PROGRAMMA

per il corso di Fisica Matematica

per la laurea magistrale in matematica

1. EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA
   1. Coordinate ortogonali e Laplaciano in coordinate ortogonali, in particolare in quelle polari, cilindriche e sferiche
   2. Separazione delle variabili in coordinate cartesiane, polari, cilindriche e sferiche
   3. Equazioni di Helmholtz, del calore e delle onde nell'intervallo e nel rettangolo
2. ANALISI FUNZIONALE
   1. Spazi di Banach e di Hilbert
   2. Basi ortonormali, processo di Gram-Schmidt, applicazione alle serie di Fourier
   3. Operatori lineari limitati, loro spettro, operatori autoaggiunti e unitari
3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI SPECIALI
   1. Equazioni differenziali del secondo ordine: Esistenza e unicità delle soluzioni, (in)dipendenza lineare e Wronskiano, metodo della variazione dei parametri
   2. Risoluzione tramite lo sviluppo in serie di potenze: Metodo di Frobenius
   3. Funzione gamma (senza il teorema di Bohr-Mollerup)
   4. Funzioni ipergeometriche e ipergeometriche confluenti
   5. Funzioni di Bessel: Serie di potenze, andamento in zero e all'infinito, zeri, ortogonalità, funzioni di Neumann e Hankel, funzioni immaginarie di Bessel
   6. Funzioni sferiche: definizione, ortogonalità, operatore di Laplace-Beltrami, tutto quanto in dimensione 2 e 3
   7. Funzioni di Legendre e di Legendre associate: formula di Rodriguez, equazione differenziale, ortogonalità, ricorrenza, normalizzazione
   8. Polinomi ortogonali classici: Chebyshev, Hermite, Laguerre
   9. Polinomi ortogonali generali: zeri (quanti, moltiplicità, posizione, interlacing)
4. EQUAZIONI INTEGRALI
   1. Limitatezza degli operatori integrali: in L2 e C
   2. Equazioni integrali di Volterra
   3. Principio di Rayleigh-Ritz per le equazioni integrali hermitiane
   4. Teorema di Hilbert-Schmidt
5. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE
   1. Problemi di Sturm-Liouville unidimensionali: condizioni al contorno, proprietà degli autovalori, esempi
   2. Conversione in un'equazione integrale e funzioni di Green unidimensionali
6. FUNZIONI DI GREEN
   1. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali di secondo ordine
   2. Problemi di Sturm-Liouville multidimensionali: condizione al contorno, proprietà degli autovalori
   3. Equazioni di Laplace-Poisson (in intervalli, nell'intero spazio, nel semipiano, nel disco, nella sfera), in dimensione 1-2-3
   4. Equazione di Helmholtz
   5. Equazione del calore
   6. Equazione delle onde, formula di D'Alembert
7. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER
   1. Diversi tipi di soluzione dell'equazione di Schrödinger
   2. Equazione di Schrödinger radiale: buca di potenziale, oscillatore armonico, atomo d'idrogeno
   3. Equazione di Schr&oml;dinger con potenziale periodico
8. SPAZI DI SOBOLEV E ELEMENTI FINITI
   1. Distribuzioni, funzioni test e spazi di Sobolev