Analisi Matematica 1 (Informatica, Università di Cagliari), 2006/2007

Parziale n. 1, 21.11. 2006, VERSIONE ..C.

Cognome e nome: ............................................................................................ Matricola: ..................

1. Trovare A, poi sup A, inf A e max A, min A (se esistono), dove a) A = {x ∈ IR : x^{2} − 5x − 14 < 0} ⋃{x ∈ IR : |x − 16| ≤ 9}.

b) A = {x ∈ IR : 4 ≤ |x − 9| < 6}.

2. Scrivere la formula del binomio di Newton per (ξ + η)^{71}. Trovare poi il coefficiente in fronte di y e y^{2} del polinomio (1 − 3y)^{71}.

3. Studiare i limiti delle successioni.

a) a_{n} = \frac{6n − 11}{5n} e dimostrare usando la definizione.

b) a_{n} = \frac{^{4} \sqrt{n}(2 − 3n^{4}) + n^{21/5}}{2006 + 5n^{17/4}} .

c) ^{∗} a_{n} = \frac{9^{n+1} + 27n^{6} − 8}{9^{n} + 3n^{6}}. Inoltre, studiare se la successione è monotona. Ennunciare un teorema notevole per successioni monotone.

4. Trovare i limiti:

a) lim_{x→−∞}(\sqrt{9x^{2} − 7x} + 3x);

b) lim_{x→−3} \frac{(x^{2} + x − 6) ln(11 + x)}{sin(3x + 9) − 2^{x+3} + 1}. Potete risolvere mediante due metodi.

c)^{∗} lim_{t→0} (cos(4t))^{cotg^{2}(7t)}.

5. Sia f(x) = \{ \begin{matrix}μx^{2} + λx & se & x ∈ [2, 3] \\ −x & se & x ∈] − 1, 2[ \\ μx + 2 & se & x ∈ [−2, −1] \end{matrix} , essendo λ e μ parametri reali. Trovare tutte i λ e μ

t.c. f è continua in [−2, 3]. Per tali λ e μ trovare l’immagine di f.

6. Trovare f′(x) e scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x_{0}, f(x_{0})), dove a) f(x) = ln(4x^{2} − 3 sin(6πx)), x_{0} = −1/2;

b) f(x) = 2x^{5x}, x_{0} = 1.

7. Sia f(x) = axb^{−x}, dove a = ln 9, b = 3.

i) Studiare il comportamento di f per x → ±∞ (trovare lim_{x→±∞} f(x)).

ii) Trovare f′(x), massimi e minimi. Esistono massimi e/o minimi assoluti?

iii) trovare f′′(x) e studiare per intervalli di convessità, concavità, punti di flesso.

iv) Tracciare il grafico.