica: Secondo parziale}
\centerline{12.06.2012}

\bigskip
\noindent Cognome e nome: \dotfill Matricola: $\ldots\ldots\ldots$
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
 es.1& es.2& es.3& es.4& es.5&somma\\ \hline
7&7&10&6&6&30\\ \hline
 & & & & &  \\
 & & & & &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Voto: es.1+es.2+es.3+max(es.4,es.5)

\bigskip

\begin{itemize}
\item[1.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo delle differenze
finite, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial t}&=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+3(1+x)^2u
+\sin^2(\pi x),\qquad\hfill 0\le x\le 2,\ t\ge0,\\
u(0,t)&=0,\qquad u(2,t)=0,\qquad u(x,0)=\tfrac{1}{4}x^2.
\end{align*}
\item[2.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi
finiti, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
-(x^2u^\prime)^\prime&+(x^2+1)u=x\,\sin(\pi x),\qquad\hfill-1\le x\le 1,\\
u(-1)&=-1,\qquad u(1)=1.
\end{align*}
\item[3.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi
finiti, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
-\nabla^2u+(x+y+1)u&=f,\qquad\hfill(x,y)\in\Omega=(0,3)\times(0,4),\\
\left.u\right|_{\partial\Omega}&=0.
\end{align*}
Discutere le caratteristiche del sistema lineare che ne esce. Si potr\`a far
partire la discussione dalla seguente formulazione variazionale: Trovare
$u\in H^1_0(\Omega)$ tale che per ogni $\phi\in H^1_0(\Omega)$
$$\iint_\Omega\left[xy\nabla u\cdot\nabla\phi+(x^2+y^2)u\phi\right]dxdy
=\iint_\Omega f\phi\,dxdy.$$
\item[4.] Sia $A$ una matrice reale $n\times n$. Per trovare una matrice reale
$X$ tale che $X^2=A$, poniamo $Y=I-X$ e riscriviamo l'equazione $X^2=A$ nella
forma $Y=\tfrac{1}{2}(I+Y^2-A)$. Si dimostra, sotto l'ipotesi $\|I-A\|<1$, che
l'iterazione
$$Y_{n+1}=\tfrac{1}{2}(I+Y_n^2-A)$$
\`e convergente nell'insieme
$$\mathcal{L}=\{Y:\|Y\|\le M\},$$
essendo $M=1-\sqrt{1-\|I-A\|}$.
\item[5.] Applicare il metodo di Newton per calcolare lo zero
$\xi=\ln(1+\sqrt{2})$ dell'equazione
$$\sinh(x)-1=0.$$
Discutere lo schema di iterazione, la scelta di $x_0$ che garantisce la
convergenza, e la velocit\`a della convergenza.
\end{itemize}

\newpage
\begin{itemize}
\item[4.] Sia
$$\Phi(Y)=\tfrac{1}{2}(I+Y^2-A).$$
Allora per $Y,Z\in\mathcal{L}$ si ha:
$$\|\Phi(Y)-\Phi(Z)\|\le\tfrac{1}{2}(\|Y\|+\|Z\|)\|Y-Z\|\le M\|Y-Z\|.$$
Inoltre, per $Y\in\mathcal{L}$ si ha:
$$\|\Phi(Y)\|\le\tfrac{1}{2}\|I-A\|+\tfrac{1}{2}\|Y\|^2\le\tfrac{1}{2}\left(
\|I-A\|+M^2\right)=M.$$
Quindi $\Phi[\mathcal{L}]\subset\mathcal{L}$ e $\Phi$ \`e una contrazione su
$\mathcal{L}$.
\item[5.] Sia $f(x)=\sinh(x)-1$. Lo schema \`e il seguente:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}=x_n-\frac{\sinh(x_n)-1}{\cosh(x_n)}
=x_n-\tanh(x_n)+\frac{1}{\cosh(x_n)}.$$
Poich\`e $f^\prime(x)=\cosh(x)$ e $f^{\prime\prime}(x)=\sinh(x)$ sono ambedue
positive per $x>0$, lo schema converge se $x_0>0$. Inoltre, la convergenza \`e
quadrata, poich\`e lo zero $\xi$ \`e semplice. Pi\`u dettagliatamente, esiste
$\eta_n$ tra $x_n$ e $\xi$ tale che
$$\frac{\sinh(x_n)-1}{x_n-\xi}=\frac{\sinh(x_n)-\sinh(\xi)}{x_n-\xi}
=\cosh(\eta_n).$$
Quindi
$$x_{n+1}-\xi=(x_n-\xi)\left\{1-\frac{\cosh(\eta_n)}{\cosh(x_n)}\right\}.$$
Se $x_n>\xi$, allora $x_n>x_{n+1}>\xi$; se $0<x_n<\xi$, allora $x_{n+1}>\xi$.
Quindi, se $x_0>\xi$, $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ \`e una successione decrescente di
numeri maggiori di $\xi$. Invece, se $0<x_0<\xi$, allora $\{x_n\}_{n=2}^\infty$
\`e una successione decrescente di numeri maggiori di $\xi$. Una tale
successione converge ad $\eta$ e quindi $\eta=\eta-[f(\eta)/f^\prime(\eta)]$,
implicando $f(\eta)=0$ e quindi $\eta=\xi$. Se $x_n>\xi$ [che capita comunque
per $n\ge2$], allora esistono $x_n>\eta_n>\zeta_n>\xi$ tali che
\begin{align*}
x_{n+1}-\xi&=(x_n-\xi)\left\{1-\frac{\cosh(\eta_n)}{\cosh(x_n)}\right\}\\
&=(x_n-\xi)(x_n-\eta_n)\frac{\sinh(\zeta_n)}{\cosh(x_n)}\\
&\le(x_n-\xi)(x_n-\eta_n)\frac{\sinh(x_n)}{\cosh(x_n)}\le(x_n-\xi)^2.
\end{align*}
\end{itemize}

\end{document}
