Programma del corso di Calcolo Numerico e Matematica Applicata

per la laurea triennale in ingegneria meccanica ed ingegneria per l'ambiente e il territorio

1. Classificazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs). [circa 4 ore].
   1. Problemi modello di tipo stazionario (equazione di Laplace e di Poisson), evolutivi di I ordine (equazione del calore) ed evolutivi di II (equazione delle onde).
   2. Condizioni sufficienti per l'esistenza e l'unicità della soluzione.
2. Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (ODEs). [circa 6 ore].
   1. La soluzione generale di una ODE lineare del II ordine.
   2. Introduzione all'analisi spettrale.
   3. Teoria spettrale di Sturm-Liouville.
   4. Conversione di una (ODE) di ordine superiore in un sistema di ODE del I ordine.
   5. Il caso particolare dei sistemi lineari di ODE a coefficienti costanti.
3. Elementi di analisi armonica. [circa 8 ore]
   1. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche e sviluppo di una funzione in serie di Fourier.
   2. Convergenza, integrazione e differenziazione delle serie di Fourier.
   3. Convergenza uniforme.
   4. Decadimento dei coefficienti di Fourier.
4. Risoluzione di problemi con valori agli estremi (BVPs) mediante il metodo spettrale. [circa 14 ore]
5. Algebra lineare numerica. [circa 12 ore]
   1. Sistemi di equazioni algebriche lineari.
   2. Autovalori ed autovettori di una matrice.
   3. Norme vettoriali e matriciali.
   4. Condizionamento e stabilità.
   5. Il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting.
   6. Introduzione ai metodi iterativi.
   7. I metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Seidel.
   8. Il metodo del gradiente coniugato.
6. Risoluzione di PDEs con il metodo alle differenze finite. [circa 16 ore]
   1. Risoluzione delle ODEs lineari del 2° ordine con valori noti agli estremi.
   2. Valutazione dell’errore.
   3. Il metodo iterativo di Newton per la risoluzione di sistemi nonlineari.
   4. Il metodo di Newton-Jacobi per la risoluzione di modelli differenziali ordinari debolmente nonlineari con valori agli estremi.
   5. Risoluzione di equazioni ellittiche lineari mediante schemi alle differenze centrali.
   6. Risoluzione delle equazioni di tipo parabolico con uno schema implicito a 4 punti e di quelle iperboliche mediante uno schema implicito a 7 punti.
   7. Valutazione dell’errore di discretizzazione.
   8. Risoluzione delle equazioni ellittiche e paraboliche debolmente nonlineari con il metodo di Newton-Jacobi.
7. Risoluzione di PDEs con il metodo agli elementi finiti. (Solo per gli studenti della Laurea Magistrale di Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio). [circa 16]
   1. Introduzione agli spazi di Sobolev. Formulazione debole (variazionale) di una ODE con valori noti agli estremi e di una PDE di tipo ellittico con soluzione nota al bordo.
   2. Risoluzione di una ODE con elementi finiti di tipo spline lineari.
   3. Valutazione dell'errore.
   4. Reticolazione di un dominio bidimensionale.
   5. Costruzione di una base di elementi finiti di tipo box-splines.
8. Risoluzione di PDEs con il metodo agli elementi finiti (Solo per gli studenti della Laurea Magistrale di Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio). [circa 20 ore]