Analisi Matematica 1 (Informatica, Università di Cagliari), 2006/2007

Parziale n. 1, 21.11. 2006, VERSIONE ..D.

Cognome e nome: ............................................................................................ Matricola: ..................

1. Trovare A, poi sup A, inf A e max A, min A (se esistono), dove a) A = {x ∈ IR : x^{2} − 4x − 12 < 0} ⋃{x ∈ IR : |x − 13| ≤ 7}.

b) A = {x ∈ IR : 5 < |x − 11| ≤ 7}.

2. Scrivere la formula del binomio di Newton per (ξ + η)^{79}. Trovare poi il coefficiente in fronte di y e y^{2} del polinomio (1 − 2y)^{79}.

3. Studiare i limiti delle successioni.

a) a_{n} = \frac{7n + 9}{10n} e dimostrare usando la definizione.

b) a_{n} = \frac{5 ^{3} \sqrt{n}(2 − 3n^{4}) + n^{21/6}}{2001 + 3n^{13/3}} .

c) ^{∗} a_{n} = \frac{4^{n+1} + 20n^{7} + 5}{4^{n} + 5n^{7}}. Inoltre, studiare se la successione è monotona. Ennunciare un teorema notevole per successioni monotone.

4. Trovare i limiti:

a) lim_{x→−∞}(\sqrt{4x^{2} − 9x} + 2x);

b) lim_{x→−2} \frac{(x^{2} + 7x + 10) ln(11 + x)}{sin(3x + 6) − 3^{x+2} + 1}. Potete risolvere mediante due metodi.

c)^{∗} lim_{t→0} (cos(6t))^{cotg^{2}(5t)}.

5. Sia f(x) = \{ \begin{matrix}μx^{2} + λx & se & x ∈ [2, 3] \\ x & se & x ∈ [−1, 2[ \\ λx − 2 & se & x ∈ [−2, −1[ \end{matrix} , essendo λ e μ parametri reali. Trovare tutte i λ e μ

t.c. f è continua in [−2, 3]. Per tali λ e μ trovare l’immagine di f.

6. Trovare f′(x) e scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x_{0}, f(x_{0})), dove a) f(x) = ln(8x^{2} + cos(6πx)), x_{0} = −1/2;

b) f(x) = 2x^{7x}, x_{0} = 1.

7. Sia f(x) = axb^{x}, dove a = − ln 16, b = 4.

i) Studiare il comporatmento di f per x → ±∞ (trovare lim_{x→±∞} f(x)).

ii) Trovare f′(x), massimi e minimi. Esistono massimi e/o minimi assoluti?

iii) trovare f′′(x) e studiare per intervalli di convessità, concavità, punti di flesso.

iv) Tracciare il grafico.