Programma del Corso: Provvisorio

1. dei numeri complessi (anche in forma polare),
2. della teoria delle serie (estesa alle serie a termini complessi), e
3. del calcolo e delle proprietà dei limiti delle successioni e delle funzioni.

L'esame consiste in un parziale sulle applicazioni delle funzioni analitiche nel calcolo degli integrali e su alcune altre proprietà aritmetiche delle funzioni analitiche, seguito da un orale complessivo.

Il parziale conta per un terza del voto, l'orale per due terzi. All'orale ci saranno almeno tre domande sui seguenti argomenti: l'integrale di Lebesgue, le funzioni analitiche, la trasformata di Fourier.

Programma del corso:

1. Integrale di Lebesgue: misura di Lebesgue degli insiemi in Rⁿ, proprietà elementari della misura (incluso le dimostrazioni), esempio di un insieme non misurabile, insieme di Cantor, funzioni misurabili, integrale di Lebesgue, teorema della convergenza dominata, teorema di Beppo-Levi, teoremi di Fubini e Tonelli (enunciati), spazi L¹(E) e L²(E) senza la dimostrazione della completezza.
2. Funzioni analitiche: differenziabilità e analiticità, trasformazioni di Möbius, teorema di Cauchy (vari casi), Teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra (prima dimostrazione), principio del massimo (per le funzioni analitiche e per quelle armoniche), Lemma di Schwartz, indice di una curva, formula integrale di Cauchy;
3. Singolarità e serie di Laurent: classificazione delle singolarità, serie di Laurent, Teorema di Casorati-Weierstrass, residui, principio dell'argomento, Teorema di Rouché, teorema fondamentale dell'algebra (seconda dimostrazione);
4. Fattorizzazioni delle funzioni analitiche: Prodotti infiniti, Teorema di Weierstrass, Teorema di Hadamard (da enunciare), prodotto infinito di sin(z) e cos(z);
5. Approssimazione razionale: Teorema di Runge, Teorema di Mittag-Lefler.
6. Facilità nel fare i seguenti calcoli: calcoli di alcune funzioni elementari nel piano complesso (exp(z), sin(z), cos(z), log(z), sqrt(z), z^1/n), sviluppare una funzione in serie di Taylor o serie di Laurent, calcolare i residui, calcolare certi integrali definiti tramite il calcolo dei residui), punti di diramazione (sqrt(z), log(z)). Si consiglia consultare gli appunti del Prof. Seatzu, in particolare il paragrafo 1.9.
7. Serie e trasformata di Fourier: Definizioni e proprietà, continuità uniforme, teorema di Riemann-Lebesgue, proprietà generali (Teor. 5.1.3), derivata e trasformata di Fourier (Teor. 5.2.1), trasformata e convoluzione (Teor. 5.3.1), formule di moltiplicazione, identità di Parseval, definizione della trasformata di Laplace.

Testi:

1. Testo per le trasformate di Fourier e Laplace: Giuseppe Di Fazio e Michele Frasca, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Monduzzi Editori, cap. 5 (pp. 141-153), cap. 6 (pp. 161-163).
2. Gli appunti per tutti gli altri argomenti.