PROGRAMMA DEL CORSO

DI ANALISI MATEMATICA 4 (A.A. 2003-2004)

Argomenti:

  1. Equazioni differenziali
    1. risolvere equazioni lineari omogenee di ordine superiore di 2.
  2. Serie di funzioni
    1. Convergenza uniforme e totale delle serie di funzioni
    2. Integrazione e derivazione delle serie di funzioni uniformemente convergenti
    3. Serie di potenze: Raggio di convergenza, integrazione e derivazione termine a termine, sviluppi di Taylor, serie notevoli: ex, cos(x), sen(x), log(1+x), (1+x)a
    4. Serie di Fourier: funzioni periodiche, identità di Parseval, convergenza totale per le funzioni continue e regolari a tratti, valore della somma nei salti
  3. Integrali curvilinei e forme differenziali
    1. curve regolari (a tratti): parametrizzazione. Curve chiuse e semplici. Orientamento. In due e in tre dimensioni.
    2. curve regolari: lunghezza. Calcolo in coordinate cartesiane e polari. In due e in tre dimensioni.
    3. integrali curvilinei. In due e in tre dimensioni.
    4. forme differenziali esatte e chiuse. Calcolo della primitiva. In due e in tre variabili [esercizi sul calcolo della primitiva soltanto in due variabili].
    5. domini stellati e semplicemente connessi (intuitivamente).
  4. Integrali doppi e tripli
    1. domini normali rispetto alle variabili x e y.
    2. calcolo degli integrali doppi e tripli.
    3. integrali doppi in coordinate polari.
    4. integrali tripli in coordinate cilindriche e sferiche.
    5. volume del solido di rotazione.
    6. teoremi della divergenza, di Stokes e di Green nel piano.
    7. forme differenziali esatte e chiuse in due variabili.
    8. cambiamento di variabili negli integral doppi e tripli [esercitazioni soltanto per le coordinate polari, cilindriche e sferiche].
  5. Superfici e integrali di suoerficie
    1. superfici regolari: parametrizzazione. Casi (x,y)-->(x,y,f(x,y)) e (r,t)-->(r cos t,r sin t,g(r,t)).
    2. superfici regolari: versore normale e piano tangente.
    3. superfici regolari: area. Caso particolare: superfici di rotazione.
    4. teorema della divergenza.
    5. teorema di Stokes.
    6. caso particolare (F3=0, F1 e F2 non dipendono da x e y): teorema di Green.
    7. forme differenziali esatte e chiuse utilizzando gradiente e rotore.
    8. forme differenziale con potenziale vettore e solenoidali utilizzando rotore e divergenza [senza dover calcolare il potenziale vettore].
  6. Funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange
    1. teorema delle funzioni implicite nei seguenti casi: a) F(x,y)=0, b) F(x,y,z)=0, c) F(x1,...,xn,y)=0 [senza esercitazioni], d) sistemi del tipo F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=0.
    2. retta tangente nel caso F(x,y)=0, piano tangente nel caso F(x,y,z)=0.
    3. teorema delle funzioni inverse nei seguenti casi: a) y=f(x), b) yi=fi(x1,...,xn) per i=1,...,n [esercitazioni solo per n=2,3].
    4. massimi e minimi vincolati di una funzione di due o tre variabili.

Argomenti dei parziali:

  1. primo parziale: equazioni differenziali di ordine superiore di 2, serie di funzioni, integrali curvilineai e forme differenziali, integrali doppi (incluso l'use delle coordinate polari).
  2. integrali doppi e tripli, superfici e integrali di superficie, funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange.

Per gli studenti che hanno sostenuto l'esame di analisi matematica 3 secondo i programmi in vigore prima dell'AA 2004-2005 è possibile sostenere l'esame di analisi matematica 4 secondo i programmi in vigore prima dell'AA 2004-2005.

Libro di testo: