PROGRAMMA DETTAGLIATO DEL CORSO

DI ANALISI MATEMATICA 4 (A.A. 2006-2007)

Libro di testo:

Argomenti:

  1. Equazioni differenziali
    1. Cap. IV.2.4: Equazioni differenziali a coefficienti costanti di ordine superiore di 2 [Teorema 2.4]. In particolare, spiegare l'algoritmo risolutivo.
    2. Richiamo delle radici dell'unità In particolare, poter risolvere le equazioni di tipo zn=w nel piano complesso, utilizzando la formula di De Moivre e un disegno. Poter risolvere equazioni polinomiali semplici.
  2. Integrali curvilinei e forme differenziali
    1. Cap. II.1.1.1: Prodotti scalare, vettoriale e misto.
    2. Cap. II.1.1.2-II.1.1.3: Curve piane e spaziali, curve semplici e chiuse, curve regolari e regolari a tratti, velocità, versore tangente, retta tangente
    3. Cap. II.1.1.4-II.1.1.5: Curve equivalenti, cambio di parametrizzazione, curve rettificabili e lunghezza, lunghezza delle curve regolari. In particolare, la dimostrazione della Proposizione 1.7 ("le curve equivalenti hanno la stessa lunghezza").
    4. Calcolo della lunghezza di una curva in coordinate cartesiane e polari.
    5. Cap. II.1.2.1: Integrali curvilinei. In due e in tre dimensioni.
    6. Cap. II.1.1.1: Gradiente, divergenza e rotore.
    7. Cap. II.1.2.2: Forma differenziale in due e tre variabili, integrale curvilineo di una forma differenziale, forma differenziale esatta e potenziale, integrale curvilineo di una forma differenziale esatta lungo una curva regolare chiusa. In particolare, la dimostrazione del Lemma 2.3 ("L'integrale di una forma differenziale esatta lungo una curva regolare è uguale alla differenza del potenziale agli estremi").
    8. Cap. II.1.2.3: Forma differenziale esatta e campo vettoriale irrotazionale, esattezza in un dominio stellato
    9. Cap. II.1.2.4: Insiemi semplicemente connessi, domini stellati. In particolare, saper spiegare questi concetti geometrici in forma intuitiva (in termini di buchi, deformazione della curva chiusa in un punto, ecc.), senza utilizzare la topologia algebrica.
  3. Serie di funzioni
    1. Cap. II.3.1.2: Convergenza puntuale e uniforme delle funzioni, criterio di Cauchy
    2. Cap. II.3.1.3: Convergenza uniforme e limitatezza (Proposizione 1.3), convergenza uniforme e continuità (Corollario 1.5), convergenza uniforme e scambio limite-integrale (Teorema 1.8), convergenza uniforme e scambio limite-derivata (Teorema 1.7). Questi teoremi sono da dimostrare.
    3. Cap. II.3.2.1: Convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di funzioni, convergenza uniforme e continuità (Corollario 2.4), convergenza uniforme e scambio sommatoria-integrale (Teorema 2.7), convergenza uniforme e scambio sommatoria-derivazione (Teorema 2.5). Questi teoremi sono da dimostrare.
    4. Cap. II.3.2.2: Serie di potenze: Raggio di convergenza, due espressioni per il raggio di convergenza, integrazione e derivazione termine a termine, teorema di Abel (Teorema 2.14, senza la dimostrazione), sviluppi di Taylor, serie notevoli: ex, cos(x), sen(x), log(1+x), (1+x)a, cosh(x), senh(x). Da dimostrare: Lemma 2.8.
    5. Cap II.3.2.4-II.3.2.5: Serie di Fourier: funzioni periodiche, condizione sufficiente per la convergenza totale, espressioni per i coefficienti (anche per le funzioni pari e dispari), convergenza in media quadratica, disuguaglianza di Bessel, convergenza totale per le funzioni continue (e regolari a tratti), valore della somma nei salti
  4. Superfici
    1. Cap. II.6.1.1: Superfici, superfici regolari
    2. Cap. II.6.1.2: Bordo di una superficie, superfici chiuse, superfici a pezzi
    3. Cap. II.6.1.3-II.6.1.4: Superfici regolari: coordinate locali, versore normale e piano tangente, orientazione, nastro di Mòbius
    4. Cap. II.6.1.6: Area delle Superfici regolari, casi particolari (sottosuperfici di un piano, superfici di rotazione), integrali superficiali
  5. Teoremi di Green, Stokes e Gauss
    1. Cap. II.6.3.1: Teorema di Gauss-Green nel piano [dimostrazione breve nel caso di un dominio normale convesso, cioè la dimostrazione del Lemma 3.1.]
    2. Cap. II.6.3.2-II.6.3.3: Teorema di Stokes [Teorema 3.2 (II), Teorema 3.5, senza le dimostrazioni]
    3. Cap. II.6.3.4: Potenziale vettore, domini fortemente connessi (in particolare, domini stellati)
    4. Cap II.6.3.5: Teorema delle divergenza [Teorema 3.9 senza dimostrazione]
  6. Funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange
    1. Cap. I.7.3.1-I.7.3.2: Funzioni implicite, Teorema di Dini [per g(x,y)=0], retta tangente [nel caso g(x,y)=0]. Da dimostrare il Teorema 3.1.
    2. Cap. I.7.3.5: Teorema delle funzioni implicite in più di due variabili, piano tangente [nel caso g(x,y,z)=0]
    3. Cap. I.7.3.6: Funzioni definite da un sistema di equazioni, Teorema delle funzioni inverse, Jacobiano
    4. Cap. II.2.2.1: Massimi e minimi vincolati di una funzione di due o tre variabili
    5. Cap. II.2.2.2: Massimi e minimi di funzioni di n variabili con m vincoli

Argomenti dei parziali:

  1. primo parziale: equazioni differenziali di ordine superiore di 2, serie di funzioni, integrali curvilinei, forme differenziali
  2. superfici e integrali di superficie, funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange.