PROGRAMMA DEL CORSO

DI ANALISI MATEMATICA 4 (A.A. 2006-2007)

Libro di testo:

Argomenti:

  1. Equazioni differenziali
    1. Cap. IV.2.4: Equazioni differenziali a coefficienti costanti di ordine superiore di 2 [Teorema 2.4]
    2. Richiamo delle radici dell'unità
  2. Integrali curvilinei e forme differenziali
    1. Cap. II.1.1.1: Prodotti scalare, vettoriale e misto.
    2. Cap. II.1.1.2-II.1.1.3: Curve piane e spaziali, curve semplici e chiuse, curve regolari e regolari a tratti, velocità, versore tangente, retta tangente
    3. Cap. II.1.1.4-II.1.1.5: Curve equivalenti, cambio di parametrizzazione, curve rettificabili e lunghezza, lunghezza delle curve regolari
    4. Calcolo della lunghezza di una curva in coordinate cartesiane e polari.
    5. Cap. II.1.2.1: Integrali curvilinei. In due e in tre dimensioni.
    6. Cap. II.1.1.1: Gradiente, divergenza e rotore.
    7. Cap. II.1.2.2: Forma differenziale in due e tre variabili, integrale curvilineo di una forma differenziale, forma differenziale esatta e potenziale, integrale curvilineo di una forma differenziale esatta lungo una curva regolare chiusa
    8. Cap. II.1.2.3: Forma differenziale esatta e campo vettoriale irrotazionale, esattezza in un dominio stellato
    9. Cap. II.1.2.4: Insiemi semplicemente connessi, domini stellati
  3. Serie di funzioni
    1. Cap. II.3.1.2: Convergenza puntuale e uniforme delle funzioni, criterio di Cauchy
    2. Cap. II.3.1.3: Convergenza uniforme e limitatezza (Proposizione 1.3), convergenza uniforme e continuità (Corollario 1.5), convergenza uniforme e scambio limite-integrale (Teorema 1.8), convergenza uniforme e scambio limite-derivata (Teorema 1.7)
    3. Cap. II.3.2.1: Convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di funzioni, convergenza uniforme e continuità (Corollario 2.4), convergenza uniforme e scambio sommatoria-integrale (Teorema 2.7), convergenza uniforme e scambio sommatoria-derivazione (Teorema 2.5)
    4. Cap. II.3.2.2: Serie di potenze: Raggio di convergenza, due espressioni per il raggio di convergenza, integrazione e derivazione termine a termine, teorema di Abel (Teorema 2.14, senza la dimostrazione), sviluppi di Taylor, serie notevoli: ex, cos(x), sen(x), log(1+x), (1+x)a, cosh(x), senh(x)
    5. Cap II.3.2.4-II.3.2.5: Serie di Fourier: funzioni periodiche, condizione sufficiente per la convergenza totale, espressioni per i coefficienti (anche per le funzioni pari e dispari), convergenza in media quadratica, disuguaglianza di Bessel, convergenza totale per le funzioni continue (e regolari a tratti), valore della somma nei salti
  4. Superfici
    1. Cap. II.6.1.1: Superfici, superfici regolari
    2. Cap. II.6.1.2: Bordo di una superficie, superfici chiuse, superfici a pezzi
    3. Cap. II.6.1.3-II.6.1.4: Superfici regolari: coordinate locali, versore normale e piano tangente, orientazione, nastro di Mòbius
    4. Cap. II.6.1.6: Area delle Superfici regolari, casi particolari (sottosuperfici di un piano, superfici di rotazione), integrali superficiali
  5. Teoremi di Green, Stokes e Gauss
    1. Cap. II.6.3.1: Teorema di Gauss-Green nel piano [dimostrazione breve nel caso di un dominio normale convesso]
    2. Cap. II.6.3.2-II.6.3.3: Teorema di Stokes [Teorema 3.2 (II), Teorema 3.5, senza le dimostrazioni]
    3. Cap. II.6.3.4: Potenziale vettore, domini fortemente connessi (in particolare, domini stellati)
    4. Cap II.6.3.5: Teorema delle divergenza [Teorema 3.9]
  6. Funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange
    1. Cap. I.7.3.1-I.7.3.2: Funzioni implicite, Teorema di Dini [per g(x,y)=0], retta tangente [nel caso g(x,y)=0]
    2. Cap. I.7.3.5: Teorema delle funzioni implicite in più di due variabili, piano tangente [nel caso g(x,y,z)=0]
    3. Cap. I.7.3.6: Funzioni definite da un sistema di equazioni, Teorema delle funzioni inverse, Jacobiano
    4. Cap. II.2.2.1: Massimi e minimi vincolati di una funzione di due o tre variabili
    5. Cap. II.2.2.2: Massimi e minimi di funzioni di n variabili con m vincoli

Argomenti dei parziali:

  1. primo parziale: equazioni differenziali di ordine superiore di 2, serie di funzioni, integrali curvilinei, forme differenziali
  2. superfici e integrali di superficie, funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange.