Analisi Matematica 1 (Informatica, Università di Cagliari), 2006/2007

Parziale n. 1, 21.11. 2006, VERSIONE ..B.

Cognome e nome: ............................................................................................ Matricola: ..................

1. Trovare A, poi sup A, inf A e max A, min A (se esistono), dove a) A = {x ∈ IR : x^{2} − 9x − 10 < 0} ⋃{x ∈ IR : |x − 15| ≤ 5}.

b) A = {x ∈ IR : 4 < |x − 7| ≤ 5}.

2. Scrivere la formula del binomio di Newton per (ξ + η)^{77}. Trovare poi il coefficiente in fronte di z e z^{2} del polinomio (1 − 3z)^{77}.

3. Studiare i limiti delle successioni.

a) a_{n} = \frac{9n − 5}{4n} e dimostrare usando la definizione.

b) a_{n} = \frac{3 ^{4} \sqrt{n}(3 + n^{4}) − 11n^{25/6}}{2006 + 10n^{17/4}} .

c) ^{∗} a_{n} = \frac{4^{n+1} + 36n^{5} + 3}{4^{n} + 9n^{5}}. Inoltre, studiare se la successione è monotona. Ennunciare un teorema notevole per successioni monotone.

4. Trovare i limiti:

a) lim_{x→−∞}(\sqrt{9x^{2} + x} + 3x);

b) lim_{x→−3} \frac{3^{x+3} − 1 − sin(3x + 9)}{(x^{2} + 2x − 3) ln(9 + x)}. Potete risolvere mediante due metodi.

c)^{∗} lim_{t→0} (cos(4t))^{cotg^{2}(3t)}.

5. Sia f(x) = \{ \begin{matrix}μx^{2} + λx & se & x ∈ [1, 2] \\ −x & se & x ∈] − 2, 1[ \\ μx + 4 & se & x ∈ [−3, −2] \end{matrix} , essendo λ e μ parametri reali. Trovare tutte i λ e μ

t.c. f è continua in [−3, 2]. Per tali λ e μ trovare l’immagine di f.

6. Trovare f′(x) e scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x_{0}, f(x_{0})), dove a) f(x) = ln(9x^{2} − 3 sin(9πx)), x_{0} = −1/3;

b) f(x) = 5x^{2x}, x_{0} = 1.

7. Sia f(x) = axb^{x}, dove a = ln 9, b = 3.

i) Studiare il comportamento di f per x → ±∞ (trovare lim_{x→±∞} f(x)).

ii) Trovare f′(x), massimi e minimi. Esistono massimi e/o minimi assoluti?

iii) trovare f′′(x) e studiare per intervalli di convessità, concavità, punti di flesso.

iv) Tracciare il grafico.