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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{Fondamenti di Fisica Matematica: Secondo parziale}
\centerline{07.06.2011}

\bigskip
\noindent Cognome e nome: \dotfill Matricola: $\ldots\ldots\ldots$
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 es.1& es.2& es.3&somma\\ \hline
9&9&12&30\\ \hline
 & &  &  \\
 & &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\begin{itemize}
\item[1.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo delle differenze
finite, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial t}&=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+4(1+x^2)u
+\sin(\pi x),\qquad\hfill 0\le x\le 2,\ t\ge0,\\ u(0,t)&=1,\qquad u(2,t)=0,
\qquad u(x,0)=1-\tfrac{1}{4}x^2.
\end{align*}
\item[2.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi
finiti, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
-(xu^\prime)^\prime&+(x^2+1)u=x\,\sin(\pi x),\qquad\hfill 1\le x\le 3,\\
u(1)=u(3)&=0.
\end{align*}
\item[3.] Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi
finiti, del seguente problema differenziale:
\begin{align*}
-\nabla\cdot\left(xy\nabla u\right)+(x^2+y^2)u&=f,\qquad
\hfill(x,y)\in\Omega=(1,3)\times(1,5),\\
\left.u\right|_{\partial\Omega}&=0.
\end{align*}
Discutere le caratteristiche del sistema lineare che ne esce. Si potr\`a far
partire la discussione dalla iseguente formulazione variazionale: Trovare
$u\in H^1_0(\Omega)$ tale che per ogni $\phi\in H^1_0(\Omega)$
$$\iint_\Omega\left[xy\nabla u\cdot\nabla\phi+(x^2+y^2)u\phi\right]dxdy
=\iint_\Omega f\phi\,dxdy.$$

\end{itemize}

\end{document}
