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\def\ds{\displaystyle}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
Analisi Matematica 1 (Informatica, Universit\`a di Cagliari),  2006/2007\\
Parziale n.~1, 21.11. 2006, \hfill  {\bf VERSIONE ..A.}
%\footnote{cognome  ufficiale, 
%trasliterazione in francese dal cirillico.} (Gramchev\footnote{cognome 
%professionale, usato per ricerca, pubblicazioni, seminari  ecc., 
%trasliterazione in inglese 
%dal cirillico.})
\end{center}

\vspace{10pt}

\noindent
Cognome e nome:
............................................................................................
Matricola: ..................



\vspace{10pt}


\noindent
1. Trovare $A$, poi  $\sup A$, $\inf A$ e  $\max A $, $\min A$ (se esistono),  dove 

a) $\ds A=  \{x\in \R: \,  x^2 -7x -8 \leq 0\} \bigcup 
\{ x\in \R: \,  |x -17| < 9\}$. 

b) $\ds A=  \{x\in \R: \,  3\leq  |x -4| < 5  \}$. 

%c)$^*$ $A = \{ \frac{3n-(-1)^n}{n} + 3^{(-1)^n n}: 
%\, n=1,2,\ldots\}$. 

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\noindent 
2. Scrivere la formula del binomio di Newton per $(\xi + \eta)^{73}$. 
Trovare poi il  coefficiente in fronte di $z$ e  $z^2$ del polinomio $\ds (1-2z)^{73}$. 
\vspace{8pt}



\noindent 
3. Studiare i limiti delle successioni.
\vspace{6pt}

a) $\ds a_n =  \frac{3n-7}{5n}$ e dimostrare usando la definizione. 
\vspace{6pt}

b)  $\ds a_n =  \frac{3 \sqrt[3]{n} (1+ n^4) -7n^{25/6} }{ 
2006 + 12n^{13/3} }$.
\vspace{6pt}

c) $^*$  $\ds a_n =  \frac{9^{n+1}  + 36n^4 -5}{ 9^n + 4n^4 }$. Inoltre, 
studiare se la successione  \`e monotona.  Ennunciare un teorema notevole per successioni monotone. 


\vspace{8pt}


\noindent
4. Trovare i limiti:
\vspace{6pt}

a) $ \ds \lim_{x\to -\infty}
(\sqrt{4x^2 +9x} +2x)$; 
\vspace{6pt}

b) $ \ds \lim_{x\to -2}
\frac{ 2^{x+2} - 1 + \sin (3x+6) }{ (x^2 + 3x +2) \ln (6 +x) }$. 
Potete risolvere  mediante due metodi.
\vspace{6pt}

c)$^*$  $\ds  \lim_{t\to 0} \left ( \cos (8t)  \right)^{\cotg^2 (3t)}$.

\vspace{8pt} 




\noindent
5. Sia $\ds f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
\mu  x^2 + \lambda x & \textrm{ se } & x\in [1, 2]\\
x & \textrm{ se } & x\in [-2, 1[\\
\mu x -4 & \textrm{ se } & x\in [-3, -2[\\
\end{array} \right. $, 
essendo $\lambda$ e $\mu  $ 
parametri reali.  Trovare tutte  i $\lambda$ e $\mu$ t.c. $f$  \`e continua in $[-3,2]$. Per tali $\lambda$ e $\mu$ trovare l'immagine di $f$. 
\vspace{8pt}

\noindent
6. Trovare $f'(x)$ e scrivere l'equazione della retta tangente al grafico 
di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$, dove 

a) $f(x) = \ln ( 12x^2  + 2\cos (10\pi x))$, $x_0=-1/2$; 

b) $\ds f(x) = 7 x^{3x} $, $x_0=1$.

%c)$^{*}$  Ennunciare il teorema di Lagrange e illsutrarlo sul piano (in %modo schematico) per $f\in C([-1,3])$, derivabile in $]-1,3[$, 
%con $f(-1)= 3$, $ f(3) = -2$. 
\vspace{8pt}

\noindent
7. Sia $\ds f(x) = a x b^{-x}$, dove $a = \ln 25$, $b=5$. 

i) Studiare  il comportamento di $f$  per $x\to \pm \infty$ (trovare 
$\lim_{x\to \pm \infty} f(x)$). 

ii) Trovare $f'(x)$,  massimi e minimi. Esistono massimi e/o minimi assoluti? 

iii) trovare $f''(x)$ e studiare per intervalli di convessit\`a, concavit\`a, punti di flesso. 

iv) Tracciare il grafico. 

%iv) $^*$  Alla fine, ennunciare ed illustrate geometricamente il teorema %di Fermat (con eventuali cenni sulla dimostrazione). 


\end{document}


\noindent
7.$^*$  Enunciare il teoreme degli zeri per una funzione continua e 
il\-lust\-ra\-rlo con un di\-segno schematico. 



%\vspace{10pt}

%\noindent
%8.$^*$ Scrivere la definzione della funzione derivata. Trovare, 
%usando la definizione e (se necessario) limiti notevoli, 
%la derivata di $\sin x $ nel punto $-\pi$.  



\vspace{10pt}

\noindent
8.$^*$  Enunciare il teorema di Lagrange. 
Inoltre, illustrare geometricamente il suddetto teorema. 

\vspace{10pt}

\noindent
9.$^*$ Dare esempio di: a) un insieme aperto, limitato 
superiormente e non limitato inferiormente; b) un insieme che non 
\`e ne aperto ne chiuso; c) di una funzione continua in $\R$ e 
{\it non derivabile} solo in un punto; 
d) di una funzione continua in $\R$ e {\it non derivabile} esattamente 
nei punti $x=-3 $ e $x=1$. 

\end{document}
