PROGRAMMA DEL CORSO

DI ANALISI MATEMATICA 4 (A.A. 2003-2004)

Argomenti:

1. Equazioni differenziali
   1. teorema sull'esistenza e unicità della soluzione del problema a valori iniziali nei seguenti tre casi: a) y'=f(x,y), b) y"=f(x,y,y'), c) y"+a₁(x)y'+a₀(x)y=g(x).
   2. esistenza locale e globale. Condizioni sufficienti per l'esistenza globale.
   3. equazioni lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee: struttura dell'insieme delle soluzioni.
   4. risolvere equazioni del primo ordine: separazione delle variabili.
   5. risolvere equazioni lineari del primo ordine.
   6. risolvere equazioni lineari omogenee del scondo ordine e ordine superiore.
   7. metodo della variazione dei parametri per le equazioni del secondo ordine.
2. Integrali curvilinei e forme differenziali
   1. curve regolari (a tratti): parametrizzazione. Curve chiuse e semplici. Orientamento. In due e in tre dimensioni.
   2. curve regolari: lunghezza. Calcolo in coordinate cartesiane e polari. In due e in tre dimensioni.
   3. integrali curvilinei. In due e in tre dimensioni.
   4. forme differenziali esatte e chiuse. Calcolo della primitiva. In due e in tre variabili [esercizi sul calcolo della primitiva soltanto in due variabili].
   5. domini stellati e semplicemente connessi (intuitivamente).
3. Integrali doppi e tripli
   1. domini normali rispetto alle variabili x e y.
   2. calcolo degli integrali doppi e tripli.
   3. integrali doppi in coordinate polari.
   4. integrali tripli in coordinate cilindriche e sferiche.
   5. volume del solido di rotazione.
   6. teoremi della divergenza, di Stokes e di Green nel piano.
   7. forme differenziali esatte e chiuse in due variabili.
   8. cambiamento di variabili negli integral doppi e tripli [esercitazioni soltanto per le coordinate polari, cilindriche e sferiche].
4. Superfici e integrali di suoerficie
   1. superfici regolari: parametrizzazione. Casi (x,y)-->(x,y,f(x,y)) e (r,t)-->(r cos t,r sin t,g(r,t)).
   2. superfici regolari: versore normale e piano tangente.
   3. superfici regolari: area. Caso particolare: superfici di rotazione.
   4. teorema della divergenza.
   5. teorema di Stokes.
   6. caso particolare (F₃=0, F₁ e F₂ non dipendono da x e y): teorema di Green.
   7. forme differenziali esatte e chiuse utilizzando gradiente e rotore.
   8. forme differenziale con potenziale vettore e solenoidali utilizzando rotore e divergenza [senza dover calcolare il potenziale vettore].
5. Funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange
   1. teorema delle funzioni implicite nei seguenti casi: a) F(x,y)=0, b) F(x,y,z)=0, c) F(x₁,...,x_n,y)=0 [senza esercitazioni], d) sistemi del tipo F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=0.
   2. retta tangente nel caso F(x,y)=0, piano tangente nel caso F(x,y,z)=0.
   3. teorema delle funzioni inverse nei seguenti casi: a) y=f(x), b) y_i=f_i(x₁,...,x_n) per i=1,...,n [esercitazioni solo per n=2,3].
   4. massimi e minimi vincolati di una funzione di due o tre variabili.

Argomenti dei parziali:

1. primo parziale: equazioni differenziali, integrali curvilineai e forme differenziali, integrali doppi (incluso l'use delle coordinate polari).
2. integrali doppi e tripli, superfici e integrali di superficie, funzioni implicite e moltiplicatori di Lagrange.

Libro di testo:

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, Napoli, 2001. ISBN 88-207-3137-1.