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\begin{document}

Presenter\`o un progetto di ricerca sulla risoluzione della equazione di
Landau-Lifshitz che descrive la dinamica di un sistema magnetico alle nanoscale.
Il progetto rappresenta un proseguimento della mia tesi di laurea sulla pi\`u
semplice equazione di Heisenberg. Prima dar\`o una breve descrizione del
problema di studiare. Poi elencher\`o le problematiche da studiare
successivamente. Poi spiegher\`o alcuni strumenti matematici utili a raggiungere
gli oggettivi di ricerca. Infine verr\`a presentata la progettazione temporale
della ricerca da svolgere.

\section{Breve descrizione della problematica}

Pagine 1-3.

Nel mio lavoro di tesi ho formulato la IST per la HF in modo diverso da come
\`e stata presentata originiaramente da Takhtajan nel 1977. Basandomi su questa
nuova formulazione ho determinato in forma esplicita tutte le soluzioni 
solitoniche per l'equazione HF. In particolare ho specificato dettagliatamente
tutti e tre i passi della IST, correggendo alcuni errori nella formulazione di
Takhtajan.

\section{Strumenti matematici}

PROBLEMA DIRETTO: Definire le funzioni di Jost, tagliare le equazioni di
Volterra, introdurre le rappresentazione triangolari. Nel caso di modelli con
discontinuit\`a di prima specie si prevedono rappresentazioni triangolari
contenenti termini quasi periodici.

DATI DI SCATTERING: coefficienti di riflessione, norming constants

EVOLUZIONE TEMPORALE: Brevemente.

PROBLEMA INVERSO: Il vettore $m(z,t)$ si ottiene dalla soluzione dell'equazione
integrale di Marchenko [inserirla]. Nel caso nonriflessivo tale equazione
si risolve utilizzando il metodo delle triplette, avendo una forma
particolarmente facile il suo nucleo integrale [inserire $Ce^{-zA}B$]. Parlare
della gauge transformation, nota per l'equazione di Heisenberg e da
generalizzare oltre.

\section{Problematiche di ricerca}

Propongo di generalizzare lo studio dell'equazione di Heisenberg in diverse
direzioni.
\begin{itemize}
\item[a.] Equazione di Landau-Lifshitz, modelizzando l'anisotropia. Noi
assumiamo che il vettore $m(z,t)$ sia assolutamente continua in $z$.
[METTERE L'EQUAZIONE]
\item[b.] Equazione di Heisenberg e di Landau-Lifshitz, dove il vettore
$m(z,t)$ ammette discontinuit\`a di prima specie ed \`e assolutamente continua
tra due discontinuit\`a consecutive. In tal caso si modelizzano mezzi
stratificati e si modificano le propriet\`a asintotiche e le rappresentazioni
triangolari delle soluzioni.
\item[c.] Equazioni di Landau-Lifshitz tredimensionali. In tal caso 
l'equazione non \`e pi\`u integrabile ma ammette ancora soluzioni solitoniche.
\end{itemize}

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA: Applicare Mathematica per tracciare i grafici.
Studiare la curvatura e la torsione della curva $m(z,t)$ in $S^2$ come funzione
del tempo.

APPLICAZIONI FISICHE: droplet magnetici.

\section{Progettazione temporale}

Al primo anno propongo acquisire familiarit\`a con la letteratura e con gli
strumenti matematici, qualcosa in parte gi\`a fatto durante la preparazione
della tesi di laurea e del lavoro sottoposto. Per questo motivo prevedo
la partecipazioni in minicorsi e in convegni e una visita collaborativa
alla Northumbria University, dove risiedono i proff. Matteo Sommacal e Sara
Lombardo.

Al secondo anno prevedo una visita alla University of Colorado, dove risiede
uno dei maggiori esperti sui magnetic droplets (Hoeffner) pi\`u un'altra visita
a Newcastle. Si prevede lo sviluppo della teoria dell'equazione di
Landau-Lifshitz in presenza di discontinuit\`a di prima specie, richiedendo
una maggiore familiarit\`a con le funzioni quasi periodiche.

Al terzo anno verr\`a preparata la tesi del dottorato, verranno presentati
i maggiori risultati ad un convegno internazionale e verr\`a iniziato lo studio
dei modelli tredimensionali.

\end{document}
