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\begin{document}
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\centerline{Fondamenti di Fisica Matematica: Primo Parziale}
\centerline{23.11.2012}

\bigskip
\noindent Cognome e nome: \dotfill Matricola: $\ldots\ldots\ldots$
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 es.1& es.2& es.3&somma\\ \hline
 6&12&12&30\\ \hline
  &  &  &  \\
  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\begin{itemize}
\item[1.] Risolvere, mediante il metodo di D'Alembert, il seguente problema
differenziale:
$$\begin{cases}2u_{xt}=-14u_{xx}+u_{tt},&-\infty<x<+\infty,\\
u(x,0)=\sin(2x),\\ u_t(x,0)=\cos(2x).
\end{cases}$$
\item[2.] Calcolare lo spettro del seguente problema di Sturm-Liouville:
$$\begin{cases}y^{\prime\prime}+8y^\prime+(\lambda+65)y=0,&0\le x\le4,\\
y(4)=-2y^\prime(4),\\ y(0)=0,\end{cases}$$
determinando il peso rispetto a quale sono ortogonali le autofunzioni.
\item[3.] Risolvere, mediante separazione delle variabili, il seguente problema
differenziale:
$$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}+4u_x+4u-1,&0\le x\le2\pi,\ t\ge0,\\
u(0,t)=\tfrac{1}{4},\\ u_x(2\pi,t)+2u(2\pi,t)=\tfrac{1}{2},\\
u(x,0)=\tfrac{1}{4}+3e^{-2x}\cos(\tfrac{11}{4}x),\\
u_t(x,0)=0.\end{cases}$$
\end{itemize}

\end{document}
