Teoremi e Dimostrazioni da conoscere all'orale
per chi ha sostenuto ANALISI 3 nell'AA 2003-2004

1. Equazioni differenziali:
   • Teorema di Cauchy sull'esistenza e unicità: differenza tra l'esistenza locale e quella globale, Lipschitzianità e unicità, equivalenza tra il problema a valori iniziali e l'impostazione integrale, condizioni sufficienti per l'esistenza globale, conversione di un'equazione del secondo ordine in un sistema di due equazioni del primo ordine.
   • Struttura dell'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare di ordine n, Wronskiano e (in)dipendenza lineare.
   • Metodo della variazione dei parametri per l'equazione del secondo ordine.
2. Curve:
   • Curve regolari (a tratti), chiuse e semplici, lunghezza. Parametrizzazione in coordinate cartesiane e polari. Curve spaziali. Versore tangente. Integrali curvilinei.
3. Forme differenziali e Teoremi di Green, Gauss e Stokes:
   • Forme differenziali P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Forme esatte e chiuse. Calcolo della primitiva. Equivalenza tra forme esatte e quelle chiuse in domini semplicemente connessi. Collegamento con il Teorema di Green.
   • Forme differenziali P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz. Forme esatte e chiuse. Calcolo della primitiva. Equivalenza tra forme esatte e quelle chiuse in domini stellati. Collegamento con il Teorema di Stokes.
   • Forme differenziali P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz. Forme con potenziale vettore e solenoidali, Equivalenza tra l'esistenza del potenziale vettore e la solenoidalità in domini stellati. Collegamento con il Teorema della divergenza.
   • Teoremi di Green, della divergenza e di Stokes: Condizioni sufficienti sulla funzione sotto il segno dell'integrale e sul dominio.
4. Integrali:
   • Domini normali e impostazione degli integrali doppi e tripli. Interpretazione geometrica come area o volume.
   • Superfici regolari, area della superficie, versore normale, piano tangente.
   • Solidi di rotazione: volume e area della superficie.
   • Integrali in coordinate polari, cilindriche e sferiche.
5. Funzioni implicite e applicazioni:
   • Teorema delle funzioni implicite per F(x,y)=0, F(x,y,z)=0, e F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=0. Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza locale di y=f(x), z=f(x,y), (u,v)=(f(x,y),g(x,y)). Spiegare come si trova y=f(x), ma senza dimostrare la sua derivabilità.
   • Moltiplicatori di Lagrange. Spiegare come si trova il moltiplicare utilizzando il teorema delle funzioni implicite.
   • Teorema delle funzioni inverse: Condizioni necessarie e sufficienti, applicazione al cambiamento delle variabili sotto il segno dell'integrale. Poter illustrare l'applicazione per il cambiamento alle/dalle coordinate polari, sferiche e cilndriche.