Secondo Parziale del Corso di Analisi Matematica 4^{1}

1. Calcolare il minimo assoluto ed il massimo assoluto della funzione

f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

nel dominio D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x − 3)^{2} + (y − 4)^{2} + z^{2} ≤ 36}.

2. Determinare l’equazione del piano tangente alla conica di equazione z = x^{2} + 4y^{2} − 4xy nel punto (2, 1, 0).

3. Calcolare l’area della porzione della paraboloide z = x^{2} + y^{2} all’interno del cilindro {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x − 1)^{2} + y^{2} ≤ 4}.

4. Sia S la superficie di frontiera del dominio

D = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : −4 + \sqrt{x^{2} + y^{2}} < z < 4 − \sqrt{x^{2} + y^{2}}\} .

Sia F⃗ = (x^{3} + y^{3}, y^{3} + z^{3}, z^{3} + x^{3}). Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (F⃗ , ν) dσ, specificando esplicitamente la direzione del versore normale ν.

5. Sia S la superficie

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = z^{2} + 9, 0 ≤ z ≤ 4}.

Sia F⃗ = (x^{2}, z^{3}, x^{2}). Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, specificando esplicitamente la direzione del versore normale ν.

6. Consideriamo la conica di equazione

g(x, y, z) =^{def} x^{2} + 2xz + y^{2} − 2yz + 4z^{2} − 4xy + 2x + 4y − 6z = 0.

Trovare l’equazione del piano tangente all’origine. Esiste una funzione z = f(x, y) di classe C^{1} tale che g(x, y, f(x, y)) = 0 in un intorno dell’origine? Perchè si o perchè no?

14.06.2007. Cinque punti per esercizio.

1. Calcolare il minimo assoluto ed il massimo assoluto della funzione

f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

nel dominio D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + (y − 7)^{2} + (z − 24)^{2} ≤ 400}.

2. Determinare l’equazione del piano tangente alla conica di equazione z^{2} = x^{2} − 4y^{2} + 1 nel punto (0, 0, 1).

3. Calcolare l’area della porzione del cono z = 3 − \sqrt{x^{2} + y^{2}} all’interno del cilindro {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ 4}.

4. Sia S la superficie di frontiera del dominio

D = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ z ≤ \sqrt{25 − x^{2} − y^{2}}\} .

Sia F⃗ = (x^{3} + y^{3}, y^{3} + x^{3}, z + cos(xy)). Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (F⃗ , ν) dσ, specificando esplicitamente la direzione del versore normale ν.

5. Sia S la superficie

\{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z = 2 − \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z ≥ 0\}.

Sia F⃗ = (z, x, y). Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, specificando esplicitamente la direzione del versore normale ν.

6. Consideriamo la conica di equazione

g(x, y, z) =^{def} x^{2} + 2xz + 2y^{2} − 6yz + 3z^{2} − 2xy + 6x − 2y + 4z = 0.

Trovare l’equazione del piano tangente all’origine. Esiste una funzione y = f(x, z) di classe C^{1} tale che f(0, 0) = 0 e g(x, f(x, z), z) = 0 in un intorno dell’origine? Perchè si o perchè no?

2Versione 2: 11.06.2007. Cinque punti per esercizio.