\documentclass[12pt]{article}
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\pagestyle{empty}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{24.02.2006. Chi ha
sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell'AA 
2003-2004, far\`a l'esercizio 2A. Chi l'ha sostenuto secondo il 
programma dell'AA 2004-2005, far\`a l'esercizio 2B.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(6)}-y=0.$$
\item[2A.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^\prime=\frac{x^2+2}{2(y+1)}.$$
Anche trovare la soluzione $y$ sotto la condizione iniziale $y(0)=-1$.
\item[2B.] Consideriamo la funzione periodica $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ di
periodo $T$ tale che $f(x)=x^2$ per $-T/2\le x\le T/2$.
\begin{itemize}
\item[a.] Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.
\item[b.] Calcolare la sua somma per ogni $x\in\mathbb{R}$. \`E uniformemente
convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.
\end{itemize}
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
sotto il vincolo $x+2y+3z=6$. Interpretare il risultato geometricamente.
\item[4.] Dimostrare, mediante il teorema del Dini, che la seguente equazione
$$F(x,y,z)=y+2x+\ln|xz|=0$$
definisce una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^1$ in un intorno del punto 
$(-1,2,1)$. Determinare il piano tangente alla superficie 
$\{(x,y,z):F(x,y,z)=0\}$ in questo punto.
\item[5.] Calcolare l'area della porzione della superficie sferica di equazione
$x^2+y^2+z^2=4$ interna al cilindro di equazione $x^2+y^2=2y$ e sopra il piano
$xy$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(y,2x,0)$$
e $S$ \`e la porzione della superficie sferica
$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ che si trova sopra il piano $z=0$. Indicare al quale 
versore normale corrisponde il risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=\left(3t,4t,\frac{5}{2}[e^t-e^{-t}]\right),\qquad 0\le t\le2.$$
\end{itemize}
\vskip 12pt

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per gli 
esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l'esercizio 7.

\end{document}
