\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\pagestyle{empty}

\begin{document}

\centerline{Secondo Parziale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{4.06.2007. Cinque punti
per esercizio.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare il minimo assoluto ed il massimo assoluto della funzione
$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$
nel dominio $D=\{(x,y,z)\in\R^3:(x-3)^2+(y-4)^2+z^2\le36\}$.
\item[2.] Determinare l'equazione del piano tangente alla conica di equazione
$z=x^2+4y^2-4xy$ nel punto $(2,1,0)$.
\item[3.] Calcolare l'area della porzione della paraboloide $z=x^2+y^2$
all'interno del cilindro $\{(x,y,z)\in\R^3:(x-1)^2+y^2\le4\}$.
\item[4.] Sia $S$ la superficie di frontiera del dominio
$$D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:-4+\sqrt{x^2+y^2}<z<4-\sqrt{x^2+y^2}
\right\}.$$
Sia $\vec{\boldsymbol{F}}=(x^3+y^3,y^3+z^3,z^3+x^3)$. Calcolare l'integrale di
superficie $\iint_S\,(\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, specificando
esplicitamente la direzione del versore normale $\nu$.
\item[5.] Sia $S$ la superficie
$$\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2=z^2+9,\ 0\le z\le 4\}.$$
Sia $\vec{\boldsymbol{F}}=(x^2,z^3,x^2)$. Calcolare l'integrale di superficie
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, specificando
esplicitamente la direzione del versore normale $\nu$.
\item[6.] Consideriamo la conica di equazione
$$g(x,y,z)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}x^2+2xz+y^2-2yz+4z^2-4xy+2x+4y-6z=0.$$
Trovare l'equazione del piano tangente all'origine. Esiste una funzione
$z=f(x,y)$ di classe $C^1$ tale che $g(x,y,f(x,y))=0$ in un intorno
dell'origine? Perch\`e si o perch\`e no?
\end{itemize}

\newpage

\centerline{Secondo Parziale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{Versione 2: 11.06.2007.
Cinque punti per esercizio.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare il minimo assoluto ed il massimo assoluto della funzione
$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$
nel dominio $D=\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+(y-7)^2+(z-24)^2\le400\}$.
\item[2.] Determinare l'equazione del piano tangente alla conica di equazione
$z^2=x^2-4y^2+1$ nel punto $(0,0,1)$.
\item[3.] Calcolare l'area della porzione del cono $z=3-\sqrt{x^2+y^2}$
all'interno del cilindro $\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2\le4\}$.
\item[4.] Sia $S$ la superficie di frontiera del dominio
$$D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le z\le\sqrt{25-x^2-y^2}\right\}.$$
Sia $\vec{\boldsymbol{F}}=(x^3+y^3,y^3+x^3,z+\cos(xy))$. Calcolare l'integrale
di superficie $\iint_S\,(\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, specificando
esplicitamente la direzione del versore normale $\nu$.
\item[5.] Sia $S$ la superficie
$$\{(x,y,z)\in\R^3:z=2-\sqrt{x^2+y^2}, z\ge0\}.$$
Sia $\vec{\boldsymbol{F}}=(z,x,y)$. Calcolare l'integrale di superficie
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, specificando
esplicitamente la direzione del versore normale $\nu$.
\item[6.] Consideriamo la conica di equazione
$$g(x,y,z)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}x^2+2xz+2y^2-6yz+3z^2-2xy+6x-2y+4z=0.$$
Trovare l'equazione del piano tangente all'origine. Esiste una funzione
$y=f(x,z)$ di classe $C^1$ tale che $f(0,0)=0$ e $g(x,f(x,z),z)=0$ in un intorno
dell'origine? Perch\`e si o perch\`e no?
\end{itemize}

\end{document}
