PROGRAMMA, IN COSTRUZIONE

Metodi Matematici Avanzati
per la Laurea Specialistica in Fisica

1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI SPECIALI
   1. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali di secondo ordine
   2. Coordinate ortogonali e Laplaciano in coordinate ortogonali, in particolare in quelle polari, cilindriche e sferiche
   3. Separazione delle variabili in coordinate cartesiane, polari, cilindriche e sferiche
   4. Equazioni differenziali: Esistenza e unicità delle soluzioni, (in)dipendenza lineare e Wronskiano, metodo della variazione dei parametri, tutto quanto per le equazioni lineari del secondo ordine
   5. Risoluzione tramite lo sviluppo in serie di potenze: Metodo di Frobenius, incluso l'equazione indiciale, ma senza la costruzione della seconda soluzione linearmente indipendente nel caso di una differenza intera tra gli zeri dell'equazione indiciale
   6. Funzioni ipergeometriche e ipergeometriche confluenti
   7. Funzioni di Bessel: Serie di potenze, anadamento in zero e all'infinito, zeri, ortogonalità, funzioni di Neumann e Hankel, funzioni immaginarie di Bessel. Senza dimostrazioni delle proprietà degli zeri e della costante di normalizzazione
   8. Funzioni sferiche: definizione, ortogonalità, operatore di Laplace-Beltrami, tutto quanto in dimensione 2 e 3
   9. Funzioni di Legendre e di Legendre associate: formula di Rodriguez, equazione differenziale, ortogonalità, ricorrenza, normalizzazione, quest'ultima senza conoscere i dettagli della dimostrazione
   10. Polinomi ortogonali classici: Chebyshev, Hermite, Laguerre, come prima, ma senza conoscere a memoria i dettagli (soltanto come si potrebbero derivare)
   11. Polinomi ortogonali: zeri (quanti, moltiplicità, dove si trovano)
2. EQUAZIONI INTEGRALI E PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE
   1. Limitatezza degli operatori integrali: in L₂ e C
   2. Principio di Rayleigh-Ritz per le equazioni integrali hermitiane, senza dettagli della dimostrazione
   3. Teorema di Hilbert-Schmidt
   4. Problemi di Sturm-Liouville unidimensionali: condizione al contorno, proprietà degli autovalori, esempi
   5. Conversione in un'equazione integrale e funzioni di Green unidimensionali, senza dettagli della dimostrazione
3. FUNZIONI DI GREEN MULTIDIMENSIONALI
   Il programma dettagliato è ancora da stabilire. Al momento si pensa a trattare le soluzioni delle equazioni di Laplace e Poisson tramite le funzioni di Green, le funzioni di Green per alcuni domini facili, e la teoria del potenziale.
4. TEORIA DEI GRUPPI
   1. Gruppi astratti: definizione, omomorfismi, sottogruppi (senza sottogruppi normali e gruppi quoziente), esempi
   2. Gruppi discreti/finiti: alcuni esempi quali S_n e D_n
   3. Gruppi di Lie/continui: definizione, algebre di Lie, generatori
   4. In dettaglio: SO(2), SO(3), SU(2), trasformazione SU(2)-->SO(3)
   5. Rappresentazioni unitarie: definizione, equivalenza, (ir)reducibilità, Lemma di Schur, ortogonalità. Lasciar perdere le rappresentazioni non unitarie