Secondo Parziale del Corso di Analisi Matematica 4^{1}

1. Calcolare il minimo e il massimo della funzione

f(x, y, z) = x + y + z

nel dominio D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x − 1)^{2} + (y − 2)^{2} + (z − 3)^{2} ≤ 36}. Interpretare il risultato geometricamente. Soluzione: Ponendo H(x, y, z, λ) = x + y + z − λ[(x − 1)^{2} + (y − 2)^{2} + (z − 3)^{2} − 36] risultano

\frac{∂H}{∂x} = 1 − 2λ(x − 1) = 0, \frac{∂H}{∂y} = 1 − 2λ(y − 2) = 0,

\frac{∂H}{∂z} = 1 − 2λ(z − 3) = 0,

\frac{∂H}{∂λ} = −(x − 1)^{2} − (y − 2)^{2} − (z − 3)^{2} + 36 = 0.

Per λ = 0 risulterebbe 1 = 0, cioè λ ≠ 0. Ciò implica x = 1 + \frac{1}{2λ}, y = 2 + \frac{1}{2λ}, z = 3 + \frac{1}{2λ}, e dunque 36 = 3 (\frac{1}{2λ})^{2} implica \frac{1}{2λ} = ±2\sqrt{3}, (x, y, z) = (1 ± 2\sqrt{3}, 2 ± 2\sqrt{3}, 3 ± 2\sqrt{3}) con il valore della f uguale a 6[1 ± \sqrt{3}], essendo un massimo e un minimo. I corrispondenti piani sono tangenti alla sfera di equazione (x − 1)^{2} + (y − 2)^{2} + (z − 3)^{2} = 36.

2. Determinare l’equazione del piano tangente all’iperboloide z = x^{2} −2y^{2} nel punto (2, 1, 2). Soluzione: Parametrizzando la superficie tramite φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, φ(x, y) = (x, y, x^{2} − 2y^{2}), otteniamo

\frac{∂φ}{∂x} = (1, 0, 2x), \frac{∂φ}{∂y} = (0, 1, −4y), \frac{∂φ}{∂x} × \frac{∂φ}{∂y} = (−2x, 4y, 1).

Quindi il piano tangente in φ(x_{0}, y_{0}) ha l’equazione

−2x_{0}(x − x_{0}) + 4y_{0}(y − y_{0}) + (z − [x_{0}^{2} − 2y_{0}^{2}]) = 0.

Per x_{0} = 2 e y_{0} = 1 risulta −4x + 4y + z + 2 = 0.

3. Calcolare l’area della porzione del piano x + z = 2 all’interno del dominio {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z ≥ x^{2} + y^{2}}. Com’è fatta l’intersezione del piano e della paraboloide? Soluzione: Sostituendo z = 2 − x nella disuguaglianza z ≥ x^{2} + y^{2} otteniamo (x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} ≤ \frac{9}{4}. Quindi la superficie ha la parametrizzazione

17.06.2006

\begin{cases}φ : D → ℝ^{3}, φ(x, y) = (x, y, 2 − x), \\ D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} ≤ \frac{9}{4}\}. \end{cases}

Dunque

\frac{∂φ}{∂x} =(1, 0, −1), \frac{∂φ}{∂y} =(0, 1, 0), \frac{∂φ}{∂x} × \frac{∂φ}{∂y} =(1, 0, 1), ∥\frac{∂φ}{∂x} × \frac{∂φ}{∂y}∥=\sqrt{2}.

Quindi l’area è uguale a \sqrt{2} volte l’area del disco D, cioè \frac{9}{4}π\sqrt{2}. L’intersezione tra il piano e la paraboloide è l’elisse di equazione {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}, z = 2 − x\}.

4. Sia S la superficie di equazione

z = \begin{cases}9 − x^{2} − y^{2} & se z ≥ 0, \\ −\sqrt{9 − x^{2} − y^{2}} & se z ≤ 0. \end{cases}

Sia F⃗ = (x^{3}, y^{3}, z^{3}). Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (F⃗ , ν) dσ, specificando esplicitamente la direzione del versore normale ν. Soluzione: Applichiamo il Teorema della Divergenza, dove divF⃗ = 3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 3(r^{2} + z^{2}) utilizzando le coordinate cilindriche. Risulta

∫∫∫_{V} divF⃗ dxdydz = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{3} r dr ∫_{−\sqrt{9−r^{2}}}^{9−r^{2}} 3(r^{2} + z^{2})

= 2π ∫_{0}^{3} r dr ∫_{−\sqrt{9−r^{2}}}^{9−r^{2}} 3(r^{2} + z^{2}) = 2π ∫_{0}^{3} (3r^{3}[−\sqrt{9 − r^{2}} + (9 − r^{2})]

+ r[−(9 − r^{2})^{3/2} + (9 − r^{2})^{3}]) dr.

Sostituendo r = 3 sin α risulta

∫∫∫_{V} divF⃗ dxdydz = 2π ∫_{0}^{π/2} (−729 sin^{3} α cos^{2} α + 2187 sin^{3} α cos^{3} α

− 243 sin α cos^{4} α + 6561 sin α cos^{7} α) dα = 2π [(243 cos^{3} α − \frac{729}{5} cos^{5} α)

+ (\frac{2187}{4} sin^{4} α − \frac{2187}{6} sin^{6} α) + \frac{243}{5} cos^{5} α − \frac{6561}{8} cos^{8} α]_{α=0}^{π/2}

= 2π (−243 + \frac{729}{5} + \frac{2187}{4} − \frac{2187}{6} − \frac{243}{5} + \frac{6561}{8}) = \frac{41553}{20}π.

5. Sia S la superficie

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, z ≥ −1}.

Sia F⃗ = (y^{4}, z^{3}, x^{2}). Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, specificando esplicitamente la direzione del versore normale ν. Soluzione: Invece della S si può prendere S = {(x, y, −1) : x^{2}+y^{2} ≤ 3} senza cambiare il risultato, poichè quest’ultimo dipende soltanto dalla frontiera ∂S. Scegliendo ν = (0, 0, 1) e avendo rot F⃗ = (−3z^{2}, −2x, −4y^{3}), abbiamo

∫∫_{S}(rot F⃗ , ν) dσ = ∫∫_{{(x,y):x^{2}+y^{2}≤3}} (−4y^{3}) dx dy = 0,

poichè −4y^{3} è dispari rispetto a y e non dipende da x, mentre il dominio di integrazione non cambia sotto le trasformazioni y ↦ −y e x ↦ −x.

6. Consideriamo la trasformazione f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definita da

f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), u = x^{2} − y^{2}, v = xy.

Trovare tutti i punti (u, v) ∈ ℝ^{2} che hanno un intorno U in cui esiste la funzione inversa f^{−1} : U → X (con X ⊂ ℝ^{2}). Soluzione: Si calcoli prima la matrice Jacobiana

\frac{∂(u, v)}{∂(x, y)} = (\begin{matrix}2x & y \\ −2y & x \end{matrix})

di determinante 2(x^{2} + y^{2}). Osserviamo ora che

u^{2} + 4v^{2} = (x^{2} − y^{2})^{2} + 4(xy)^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2}.

Dunque il determinante si annulla sse x = y = 0 sse u = v = 0. Quindi per ogni punto (u_{0}, v_{0}) = f(x_{0}, y_{0}) diverso dall’origine esistono un intorno W e una funzione g : V → ℝ^{2} tali che g(u_{0}, v_{0}) = (x_{0}, y_{0}) e f(g(u, v)) = (u, v) per (u, v) ∈ W. Si noti che ogni punto (u_{0}, v_{0}) ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)} ha due controimmagini (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)}.^{2}

2Ponendo x_{0} = r_{0} cos θ_{0} e y_{0} = r_{0} sin θ_{0} per r_{0} > 0, risultano r_{0} = \sqrt[4]{u_{0}^{2} + 4v_{0}^{2}}, cos 2θ_{0} = u_{0}/\sqrt{u_{0}^{2} + 4v_{0}^{2}} e sin 2θ_{0} = 2v_{0}/\sqrt{u_{0}^{2} + 4v_{0}^{2}}.