PROGRAMMA per il corso di Analisi Matematica 1

(Corso di Laurea in Informatica, AA 2007-2008)

1. Numeri e funzioni reali. Richiami sugli insiemi e le operazioni con insiemi. Cenni sulla teoria assiomatica dei numeri reali. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Funzioni di variabile reale a valori reali. Funzioni iniettive, suriettive, bijettive. Funzioni composte e funzioni inverse. Funzioni invertibili e funzioni monotone. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzioni potenza, esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche. Esercizi.
2. Il principio di induzione. Applicazioni dell'induzione per identità e disuguaglianze. Cenni sul binomio di Newton. Esercizi.
3. Limiti di successioni. Definizione di limite di una successione. Unicità del limite. Successioni limitate. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Teorema sulle successioni monotone. Limiti notevoli. Cenni sul numero di Nepero e. Successioni estratte (sottosuccessioni). Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni e criterio di Cauchy. Esercizi.
4. Limiti e continuità. Definizione di limite. Legami tra limiti di funzioni e di successioni. Operazioni sui limiti. Funzioni continue. Discontinuità. Alcuni teoremi notevoli sulle funzioni continue. Teorema sul limite delle funzioni monotone. Esercizi.
5. Derivate. Definizione di derivata. Operazioni con le derivate. Teoremi di derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico della derivata. Esercizi.
6. Applicazioni delle derivate. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Criterio di monotonia. Criterio di convessità. Teorema di De L'Hôpital. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor. Esercizi.
7. Integrali indefiniti. Definizione dell'integrale indefinito. Integrali immediati e prime proprietà. Esercizi.
8. Integrale definiti (di Riemann) Definizioni e notazioni. Significato geometrica dell'integrale definito. Proprietà dell'integrale definito, funzioni integrabili secondo Riemann. Teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Esercizi.
9. Metodi per il calcolo di integrali indefiniti. Integrazione per decomposizione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti e integrazione per sostituzione, mediante il metodo dell'induzione. Esercizi.
10. Integrali generalizzati (impropri). Integrali generalizzati su intervalli limitati. Integrali generalizzati su intervalli non limitati. Criteri. Esercizi.

1. N. Fusco, P. Marcelllini e C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore.
2. P. Marcelllini e C. Sbordone, Esercitazini di Matematica, vol. 1, parte prima e parte seconda, Liguori Editore.
3. Appunti su esercizi del docente.