\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[italian]{babel}
%\pagestyle{empty}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{16.06.2006.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(7)}+y^{(6)}+y^\prime+y=0.$$
\item[2.] Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier
della funzione $f(x)=x^2$ ($-\frac{T}{2}<x\le\frac{T}{2}$) di periodo $T$.
In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier, la somma della serie e
spiegare in quali sottointervalli $[a,b]$ di $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ \`e
uniformemente convergente la sua serie di Fourier.
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
sotto i due vincoli $x+2y+3z=6$ e $x+y+z=3$. Interpretare il risultato
geometricamente.
\item[4.] Consideriamo la funzione $f:\R^3\to\R^3$ definita da
\begin{align*}
f(x,y,z)&=(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))\\
&=(w\sin u\sin v,w\sin u\cos v,-w\cos u).
\end{align*}
Per quali punti $(u,v,w)\in\R^2$ esiste un intorno in cui si pu\`o definire la
funzione inversa $f^{-1}$?
\item[5.] Calcolare l'area della porzione dell'iperboloide $z=2xy$ all'interno
del cilindro $x^2+y^2=4$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$\vec{\boldsymbol{F}}=(y^2,z^2,x^2)$ e $S$ \`e la porzione della paraboloide
$z=16-x^2-y^2$ che si trova sopra il piano $z=0$. Indicare al quale versore 
normale corrisponde il risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=(3t\cos(t),3t\sin(t),4t\sqrt{t}),\qquad 0\le t\le 2.$$
\end{itemize}
\vskip 12pt

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli 
altri esercizi.

\vskip 36pt

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{8.07.2006. Chi ha
sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell'AA 
2003-2004, far\`a l'esercizio 2A. Chi l'ha sostenuto secondo il 
programma dell'AA 2004-2005, far\`a l'esercizio 2B.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(6)}-8y^{(4)}+16y^{\prime\prime}=0.$$
\item[2A.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^\prime=2x\,\text{tg}(y)$$
e indicare la soluzione che verifica la condizione $y(\pi)=0$.
\item[2B.] Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier
della funzione $f(x)=\cosh(x)$ ($-\frac{T}{2}<x\le\frac{T}{2}$) di periodo $T$.
In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier e la somma della serie.
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
sotto il vincolo $x+2y+3z=6$ e interpretare il risultato geometricamente.
\item[4.] Dimostrare, mediante il teorema del Dini, che la seguente equazione
$$F(x,y,z)=y+2x+\ln|xz|=0$$
definisce una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^1$ in un intorno del punto 
$(-1,2,-1)$. Determinare il piano tangente alla superficie 
$\{(x,y,z):F(x,y,z)=0\}$ in questo punto.
\item[5.] Calcolare l'area della porzione della superficie sferica di equazione
$x^2+y^2+z^2=4$ interna al cilindro di equazione $x^2+y^2=-2y$ e sopra il piano
$xy$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(-y^3,x^3,0)$$
e $S$ \`e la porzione della paraboloide
$z=4-x^2-y^2$ che si trova sopra il piano $z=0$. Indicare al quale versore 
normale corrisponde il risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=(\cos(t),\sin(t),\frac{2}{3}t^{3/2}),\qquad 0\le t\le2.$$
\end{itemize}

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli 
altri esercizi.

\vskip 36pt

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{8.07.2006}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(6)}+13y^{(4)}+36y^{\prime\prime}=0.$$
\item[2.] Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier
della funzione $f(x)=\sinh(x)$ ($-\frac{T}{2}<x\le\frac{T}{2}$) di periodo $T$.
In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier e la somma della serie.
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
sotto il vincolo $5x-y-z=2$ e interpretare il risultato geometricamente.
\item[4.] Dimostrare, mediante il teorema del Dini, che la seguente equazione
$$F(x,y,z)=x-2y+\ln|yz|=0$$
definisce una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^1$ in un intorno del punto 
$(2,1,1)$. Determinare il piano tangente alla superficie 
$\{(x,y,z):F(x,y,z)=0\}$ in questo punto.
\item[5.] Calcolare l'area della porzione del cilindro di equazione
$x^2+y^2=2y$ interno alla sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=4$ e sopra il piano
$z=0$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(-2y,2x,0)$$
e $S$ \`e la porzione della paraboloide $z=4-x^2-y^2$ che si trova sopra il 
piano $z=0$. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=(\frac{2}{3}t^{3/2},\sin(t),\cos(t)),\qquad 0\le t\le3.$$
\end{itemize}

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli 
altri esercizi.

\vskip 36pt

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{22.09.2006. Chi ha
sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell'AA 
2003-2004, far\`a l'esercizio 2A. Chi l'ha sostenuto secondo il 
programma dell'AA 2004-2005, far\`a l'esercizio 2B.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(6)}=64y.$$
\item[2A.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^\prime=2x\,\text{cos}^2(y).$$
Quali sono le sue soluzioni costanti?
\item[2B.] Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier
della funzione $f(x)=(\frac{T}{2}-|x|)^2$ ($-\frac{T}{2}<x\le\frac{T}{2}$) di
periodo $T$. In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier e la somma
della serie.
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x+2y+3z$
sotto il vincolo $x^2+y^2+z^2=1$ e interpretare il risultato geometricamente.
\item[4.] Consideriamo la funzione $f:\R^3\to\R^3$ definita da
\begin{align*}
f(x,y,z)&=(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))\\
&=(u^2\cos v,u^2\sin v\sin w,u^2\sin v\cos w).
\end{align*}
Per quali punti $(u,v,w)\in\R^2$ esiste un intorno in cui si pu\`o definire la
funzione inversa $f^{-1}$?
\item[5.] Calcolare l'area della porzione del piano di equazione $x+2y+3z=6$
interna al cilindro di equazione $x^2+y^2=1$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(x,2z,3y),$$
$$S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z=9, z\ge 5\}.$$
Specificare la direzione del versore normale.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=(\cos(t),\sin(t),\cosh(t)),\qquad -\pi\le t\le\pi.$$
Stabilire se la curva \`e chiusa, regolare, semplice.
\end{itemize}

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli 
altri esercizi.

\vskip 36pt

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{2.02.2007. Chi ha
sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell'AA 
2003-2004, far\`a l'esercizio 2A. Chi l'ha sostenuto secondo il 
programma dell'AA 2004-2005, far\`a l'esercizio 2B.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(7)}+64y^\prime=0.$$
\item[2A.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^\prime=x\,\text{cotg}\,y.$$
\item[2B.] Consideriamo la funzione periodica $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ di
periodo $T$ tale che $f(x)=x$ per $-T/2\le x< T/2$.
\begin{itemize}
\item[a.] Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.
\item[b.] Calcolare la sua somma per ogni $x\in\mathbb{R}$. \`E uniformemente
convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.
\end{itemize}
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
sotto il vincolo $3x+2y+z=12$. Interpretare il risultato geometricamente.
\item[4.] Consideriamo la forma differenziale
$$\dfrac{1}{2}\log(x^2+y^2)\,dx-\text{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right)\,dy.$$
\begin{itemize}
\item[a.] \`E chiusa?
\item[b.] \`E esatta nel dominio $\Omega=\mathbb{C}\setminus\{0\}$?
\item[c.] \`E esatta nel dominio $\Omega=\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$?
\end{itemize}
Motivare le tre risposte.
\item[5.] Calcolare l'area della porzione della superficie sferica di 
equazione $x^2+y^2+z^2=4$ per $z\ge0$ interna al cilindro di equazione 
$x^2+y^2=1$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(z,x,y)$$
e $S$ \`e la porzione della paraboloide
$z=4-x^2-y^2$ per cui $0\le z\le 3$. Indicare al quale versore normale
corrisponde il risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=(t,\cos\alpha\cosh t,\sin\alpha\cosh t),\qquad 0\le t\le\ln(3),$$
al variare di $\alpha$.
\end{itemize}
\vskip 12pt

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per
gli esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l'esercizio 7.

\vskip 36pt

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{23.02.2007. Chi ha
sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell'AA 
2003-2004, far\`a l'esercizio 2A. Chi l'ha sostenuto secondo il 
programma dell'AA 2004-2005, far\`a l'esercizio 2B.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(7)}+13y^{(5)}+36y^{(3)}=0.$$
\item[2A.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^\prime=2x\,\text{tg}\,y.$$
\item[2B.] Consideriamo la funzione periodica $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ di
periodo $T$ tale che $f(x)=|x|$ per $-T/2\le x< T/2$.
\begin{itemize}
\item[a.] Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.
\item[b.] Calcolare la sua somma per ogni $x\in\mathbb{R}$. \`E uniformemente
convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.
\end{itemize}
\item[3.] Calcolare il minimo (assoluto) della funzione $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
sotto il vincolo $x+2y+5z=22$. Interpretare il risultato geometricamente.
\item[4.] Consideriamo la forma differenziale
$$\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx+\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}dy.$$
\begin{itemize}
\item[a.] \`E chiusa?
\item[b.] \`E esatta nel dominio $\Omega=\mathbb{C}\setminus\{0\}$?
\item[c.] \`E esatta nel dominio $\Omega=\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$?
\end{itemize}
Motivare le tre risposte.
\item[5.] Calcolare l'area della porzione della superficie parabolica di 
equazione $x^2+y^2+z=4$ interna al cilindro di equazione $x^2+y^2=1$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(z^2,x^2,y^2),\qquad S=\{(x,y,z):z=4-x^2-y^2, z\ge 3\}.$$
Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza del grafico della funzione $f(x)=x^2+2x+1$ per
$0\le x\le 1$.
\end{itemize}
\vskip 12pt

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per
gli esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l'esercizio 7.

\end{document}
