Teoremi e Dimostrazioni da conoscere all'orale
per chi ha sostenuto ANALISI 3 nell'AA 2004-2005

1. Equazioni differenziali:
   • Struttura dell'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare di ordine n e (in)dipendenza lineare.
   • Risoluzione dell'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti
2. Serie di funzioni:
   • Convergenza puntuale, uniforme e totale delle serie di funzioni
   • Convergenza uniforme e continuità, sommabilità e derivabilità
   • Serie di potenze: Raggio di convergenza, dominio di convergenza (assoluta) e divergenza, raggio della serie delle derivate termini a temine
   • serie di Taylor, alcune serie importanti quali exp(x), sen(x), cos(x), log(1+x), (1+x)^a, arctg(x), arcsen(x), 1/(1+x)
   • serie di Fourier (con periodo T arbitrario), calcolo dei coefficienti, funzioni (dis)pari, identità di Parseval, criteri per la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier di una funzione periodica regolare a tratti (e continua e regolare a tratti), la somma in una discontinuità di prima specie
3. Curve:
   • Curve regolari (a tratti), chiuse e semplici, lunghezza. Parametrizzazione in coordinate cartesiane e polari. Curve spaziali. Versore tangente. Integrali curvilinei.
4. Forme differenziali e Teoremi di Green, Gauss e Stokes:
   • Forme differenziali P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Forme esatte e chiuse. Calcolo della primitiva. Equivalenza tra forme esatte e quelle chiuse in domini semplicemente connessi. Collegamento con il Teorema di Green.
   • Forme differenziali P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz. Forme esatte e chiuse. Calcolo della primitiva. Equivalenza tra forme esatte e quelle chiuse in domini stellati. Collegamento con il Teorema di Stokes.
   • Forme differenziali P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz. Forme con potenziale vettore e solenoidali, Equivalenza tra l'esistenza del potenziale vettore e la solenoidalità in domini stellati. Collegamento con il Teorema della divergenza.
   • Teoremi di Green, della divergenza e di Stokes: Condizioni sufficienti sulla funzione sotto il segno dell'integrale e sul dominio.
5. Integrali:
   • Superfici regolari, area della superficie, versore normale, piano tangente.
   • Solidi di rotazione: volume e area della superficie.
   • Integrali in coordinate polari, cilindriche e sferiche.
6. Funzioni implicite e applicazioni:
   • Teorema delle funzioni implicite per F(x,y)=0, F(x,y,z)=0, e F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=0. Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza locale di y=f(x), z=f(x,y), (u,v)=(f(x,y),g(x,y)). Spiegare come si trova y=f(x), ma senza dimostrare la sua derivabilità.
   • Moltiplicatori di Lagrange. Spiegare come si trova il moltiplicare utilizzando il teorema delle funzioni implicite.
   • Teorema delle funzioni inverse: Condizioni necessarie e sufficienti, applicazione al cambiamento delle variabili sotto il segno dell'integrale. Poter illustrare l'applicazione per il cambiamento alle/dalle coordinate polari, sferiche e cilndriche.