Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{1}

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(7)} + y^{(6)} + y′ + y = 0.

2. Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier della funzione f(x) = x^{2} (−\frac{T}{2} < x ≤ \frac{T}{2} ) di periodo T. In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier, la somma della serie e spiegare in quali sottointervalli [a, b] di [−\frac{T}{2} , \frac{T}{2} ] è uniformemente convergente la sua serie di Fourier.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} sotto i due vincoli x + 2y + 3z = 6 e x + y + z = 3. Interpretare il risultato geometricamente.

4. Consideriamo la funzione f : ℝ^{3} → ℝ^{3} definita da

f(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))
= (w sin u sin v, w sin u cos v, −w cos u).

Per quali punti (u, v, w) ∈ ℝ^{2} esiste un intorno in cui si può definire la funzione inversa f^{−1}?

5. Calcolare l’area della porzione dell’iperboloide z = 2xy all’interno del cilindro x^{2} + y^{2} = 4.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (F⃗ , ν) dσ, dove F⃗ = (y^{2}, z^{2}, x^{2}) e S è la porzione della paraboloide z = 16 − x^{2} − y^{2} che si trova sopra il piano z = 0. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

7. Calcolare la lunghezza della curva

φ(t) = (3t cos(t), 3t sin(t), 4t\sqrt{t}), 0 ≤ t ≤ 2.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli altri esercizi.

116.06.2006.

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(6)} − 8y^{(4)} + 16y′′ = 0.

2A. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y′ = 2x tg(y)

e indicare la soluzione che verifica la condizione y(π) = 0.

2B. Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier della funzione f(x) = cosh(x) (−\frac{T}{2} < x ≤ \frac{T}{2} ) di periodo T. In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier e la somma della serie.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} sotto il vincolo x + 2y + 3z = 6 e interpretare il risultato geometricamente.

4. Dimostrare, mediante il teorema del Dini, che la seguente equazione

F (x, y, z) = y + 2x + ln |xz| = 0

definisce una funzione z = f(x, y) di classe C^{1} in un intorno del punto (−1, 2, −1). Determinare il piano tangente alla superficie {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0} in questo punto.

5. Calcolare l’area della porzione della superficie sferica di equazione x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 interna al cilindro di equazione x^{2} + y^{2} = −2y e sopra il piano xy.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (−y^{3}, x^{3}, 0)

e S è la porzione della paraboloide z = 4 − x^{2} − y^{2} che si trova sopra il piano z = 0. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

28.07.2006. Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell’AA 2003-2004, farà l’esercizio 2A. Chi l’ha sostenuto secondo il programma dell’AA 2004-2005, farà l’esercizio 2B.

7. Calcolare la lunghezza della curva

φ(t) = (cos(t), sin(t), \frac{2}{3}t^{3/2}), 0 ≤ t ≤ 2.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli altri esercizi.

Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{3}

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(6)} + 13y^{(4)} + 36y′′ = 0.

2. Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier della funzione f(x) = sinh(x) (−\frac{T}{2} < x ≤ \frac{T}{2} ) di periodo T. In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier e la somma della serie.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} sotto il vincolo 5x−y−z = 2 e interpretare il risultato geometricamente.

4. Dimostrare, mediante il teorema del Dini, che la seguente equazione

F (x, y, z) = x − 2y + ln |yz| = 0

definisce una funzione z = f(x, y) di classe C^{1} in un intorno del punto (2, 1, 1). Determinare il piano tangente alla superficie {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0} in questo punto.

5. Calcolare l’area della porzione del cilindro di equazione x^{2} + y^{2} = 2y interno alla sfera di equazione x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 e sopra il piano z = 0.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (−2y, 2x, 0)

e S è la porzione della paraboloide z = 4 − x^{2} − y^{2} che si trova sopra il piano z = 0. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

38.07.2006

φ(t) = (\frac{2}{3}t^{3/2}, sin(t), cos(t)), 0 ≤ t ≤ 3.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli altri esercizi.

Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{4}

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(6)} = 64y.

2A. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y′ = 2x cos^{2}(y).

Quali sono le sue soluzioni costanti?

2B. Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier della funzione f(x) = (\frac{T}{2} − |x|)^{2} (−\frac{T}{2} < x ≤ \frac{T}{2} ) di periodo T. In particolare, calcolare i coefficienti di Fourier e la somma della serie.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x + 2y + 3z sotto il vincolo x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 e interpretare il risultato geometricamente.

4. Consideriamo la funzione f : ℝ^{3} → ℝ^{3} definita da

f(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))
= (u^{2} cos v, u^{2} sin v sin w, u^{2} sin v cos w).

Per quali punti (u, v, w) ∈ ℝ^{2} esiste un intorno in cui si può definire la funzione inversa f^{−1}?

422.09.2006. Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell’AA 2003-2004, farà l’esercizio 2A. Chi l’ha sostenuto secondo il programma dell’AA 2004-2005, farà l’esercizio 2B.

5. Calcolare l’area della porzione del piano di equazione x + 2y + 3z = 6 interna al cilindro di equazione x^{2} + y^{2} = 1.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (x, 2z, 3y),
S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z = 9, z ≥ 5}.

Specificare la direzione del versore normale.

7. Calcolare la lunghezza della curva

φ(t) = (cos(t), sin(t), cosh(t)), −π ≤ t ≤ π.

Stabilire se la curva è chiusa, regolare, semplice.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 4 e 6, 4 pt. per gli altri esercizi.

Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{5}

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(7)} + 64y′ = 0.

2A. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y′ = x cotg y.

2B. Consideriamo la funzione periodica f : ℝ → ℝ di periodo T tale che f(x) = x per −T/2 ≤ x < T/2.

a. Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.

b. Calcolare la sua somma per ogni x ∈ ℝ. È uniformemente convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.

52.02.2007. Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell’AA 2003-2004, farà l’esercizio 2A. Chi l’ha sostenuto secondo il programma dell’AA 2004-2005, farà l’esercizio 2B.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} sotto il vincolo 3x + 2y + z = 12. Interpretare il risultato geometricamente.

4. Consideriamo la forma differenziale

\frac{1}{2} log(x^{2} + y^{2}) dx − arctg (\frac{y}{x}) dy.

a. È chiusa?

b. È esatta nel dominio Ω = ℂ \ {0}?

c. È esatta nel dominio Ω = ℂ \ (−∞, 0]?

Motivare le tre risposte.

5. Calcolare l’area della porzione della superficie sferica di equazione x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 per z ≥ 0 interna al cilindro di equazione x^{2} + y^{2} = 1.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (z, x, y)

e S è la porzione della paraboloide z = 4 − x^{2} − y^{2} per cui 0 ≤ z ≤ 3. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

7. Calcolare la lunghezza della curva

φ(t) = (t, cos α cosh t, sin α cosh t), 0 ≤ t ≤ ln(3),

al variare di α.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per gli esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l’esercizio 7.

Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{6} 1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

623.02.2007. Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell’AA 2003-2004, farà l’esercizio 2A. Chi l’ha sostenuto secondo il programma dell’AA 2004-2005, farà l’esercizio 2B.

y^{(7)} + 13y^{(5)} + 36y^{(3)} = 0.

2A. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y′ = 2x tg y.

2B. Consideriamo la funzione periodica f : ℝ → ℝ di periodo T tale che f(x) = |x| per −T/2 ≤ x < T/2.

a. Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.

b. Calcolare la sua somma per ogni x ∈ ℝ. È uniformemente convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} sotto il vincolo x + 2y + 5z = 22. Interpretare il risultato geometricamente.

4. Consideriamo la forma differenziale

\frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx + \frac{2xy}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dy.

a. È chiusa?

b. È esatta nel dominio Ω = ℂ \ {0}?

c. È esatta nel dominio Ω = ℂ \ (−∞, 0]?

Motivare le tre risposte.

5. Calcolare l’area della porzione della superficie parabolica di equazione x^{2} + y^{2} + z = 4 interna al cilindro di equazione x^{2} + y^{2} = 1.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (z^{2}, x^{2}, y^{2}), S = {(x, y, z) : z = 4 − x^{2} − y^{2}, z ≥ 3}.

Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

7. Calcolare la lunghezza del grafico della funzione f(x) = x^{2} + 2x + 1 per 0 ≤ x ≤ 1.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per gli esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l’esercizio 7.